Trigonométrie - Révisions#
Notation des triangles#
Définition
Soit un triangle, les sommets sont notés par des lettres majuscules \(A\), \(B\) et \(C\), les côtés correspondants par des lettres minuscules \(a\), \(b\) et \(c\) et les angles correspondants par les lettres grecques \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).
Par rapport à l'angle \(\alpha\), \(a\) est le côté opposé, \(b\) et \(c\) sont les côtés adjacents.
Trigonométrie dans le triangle rectangle#
Exemple 1#
Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(C\), \(\gamma = 90^\circ\). Les côtés \(a\) et \(b\) sont les cathètes et le côté \(c\) est l'hypoténuse.
Par rapport à l'angle \(\alpha\), \(a\) est le côté opposé, \(b\) est le côté adjacent et \(c\) est l'hypoténuse.
Par rapport à l'angle \(\beta\), \(b\) est le côté opposé, \(a\) est le côté adjacent et \(c\) est l'hypoténuse.
Définition
Dans un triangle rectangle, les rapports trigonométriques, sinus, cosinus et tangente d'un angle \(\varphi\) sont les rapports des mesures des côtés du triangle:
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit.
Définition
Résoudre un triangle signifie déterminer la longueur de tous ses côtés et la mesure de tous ses angles.
Exemple 2#
Dans un triangle rectangle en \(C\), \(\alpha = 28^\circ\) et \(c = 8\) cm.
Résolvez ce triangle.
La somme des angles d'un triangle vaut \(180^\circ\):
\(\beta = 180^\circ - 90^\circ - 27^\circ = 63^\circ\)
En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle:
\(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}} \implies \sin(27^\circ) = \dfrac{a}{8} \implies a = 8 \cdot \sin(27^\circ)= 3.63\) cm
\(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}} \implies \cos(27^\circ) = \dfrac{b}{8} \implies b = 8 \cdot \cos(27^\circ)= 7.13\) cm
Exemple 3#
Dans un triangle rectangle en \(C\), \(a = 3.4\) cm et \(b = 7.6\) cm.
Résolvez ce triangle.
En utilisant la trigonométrie dans le triangle rectangle:
\(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} \implies \tan(\alpha) = \dfrac{3.4}{7.6} \implies \alpha = \tan^{-1}\left(\dfrac{3.4}{7.5}\right)= 24.1^\circ\)
\(\tan(\beta) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} \implies \tan(\beta) = \dfrac{7.6}{3.4} \implies \beta = \tan^{-1}\left(\dfrac{7.6}{3.4}\right)= 65.9^\circ\)
\(\sin(\alpha) = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}} \implies \sin(24.1^\circ) = \dfrac{3.4}{c} \implies c = \dfrac{3.4}{\sin(24.1^\circ)}= 8.33\) cm
Remarque: Le côté \(c\) peut aussi être calculé avec le théorème de Pythagore.
Rapports trigonométriques des angles remarquables#
Triangle rectangle isocèle#
Par Pythagore: \(c^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \implies c = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}\)
\(\sin(45^\circ) = \dfrac{x}{c} = \dfrac{x}{x\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}= \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos(45^\circ) = \dfrac{x}{x\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tan(45^\circ) = \dfrac{x}{x} = 1\)
Demi-triangle équilatéral#
Par Pythagore: \(h^2 = x^2 - \left(\dfrac{x}{2} \right)^2 = x^2 - \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{3x^2}{4} \implies h = x \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin(30^\circ) = \dfrac{\frac{x}{2}}{x} = \dfrac{1}{2}\)
\(\cos(30^\circ) = \dfrac{h}{x} = \dfrac{x\frac{\sqrt{3}}{2}}{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan(30^\circ) = \dfrac{\frac{x}{2}}{h} = \dfrac{\frac{x}{2}}{x\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\sin(60^\circ) = \dfrac{h}{x} = \dfrac{x\frac{\sqrt{3}}{2}}{x} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos(60^\circ) = \dfrac{\frac{x}{2}}{x}= \dfrac{1}{2}\)
\(\tan(60^\circ) = \dfrac{h}{\frac{x}{2}} = \dfrac{x\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{x}{2}} = \sqrt{3}\)
Théorème
Rapports trigonométriques des angles remarquables (30°, 45° et 60°)
| \(\varphi\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) |
| \(\sin(\varphi)\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) |
| \(\cos(\varphi)\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) |
| \(\tan(\varphi)\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) |