Révisions et fonctions polynomiales

Révisions et fonctions polynomiales#

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Question 1 2 3 Total
Points 10 7 8 25
Obtenus

Détails des calculs obligatoires. Attention au soin. Calculatrice non autorisée.
Réponse sous forme de fraction simplifiée

Question 1 (10 pts)#

Soit la fonction \(f(x) = 4x^2 - 28x + 48\).

  1. Factorisez entièrement \(f\).

  2. Déterminez les zéros de \(f\).

  3. Calculez les coordonnées du sommet de \(f\).

  4. Résolvez \(f(x) > 0\).

Solution

  1. \(f(x) = 4(x^2 -7x + 12) = 4(x-3)(x-4)\)

  2. \(x_1 = 3\) et \(x_2 = 4\)

  3. \(x_s = \dfrac{28}{8} = \dfrac{7}{2}\)
    \(y_s = f(x_s) = f(\dfrac{7}{2}) = 4 \cdot \left( \dfrac{7}{2} \right)^2 - 28 \cdot \left( \dfrac{7}{2} \right) + 48 = -1\)
    \(S = \left(\dfrac{7}{2}; -1 \right)\)

  4. \(x\) \(\tiny-\;\infty\) \(3\) \(4\) \(\tiny+\;\infty\)
    \(4\) \(+\) \(+\) \(+\)
    \(x-3\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
    \(x-4\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
    \(4(x-3)(x-4) > 0\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)

    \(S = ]-\infty; 3[ \;\cup\; ]4; +\infty[\)

Question 2 (7 pts)#

Soit la fonction \(g(x) = x^3+6x^2+3x-10\)

  1. Factorisez entièrement \(g\).

  2. Déterminez les zéros de \(g\).

Solution

  1. \(g(x)= (x+2)(x-1)(x+5)\)

  2. \(x_1 = 1\), \(x_2 = -2\) et \(x_3 = -5\)

Question 3 (8 pts)#

Soit la fonction \(h(x) = |-x + 3| - 2\)

  1. Représentez la fonction \(h(x)\).

  2. Déterminez le domaine de définition, l'ensemble des images, les zéros et l'ordonnée à l'origine de \(h(x)\).

Solution

  2. \(D_h = \mathbb{R}\), \(Im_h = ]-2; + \infty[\), zéros: \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 5\), ordonnée à l'origine: \(1\)