Systèmes d'équations#
Théorie#
Systèmes d'équations 2x2#
Définition
Une équation linéaire à deux inconnues est une équation de la forme
avec \(a \text{, } b \text{, } c \in \mathbb{R} \text{, } a \ne 0 \text{ et } b \ne 0\).
Deux équations linéaires à deux inconnues considérées simultanément forment un système de deux équations linéaires à deux inconnues:
avec $a_1 \text{, } a_2 \text{, } b_1 \text{, } b_2 \text{, } c_1 \text{, } c_2 \in \mathbb{R}
Une solution d'un tel système est un couple \((x;y)\) de nombres qui sont solutions des équations \((1)\) et \((2)\).
Exemple 7
Soit le système \(\begin{cases} 3x+2 y &= 1 \\ x- 3 y &= -7 \end{cases}\)
En résolvant ce système, les valeurs \(x=-1\) et \(y=2\) sont obtenues. La solution se note \(S = \{(-1;2)\}\).
La parenthèse est obligatoire, car la solution est un couple \((x; y)\) et non pas deux valeurs distinctes.
Remarque
Résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues revient à trouver le point d'intersection entre deux droites.
Soit le même système \(\begin{cases} 3x+2 y &= 1 \quad &(1)\\ x- 3 y &= -7 &(2) \end{cases}\)
En isolant \(y\) dans les deux équations, nous obtenons
En représentant les deux droites, nous obtenons le point d'intersection \((-1; 2)\) qui est la solution du système d'équations.
Marche à suivre - Méthode par substitution
Pour résoudre un système d'équations par substitution, il faut:
exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une des équations
remplacer, dans l'autre équation, l'inconnue par l'expression obtenue
résoudre l'équation à une inconnue
calculer la valeur de la deuxième inconnue
écrire l'ensemble des solutions
Marche à suivre - Méthode par combinaison linéaire (addition)
Pour résoudre un système d'équations par combinaison linéaire, il faut:
transformer les deux équations pour les mettre sous la forme \(ax + by = c\)
multiplier (ou diviser) les deux membres de la première équation par un même nombre et ceux de la deuxième équation par un même nombre pour que les coefficients d'une des inconnues soient opposés.
additionner les deux équations (une des inconnue doit disparaître)
résoudre l'équation à une inconnue
remplacer la valeur de l'inconnue dans une des équations de départ pour trouver l'autre inconnue
noter l'ensemble de solutions
Remarque
Comme lors de la résolution d'équations du premier degré, un système peut ne pas avoir des solution ou en avoir une infinité:
S'il n'a pas de solution, la solution est notée: \(S = \varnothing\).
S'il y a une infinité de solutions, la solution sera composée de tous les point d'une droite, \(y = ax + b\).
La solution sera notée: \( S = \{(x; ax + b) | x \in \mathbb{R}\}\).
Systèmes d'équations 3x3 et plus#
Définition
Une équation linéaire à trois inconnues est une équation de la forme
avec \(a \text{, } b \text{, } c \text{, } d \in \mathbb{R} \text{, } a \ne 0 \text{, } b \ne 0 \text{ et } c \ne 0\).
Trois équations linéaires à trois inconnues considérées simultanément forment un système de trois équations linéaires à trois inconnues:
avec \(a_1 \text{, } a_2 \text{, } a_3 \text{, } b_1 \text{, } b_2 \text{, } \text{, } b_3 c_1 \text{, } c_2 \text{, } c_3 \in \mathbb{R}\)
Une solution d'un tel système est un triplet \((x;y;z)\) de nombres qui sont solutions des équations \((1)\), \((2)\) et \((3)\).
Marche à suivre - Résolution système 3x3
Pour résoudre un système d'équations 3x3, il faut:
Éliminer à deux reprises la même inconnue en utilisant la méthode de combinaison linéaire sur deux des trois équations.
Les deux équations trouvées nous donnent un système 2x2 (2 équations, 2 inconnues).
Résoudre le système 2x2.
Insérer les valeurs trouvées dans une des équations de départ pour déterminer la troisième inconnue.
Noter la solution.
Remarque
Avec la méthode ci-dessus, il est possible de résoudre des systèmes linéaires de \(n\) équations à \(n\) inconnues!
Exercices#
Exercice 10#
Résolvez les systèmes suivants en utilisant la méthode la plus adaptée.
\(\begin{cases}\phantom{0}3x-8y &= 49\\ 10x+4y &= 10\end{cases}\)
\(\begin{cases}12x-5y &= 45\\ \phantom{0}8x+7y &= -1\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x+11y &= 5\\ 2x+\phantom{1}6y &= 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}\phantom{0}2x+\phantom{0}3y &= \phantom{0}7\\ 30x-12y &= 67\end{cases}\)
\(\begin{cases}6x-3y &= -9\\ 8x-\phantom{0}y &= \phantom{-}0\end{cases}\)
\(\begin{cases}4x+\phantom{0}y &= 26\\ 7x-8y &= 13\end{cases}\)
Exercice 11#
Les systèmes suivants n'ont aucune, une ou une infinité de solutions. Résolvez et notez l'ensemble des solutions correctement.
\(\begin{cases}2x-3y &= 5 \\ 4x-6y &= 10\end{cases}\)
\(\begin{cases}6x+y &= -4 \\ 2x+5y &= 10\end{cases}\)
\(\begin{cases}\frac{3}{2}x+y &= -2 \\ -6x-4y &= 8\end{cases}\)
\(\begin{cases}7x-3y &= -5 \\ 14x-6y &= 2\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x+2y &= -6 \\ 3x+3y &= 3\end{cases}\)
\(\begin{cases} x+y &= 9 \\ 4x-5y &= 2\end{cases}\)
Exercice 12#
Résolvez les systèmes suivants
\(\begin{cases}6(x+y+2) +13x = 98 \\ x+y+2 = 6x\end{cases}\)
\(\begin{cases}6(x+y) +7(x-y)-19 = 0 \\ (x+y) -4(x-y) + 2= 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}4(x-7) +9y = 80 \\ 2(x-7) = \frac{11}{2}y\end{cases}\)
\(\begin{cases}(x+2)(y-3)= xy \\ xy+15= (x+3)(y+2)\end{cases}\)
\(\begin{cases}(x+5)(y+7) = (x+1)(y-9)+112 \\ 2(x+5) = 3y+1\end{cases}\)
Exercice 13#
Un marchand veut mélanger des cacahuètes coûtant CHF 6.- le kilo et des noix de cajou coûtant CHF 16.- le kilo, pour obtenir 60 kilos d'un mélange coûtant CHF 10.- le kilo. Combien de kilos de chaque sorte faudrait-il mélanger?
Exercice 14#
Une petite société d'ameublement fabrique des canapés et des fauteuils. Chaque canapé nécessite 8 heures de travail et CHF 120.- de matériel, alors qu'un fauteuil peut être construit pour CHF 70.- en 6 heures. La société dispose de 340 heures de travail par semaine et peut se permettre d'acheter pour CHF 4'500.- de matériel. Combien de fauteuils et de canapés peut-on fabriquer en utilisant toutes les heures de travail et tout le matériel?
Exercice 15#
6 kg de confiture sont répartis dans 14 pots. Certains ont une contenance de 500 g, les autres ne contiennent que 375 g. Quel est le nombre de pots de chaque sorte?
Exercice 16#
Le cirque KNIE se produit ce soir dans votre ville. Le clou du spectacle est un numéro de dressage de chameaux et de dromadaires (dix en tout). Sur chaque bosse de ces animaux se trouve un ouistiti qui jongle avec des boules. On compte treize ouistitis. Combien y a-t-il de chameaux et de dromadaires sur la piste du cirque KNIE?
Exercice 17#
Un rectangle a un périmètre de \(60\,cm\). Si sa longueur augment de \(5\,cm\) et sa largeur diminue de \(2\,cm\), son aire reste la même. Quelles sont les dimensions de ce rectangle?
Exercice 18#
Chez "Mon fleuriste" un bouquet composé de 3 roses et de 5 iris coûte CHF 14.50 tandis qu'un bouquet composé de 7 roses et de 3 iris coûte CHF 16.50. Quel est le prix d'une rose et celui d'un iris?
Exercice 19#
Luc et Thomas ont ensemble 34 ans. Dans une année, Luc aura le double de l'âge de Thomas (aussi dans une année). Quel est l'âge de chacun aujourd'hui?
Exercice 20#
Résolvez les systèmes suivants
\(\begin{cases}x+\dfrac{2y}{3} &=& 7\\ x-y &=& 2\end{cases}\)
\(\begin{cases}\dfrac{x-1}{3} &=& \dfrac{y-2}{5}\\ 3x + \dfrac{y}{2} &=& 4\end{cases}\)
\(\begin{cases}\dfrac{x-1}{2} +\dfrac{y-2}{4} &=& 1\\ \dfrac{x-3}{3} - \dfrac{y+2}{2} &=& -2\end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{3}{4}x + \dfrac{4}{5}y &=& 35\\ \dfrac{9}{10}x -\dfrac{7}{5}y +17 &=& 0\end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + \dfrac{2}{3}y &=& 44 \\ 3x - \dfrac{5}{6}y &=& 33\end{cases}\)
\(\begin{cases} \dfrac{9x}{4} &=& \dfrac{10y}{3} +4 \\ \dfrac{11y}{5} &=& \dfrac{10x}{3} -47\end{cases}\)
Challenge 1#
Une grande table de conférence doit être fabriquée en forme de rectangle avec deux demi-cercles à ses extrémités (voir la figure). La table doit avoir un périmètre de 12 mètres, et l'aire de sa partie rectangulaire doit être le double de la somme des aires de ses deux parties en demi-cercle. Que mesurent la longueur \(l\) et la largeur \(b\) de la partie rectangulaire de la table de conférence.
Solution
\(l = 3\)m und \(b = \dfrac{6}{\pi} \approx 1.91m\)
Challenge 2#
Une piscine a une longueur de 12 m, une largueur de 5 m et une profondeur de 4.5 m. Elle peut être remplie à l'aide de deux conduites d'eau \(A\) et \(B\). Si on ouvre la conduite \(A\) pendant deux heures et la conduite \(B\) pendant une heure et demie, alors le niveau de l'eau monte de 1.28 mètres. Si on inverse les temps d'ouverture des conduite, alors le niveau monte que de 1.205 mètres. Quel est le débit (en litres par minute) des deux conduites?
Solution
\(v_A=430\,\frac{litres}{minute}\), \(v_B=280\,\frac{litres}{minute}\)
Exercice 21#
Résolvez les systèmes suivants
\(\begin{cases} 2x+ 5y+ \phantom{0}z&=-7 &\text{(1)} \\ 2x-4 y -2 z &= 11 & \text{(2)}\\ 2x+ 2y + 3z&= 8 & \text{(3)} \end{cases}\)
\(\begin{cases} \phantom{-}4x- \phantom{0}y- \phantom{0}z&=-4 & \text{(1)}\\ -3x+ 2y + 8z &= \frac{9}{2} & \text{(2)} \\ 20x-3 y + 3z&= -14 & \text{(3)} \end{cases}\)
\(\begin{cases} 5x \phantom{+ 0y}+ 2z&= 1 &\text{(1)}\\ \phantom{0x +} \phantom{0}y - 3z &= 2 &\text{(2)}\\ 2x+ y &=3 &\text{(3)} \end{cases}\)
\(\begin{cases} \phantom{0}6x+ 8y+ 2z&= -7 &\text{(1)} \\ \phantom{0}2x -2y + 6z &= 4 &\text{(2)} \\ -3x-3y + z &= 10 &\text{(3)} \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x+ 3y - \phantom{0}z&= 4 &\text{(1)} \\ 4x \phantom{+ 00y} + \phantom{0}z &= 0 &\text{(2)}\\ \phantom{00x +} 6y - 5z &= 12 &\text{(3)} \end{cases}\)
\(\begin{cases} \phantom{0}3x+ 2y+ 1z&= 23 &\text{(1)} \\ \phantom{0}5x+ 2y + 4z &= 46 &\text{(2)} \\ 10x+ 5y + 4z&= 75 &\text{(3)} \end{cases}\)
Exercice 22#
Il y a une année, Paul avait 3 fois l'âge de Emma aujourd'hui. Il y a deux ans, Janine avait le double de l'âge à Emma (aussi il y a deux ans). Aujourd'hui ils ont 23 ans au total. Quelle sont les âges d'Emma, Janine et Paul aujourd'hui?
Exercice 23#
Le FC Bulle a joué 44 matchs. Le nombre de matchs qu'ils n'ont pas perdu (match-nuls et victoires) est 3 fois plus élevé que le nombre de défaites. De plus, ils ont 14 victoires de plus que de défaites. Combien y a-t-il eu de victoires, de match-nuls et de défaites?
Exercice 24#
La somme des arêtes d'un parallélépipède rectangle est de \(60\,cm\). Si on retire \(2\,cm\) à la plus grande arête et si on ajoute \(2\,cm\) à la plus petite, on obtient un cube. Quelles sont les longueurs des arêtes du parallélépipède?
Exercice 25#
Un téléphérique propose les prix suivants. Un aller-retour coûte CHF 6.-, la montée seule coûte CHF 4.50 et la descente seule coûte CHF 3.-. Ce dimanche 680 personnes sont montées et 520 personnes sont descendues avec le téléphérique et la caisse compte CHF 3930.-. Combien de billets de chaque sorte ont-ils été vendus.
Challenge 3#
Résolvez les systèmes suivants
\(\begin{cases} x+ y+ z +u &=-3 & \text{(1)}\\ 2x+ y +2 z+u &= -4 & \text{(2)}\\ -x+ 3y - z+2u &= 0 & \text{(3)}\\ 3x+ y - 3z- 3u &= 9 & \text{(4)}\\ \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x+ y- z +u &=3 & \text{(1)}\\ x+3y + z -u &= -4 & \text{(2)}\\ x+ 2y + 2z - u &= 1 & \text{(3)}\\ 2x+ 2y + 2z + u &= 5 & \text{(4)}\\ \end{cases}\)
Solution
\(S=\{(-2;3;1;-5)\}\)
\(S=\{(4;-\frac{13}{4};\frac{7}{4};0)\}\)
Challenge 4#
La mère, le père, le fils et la fille d'une famille ont ensemble 100 ans. Le père a quatre fois l'âge de son fils et ensemble ils ont le même âge que la mère et la fille ensemble. Il y a deux ans, la mère avait exactement le double de l'âge des deux enfants cumulé (aussi il y a deux ans). Quelle est l'âge de chaque membre de cette famille?
Solution
Le père a 40 ans, la mère 38 ans, le fils 10 ans et la fille 12 ans.
Solutions#
Exercice 10#
\(S=\{(3;-5)\}\)
\(S=\{(\frac{5}{2};-3)\}\)
\(S=\{(-3;1)\}\)
\(S=\{(\frac{5}{2};\frac{2}{3})\}\)
\(S=\{(\frac{1}{2};4)\}\)
\(S=\{(\frac{17}{3};\frac{10}{3})\}\)
Exercice 11#
\(S=\{(x;\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}) | x \in \mathbb{R}\}\)
\(S=\{(-\frac{15}{14};\frac{17}{7})\}\)
\(S=\{(x;-\frac{3}{2}x - 2) | x \in \mathbb{R}\}\)
\(S=\varnothing\)
\(S=\varnothing\)
\(S=\{(\frac{47}{9};\frac{34}{9})\}\)
Exercice 12#
\(S=\{(2;8)\}\)
\(S=\{(\frac{3}{2};\frac{1}{2})\}\)
\(S=\{(18;4)\}\)
\(S=\{(0;3)\}\)
\(S=\{(3;5)\}\)
Exercice 13#
Il faut mélanger 36 kilos de cacahuètes et 24 kilos de noix de cajou.
Exercice 14#
20 canapés et 30 fauteuils peuvent être fabriqués.
Exercice 15#
Il y a 8 pots de 375 g et 6 pots de 500 g.
Exercice 16#
Il y a 3 chameaux et 7 dromadaires.
Exercice 17#
La longueur du rectangle mesure 20 cm et sa largeur 10 cm.
Exercice 18#
Une rose coûte CHF 1.50 et un iris CHF 2.-.
Exercice 19#
Ils ont 11 et 23 ans.
Exercice 20#
\(S=\{(5;3)\}\)
\(S=\{(1;2)\}\)
\(S=\{(3;2)\}\)
\(S=\{(20;25)\}\)
\(S=\{(16;18)\}\)
\(S=\{(24;15)\}\)
Exercice 21#
\(S=\{(\frac{5}{2};-3;3) \}\)
\(S=\{(\frac{1}{2};7;-1) \}\)
\(S=\{(\frac{1}{11};\frac{31}{11};\frac{3}{11}) \}\)
\(S=\{(-4;\frac{3}{2};\frac{5}{2}) \}\)
\(S=\{(\frac{1}{2};\frac{1}{3};-2) \}\)
\(S=\{(4;3;5)\}\)
Exercice 22#
Emma a 4 ans, Janine 6 ans et Paul 13 ans.
Exercice 23#
Il y a eu 25 victoires, 8 match-nuls et 11 défaites.
Exercice 24#
Les longueurs des arêtes sont \(3\,cm\), \(5\,cm\) et \(7\,cm\).
Exercice 25#
460 aller-retour, 60 descentes et 220 montées ont été vendus.