Trigonométrie 1

Trigonométrie 1#

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Note:

Question 1 2 3 4 5 6 Total
Points 4 4 4 4 4 4 24
Obtenus

Détails des calculs obligatoires. Attention au soin. Calculatrice non autorisée.
Réponse sous forme de valeur exacte simplifiée.

Question 1 (4 pts)#

Soit un triangle rectangle isocèle en A, faites un schéma de la situation et déterminez le \(\sin(45^\circ)\).

Solution

Par Pythagore: \(a^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \implies a = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}\)

\(\sin(45^\circ) = \dfrac{x}{a} = \dfrac{x}{x\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

Question 2 (4 pts)#

Résolvez le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\), sachant que \(c = \sqrt{2}\) et \(b = 2\).

Solution

\(\sin(\gamma) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \implies \gamma = sin^{-1}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)= 45^\circ\)

\(\alpha = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\)

Le triangle est isocèle rectangle, donc \(a = \sqrt{2}\)

Question 3 (4 pts)#

Transformez les angles suivants en radians.

\(90^\circ =\)

\(720^\circ =\)

\(120^\circ =\)

\(22.5^\circ =\)

Solution

\(90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\)

\(720^\circ = 4\pi\)

\(120^\circ = \dfrac{2\pi}{3}\)

\(22.5^\circ = \dfrac{\pi}{8}\)

Question 4 (4 pts)#

Transformez les angles suivants en degrés.

\(\pi =\)

\(\dfrac{\pi}{3} =\)

\(\dfrac{5\pi}{4} =\)

\(\dfrac{7\pi}{2} =\)

Solution

\(\pi = 180^\circ\)

\(\dfrac{\pi}{3} = 60^\circ\)

\(\dfrac{5\pi}{4} = 225^\circ\)

\(\dfrac{7\pi}{2} = 630^\circ\)

Question 5 (4 pts)#

Les égalités suivantes sont-elles vraies? Justifiez.

  1. \(\sin(\dfrac{5\pi}{4}) = \cos(\dfrac{5\pi}{4})\)

  2. \(\cos(x) = \cos(-x)\)

  3. \(\sin(x + \pi) = \sin(x)\)

  4. \(\tan(x) = -\tan(-x)\)

Solution

  1. \(\sin(\dfrac{5\pi}{4}) = \cos(\dfrac{5\pi}{4}) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) est vraie.

  2. \(\cos(x) = \cos(-x)\) est vraie, par symétrie du \(\cos(x)\) par rapport à l'axe \(x\).

  3. \(\sin(x + \pi) = \sin(x)\) est fausse, car \(\sin(\dfrac{\pi}{4}) = -\sin(\dfrac{5\pi}{4})\)

  4. \(\tan(x) = -\tan(-x)\) est vraie.

Question 6 (4 pts)#

La fonction \(\cos(x)\) est représentée ci-dessous.

  1. Représentez le plus précisément possible \(g(x) = \cos(\dfrac{x}{2})\).

  2. Déterminez la période de \(g(x)\)

  3. Déterminez l'ensemble des zéros de \(g(x)\).

Solution

  2. La période de \(f(x)\) est \(4\pi\).

  3. \(S = \left\{\pi + k \cdot 2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

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