Trigonométrie - Révisions

Corrigés détaillés

Théorie

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Définition

Soit un triangle, les sommets sont notés par des lettres majuscules \(A\), \(B\) et \(C\), les côtés correspondants par des lettres minuscules \(a\), \(b\) et \(c\) et les angles correspondants par les lettres grecques \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).

Par rapport à l'angle \(\alpha\), \(a\) est le côté opposé, \(b\) et \(c\) sont les côtés adjacents.

Exemple 1

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), \(\gamma = 90^\circ\). Les côtés \(a\) et \(b\) sont les cathètes et le côté \(c\) est l'hypoténuse.

Par rapport à l'angle \(\alpha\), \(a\) est le côté opposé, \(b\) est le côté adjacent et \(c\) est l'hypoténuse.

Par rapport à l'angle \(\beta\), \(b\) est le côté opposé, \(a\) est le côté adjacent et \(c\) est l'hypoténuse.

Définition

Dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques, sinus, cosinus et tangente d'un angle \(\varphi\) sont les rapports des mesures des côtés du triangle:

\[\begin{split}\sin(\varphi) &= \dfrac{\text{côté opposé à $\varphi$}}{\text{hypoténuse}} & \quad \quad SOH \\ \cos(\varphi) &= \dfrac{\text{côté adjacent à $\varphi$}}{\text{hypoténuse}} & \quad \quad CAH \\ \tan(\varphi) &= \dfrac{\text{côté opposé à $\varphi$}}{\text{côté adjacent à $\varphi$}} & \quad \quad TOA\end{split}\]

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.

Définition

Résoudre un triangle signifie déterminer la longueur de tous ses côtés et la mesure de tous ses angles.

Exemple 2

Dans un triangle rectangle en \(C\), \(c = 30\) cm et \(a =18\) cm.
Résolvez ce triangle.

Par Pythagore:

\(b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24\) cm

En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle:

\(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}} \implies \sin(\alpha) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5} \implies \alpha = \sin^{-1}\left(\dfrac{3}{5}\right) \simeq 36.87^\circ\)

\(\sin(\beta) = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}} \implies \sin(\beta) = \dfrac{24}{30} = \dfrac{4}{5} \implies \beta = \sin^{-1}\left(\dfrac{4}{5}\right) \simeq 53.13^\circ\)

Remarque: L'angle \(\beta\) peut aussi être calculé en utilisant que la somme des angles d'un triangle vaut \(180^\circ\).

Exemple 3

Dans un triangle rectangle en \(A\), \(\gamma = 30^\circ\) et \(b = 18\) cm.
Résolvez ce triangle.

La somme des angles d'un triangle vaut \(180^\circ\):

\(\beta = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)

En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle:

\(\tan(\gamma) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} \implies \tan(30^\circ) = \dfrac{c}{18} \implies c = 18 \cdot \tan(30^\circ)= 6\sqrt{3} = 10.39\) cm

\(\cos(\gamma) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}} \implies \cos(30^\circ) = \dfrac{18}{a} \implies a = \dfrac{18}{\cos(30^\circ)}= 20.78\) cm

Remarque: Le côté \(a\) peut aussi être calculé par Pythagore.

-> exercice 1, exercice 2, exercice 3, exercice 4, exercice 5, exercice 6, exercice 7 et exercice 8.

Vidéos

Exercices supplémentaires

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Rapports trigonométriques des angles remarquables

Démonstration - Triangle rectangle isocèle

Par Pythagore: \(c^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \implies c = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}\)

\(\sin(45^\circ) = \dfrac{x}{c} = \dfrac{x}{x\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos(45^\circ) = \dfrac{x}{x\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\tan(45^\circ) = \dfrac{x}{x} = 1\)

Démonstration - Demi-triangle équilatéral

Par Pythagore: \(h^2 = x^2 - \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 = x^2 - \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{3x^2}{4} \implies h = x \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin(30^\circ) = \dfrac{\frac{x}{2}}{x} = \dfrac{1}{2}\)

\(\cos(30^\circ) = \dfrac{h}{x} = \dfrac{x\frac{\sqrt{3}}{2}}{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\tan(30^\circ) = \dfrac{\frac{x}{2}}{h} = \dfrac{\frac{x}{2}}{x\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\sin(60^\circ) = \dfrac{h}{x} = \dfrac{x\frac{\sqrt{3}}{2}}{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\cos(60^\circ) = \dfrac{\frac{x}{2}}{x}= \dfrac{1}{2}\)

\(\tan(60^\circ) = \dfrac{h}{\frac{x}{2}} = \dfrac{x\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{x}{2}} = \sqrt{3}\)

Théorème

Rapports trigonométriques des angles remarquables (30°, 45° et 60°)

\(\varphi\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)
\(\sin(\varphi)\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos(\varphi)\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)
\(\tan(\varphi)\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)

Exercices

Exercice 1

Résolvez les triangles \(ABC\) suivants, rectangles en \(C\) (arrondis au centième).

1. \(a= 3.2\,\text{cm}\), \(b=6.5\,\text{cm}\)

2. \(\alpha=63.5^\circ\), \(c=10\,\text{cm}\)

3. \(b=4.4\,\text{cm}\), \(\beta= 40^\circ\)

4. \(a=15.7\) cm, \(\beta=12.3^\circ\)

Exercice 2

La longueur de l'hypoténuse d'un triangle rectangle vaut \(6.2\, \text{cm}\) et un de ses angles \(27^\circ\). Déterminez la longueur de ses cathètes.

Exercice 3

Un triangle isocèle a une base de \(51.8\, m\) et une aire de \(130 \, m^2\). Calculez les angles de ce triangle.

Exercice 4

Une pente de \(x\,\%\) indiquée sur un panneau de signalisation routière signifie que la dénivellation de la route vaut \(x\) mètres pour une distance horizontale de \(100 \, m\). Déterminez pour chacune des pentes en \(\%\) suivantes l'angle d'élévation.

1. \(10 \%\)

2. \(20 \%\)

3. \(50 \%\)

4. \(100 \%\)

Exercice 5

Pour les angles d'élévation suivants, déterminez la pente en \(\%\).

1. \(10^\circ\)

2. \(20^\circ\)

3. \(60^\circ\)

4. \(85^\circ\)

Exercice 6

Calculez l'angle \(\varphi\) dans le parallélipipède rectangle ci-dessous.

Exercice 7

Un triangle isocèle a une base de \(10\, cm\) et un angle au sommet de \(130^\circ\). Déterminez les trois angles obtenus au sommet en divisant la base en trois parties égales grâce à deux points et en reliant ces points avec le sommet du triangle.

Exercice 8

La hauteur d'une falaise peut être déterminée à l'aide d'un segment \(AB\) de longueur connue, orienté en direction de la falaise. La distance entre les points \(A\) et \(B\) vaut \(120 \, m\) et les angles d'élévation, mesurés à l'aide d'un théodolite, valent \(\alpha=35^\circ\) et \(\beta=60^\circ\). Calculez la hauteur \(h\) de la falaise en posant et résolvant deux équations à deux inconnues.

Challenge

Calculez les angles intérieurs du cerf-volant ci-dessous, sachant que \(AB = 7\,cm\), \(CD = 5\,cm\) et \(BD = 7\,cm\).

Solution

\(\alpha = 60^\circ\), \(\beta = \delta = 105.57^\circ\) et \(\gamma = 88.85^\circ\)

Solutions

Exercice 1

1. \(c=7.24\,\text{cm}\), \(\alpha=26.21^\circ\), \(\beta=63.79^\circ\)

2. \(\beta=26.5^\circ\), \(a=8.95\,\text{cm}\), \(b=4.46\,\text{cm}\)

3. \(\alpha=50^\circ\), \(c=6.85\,\text{cm}\), \(a=5.24\,\text{cm}\)

4. \(\alpha=77.7^\circ\), \(c=16.07\,\text{cm}\), \(b=3.42\,\text{cm}\)

Exercice 2

\(a = 2.81\, \text{cm}\) et \(b = 5.52\, \text{cm}\).

Exercice 3

Deux angles de \(11^\circ\) et un de \(158^\circ\).

Exercice 4

1. \(5.71^\circ\)

2. \(11.31^\circ\)

3. \(26.57^\circ\)

4. \(45^\circ\)

Exercice 5

1. \(17.6 \%\)

2. \(36.4 \%\)

3. \(173.2 \%\)

4. \(1143 \%\)

Exercice 6

\(\varphi = 15.78^\circ\)

Exercice 7

\(29.44^\circ\), \(71.12^\circ\), \(29.44^\circ\)

Exercice 8

\(h = 141\, m\)