Trigonométrie dans le triangle rectangle

Corrigés détaillés

Théorie

Définition

Soit un triangle, les sommets sont notés par des lettres majuscules \(A\), \(B\) et \(C\), les côtés correspondants par des lettres minuscules \(a\), \(b\) et \(c\) et les angles correspondants par les lettres grecques \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).

Par rapport à l'angle \(\alpha\), \(a\) est le côté opposé, \(b\) et \(c\) sont les côtés adjacents.

Exemple 5

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), \(\gamma = 90^\circ\). Les côtés \(a\) et \(b\) sont les cathètes et le côté \(c\) est l'hypoténuse.

Par rapport à l'angle \(\alpha\), \(a\) est le côté opposé, \(b\) est le côté adjacent et \(c\) est l'hypoténuse.

Par rapport à l'angle \(\beta\), \(b\) est le côté opposé, \(a\) est le côté adjacent et \(c\) est l'hypoténuse.

Définition

Dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques, sinus, cosinus et tangente d'un angle \(\varphi\) sont les rapports des mesures des côtés du triangle:

\[\begin{split}\sin(\varphi) &= \dfrac{\text{côté opposé à $\varphi$}}{\text{hypoténuse}} & \quad \quad SOH \\ \cos(\varphi) &= \dfrac{\text{côté adjacent à $\varphi$}}{\text{hypoténuse}} & \quad \quad CAH \\ \tan(\varphi) &= \dfrac{\text{côté opposé à $\varphi$}}{\text{côté adjacent à $\varphi$}} & \quad \quad TOA\end{split}\]

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.

Définition

Résoudre un triangle signifie déterminer la longueur de tous ses côtés et la mesure de tous ses angles.

Exemple 6

Dans un triangle rectangle en \(C\), \(\alpha = 27^\circ\) et \(c = 8\) cm.
Résolvez ce triangle.

La somme des angles d'un triangle vaut \(180^\circ\):

\(\beta = 180^\circ - 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ\)

En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle:

\(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} \implies \sin(27^\circ) = \dfrac{a}{8} \implies a = 8 \cdot \sin(27^\circ) \simeq 3.6\) cm

\(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}} \implies \cos(27^\circ) = \dfrac{b}{8} \implies b = 8 \cdot \cos(27^\circ) \simeq 7.1\) cm

Remarque: Le côté \(b\) peut aussi être calculé par Pythagore.

-> exercice 17 (les 3 premiers)

Exemple 7

Dans un triangle rectangle en \(A\), \(b =3.4\) cm et \(c = 7.6\) cm.
Résolvez ce triangle.

Par Pythagore:

\(b = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{3.4^2 + 7.6^2} = \sqrt{11.56 + 57.76} = \sqrt{69.32} \simeq 8.3\) cm

En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle:

\(\tan(\beta) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} \implies \tan(\beta) = \dfrac{3.4}{7.6} = \dfrac{17}{38} \implies \beta = \tan^{-1}\left(\dfrac{17}{38}\right) \simeq 24.1^\circ\)

\(\tan(\gamma) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} \implies \tan(\gamma) = \dfrac{7.6}{3.4} = \dfrac{38}{17} \implies \gamma = \tan^{-1}\left(\dfrac{38}{17}\right) \simeq 65.9^\circ\)

Remarque: L'angle \(\gamma\) peut aussi être calculé en utilisant que la somme des angles d'un triangle vaut \(180^\circ\).

-> exercice 17 (les 3 derniers), exercice 18 exercice 19 exercice 20, exercice 21, exercice 22, exercice 23, exercice 24, exercice 25 et exercice 26

Exercices

Exercice 17

Soit un triangle rectangle en \(C\), faites un schéma de la situation et complétez le tableau.

\(\alpha\)	\(\beta\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(35^{\circ}\)		\(10\)
	\(10^{\circ}\)	\(15\)
\(70^{\circ}\)				\(8\)
		\(3\)	\(4\)
	\(100^{\circ}\)		\(5\)
		\(8\)		\(10\)

Exercice 18

Dans chacune des situations suivantes, déterminez l'aire du parallélogramme \(ABCD\) sachant que:

1. \(AB=118\,cm\), \(AD=72\,cm\) et \(\widehat{BAD}=26.5^{\circ}\).

2. \(AB=57\,cm\), \(AD=66\,cm\) et \(\widehat{BAD}=61.4^{\circ}\).

Exercice 19

Un téléski d'une longueur de \(900\) m possède un dénivelé de \(230\) m. Quel est l'angle d'élévation moyen de ce téléski?

Exercice 20

Au bord d'une route, un panneau indique une pente de \(18\%\).

1. Que signifie une pente de \(18\%\)?

2. Quel est l'angle d'élévation de cette route?

3. Quel est le dénivelé si nous roulons \(1\) km sur cette route?

Exercice 21

Une station météo fait monter un ballon pour des mesures météorologiques. Un observateur, qui se trouve à \(800\) m de la station, voit le ballon sous un angle de \(49^{\circ}\) (supposons la hauteur des yeux au niveau du sol). À quelle hauteur se trouve le ballon météorologique?

Exercice 22

Un arbre d'une hauteur de \(19\) m se trouve dans un pré. Quelle est la longueur de son ombre, si les rayons du soleil forment à ce moment un angle de \(15^{\circ}\) avec le sol (supposé horizontal)?

Exercice 23

Une personne se trouve à \(30\) m d'un bâtiment. L'angle entre le regard vers le pied du bâtiment et le regard vers le point le plus élevé du bâtiment vaut \(54^{\circ}\). Les yeux de cette personne se trouvent à une hauteur de \(1.58\,m\). Quelle est la hauteur du bâtiment?

Exercice 24

Calculez l'aire du triangle \(ABC\) sachant que \(\alpha = 36^\circ\), \(b = 7\,cm\) et \(c = 15\,cm\).

Exercice 25

Le cercle inscrit d'un octogone régulier possède un rayon de \(10\) cm. Déterminer l'aire et le périmètre de cet octogone.

Exercice 26

Le côté de la base carrée de la grande pyramide d'Egypte vaut \(230\) m, les faces triangulaires de la pyramide forment avec la base un angle de \(51.9^{\circ}\).

1. Déterminez la hauteur \(h\) de la pyramide.

2. Déterminez l'angle \(\beta\) entre une arrête montante et la base.

3. Déterminez la longueur \(s\) d'une arrête montante.

4. Déterminez le volume de la pyramide.

Challenge 1

Sur un phare se trouvent deux marquages. Le premier se trouve à \(7\,m\) en dessous du deuxième. Depuis un bateau, l'angle l'horizontale et la 1ère marque est de \(2.6^{\circ}\) et celui entre l'horizontale et la 2e marque est de \(3.7^{\circ}\). À quelle distance du phare se trouve le bateau?

Solution

Le bateau se trouve à \(363.5\) m du phare.

Challenge 2

Depuis un avion se trouvant à \(9\,500\) m, nous voyons la piste d'atterrissage sous un angle de \(16.3^{\circ}\) (mesuré par rapport à l'horizon), une minute plus tard l'avion se trouve toujours à \(9500\) m et nous voyons la piste sous un angle de \(27.2^{\circ}\). Quelle est la vitesse de cet avion?

Solution

La vitesse est de env. \(840 \, \frac{km}{h}\).

Solutions

Exercice 17

\(\alpha\)	\(\beta\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
	\(55^{\circ}\)		\(14.28\)	\(17.43\)
\(80^{\circ}\)			\(2.64\)	\(15.23\)
	\(20^{\circ}\)	\(7.52\)	\(2.74\)
\(36.87^{\circ}\)	\(53.13^{\circ}\)			\(5\)
-		-		-
\(53.13^{\circ}\)	\(36.87^{\circ}\)		\(6\)

Exercice 18

1. \(3\,790.9\,cm^2\)

2. \(3\,303\,cm^2\)

Exercice 19

L'angle d'élévation moyen est de \(14.8^{\circ}\).

Exercice 20

1. Pour une distance horizontale de 100, le dénivelé (distance verticale) est de 18.

2. L'angle est de \(10.2^{\circ}\)

3. Le dénivelé est de \(177\) m.

Exercice 21

Le ballon se trouve à \(920.3\) m.

Exercice 22

L'ombre fait \(70.9\) m.

Exercice 23

Le bâtiment fait \(38.6\) m de haut.

Exercice 24

\(66.13\,cm^2\)

Exercice 25

\(P=66.27\,cm\) et \(A=331.4\,cm^2\)

Exercice 26

1. \(h=146.7\) m.

2. \(\beta=42^{\circ}\).

3. \(s=219\) m.

4. \(v = 2\,586\,192\,m^3\).