Équations trigonométriques
Définition
Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnue
apparaît comme argument d'une fonction trigonométrique.
Définition
Voici quelques relations trigonométriques utiles lors de la résolution
d'équations:
\[\begin{split}\cos(x) &= \cos(-x)\\
\sin(x) &= \sin(\pi - x)\\
\cos^2(x) + \sin^2(x) &= 1\\
\sin(x) &= \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\\
\cos(x) &= \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)\\
\tan(x) &= \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\\
-\cos(x) &= \cos(\pi-x)\\\end{split}\]
Exemple 12
Résolvez \(\tan(x) - 2 = 3\).
\[\begin{split}
\tan(x) - 2 &= 3 \qquad \qquad \qquad &|& +2\\
\tan(x) &= 5 &|& \arctan(...)\\
\arctan(\tan(x)) &= \arctan(5)\\
x &= \arctan(5)
\end{split}\]
Comme \(\tan(x)\) a une période de \(\pi\):
\(x = 1.3734 {\color{red} \,+\, k \cdot \pi}\)
\(S = {\color{darkmagenta}\{1.3734 + k\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\}}\)
Exemple 13
Même exemple que le précédent, mais en travaillant en degrés.
Résolvez \(\tan(\alpha) - 2 = 3\).
\[\begin{split}
\tan(\alpha) - 2 &= 3 \qquad \qquad \qquad &|& +2\\
\tan(\alpha) &= 5 &|& \arctan(...)\\
\arctan(\tan(\alpha)) &= \arctan(5)\\
\alpha &= \arctan(5)
\end{split}\]
Comme \(\tan(\alpha)\) a une période de \(180^\circ\):
\(\alpha = 78.69^\circ {\color{red} \,+\, k \cdot 180^\circ}\)
\(S = {\color{darkmagenta}\{78.69^\circ + k \cdot 180^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z}\}}\)
Exemple 14
Résolvez \(\cos(3x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
\[\begin{split}
\cos(3x) &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \qquad \qquad &|& \arccos(...)\\
\arccos(\cos(3x)) &= \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
3x &= \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{split}\]
Par symétrie dans le cercle trigonométrique, \(\cos(x)=\cos(-x)\) et, de plus,
\(\cos(x)\) a une période de \(2\pi\), il y a donc deux équations possibles:
\[\begin{split}3x_1 &= \dfrac{\pi}{4} {\color{red} \, + \, k \cdot 2\pi} \qquad &|& :3 \\
x_1 &= \dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}
\end{split}\]
\[\begin{split}
3x_2 &= {\color{red}-}\dfrac{\pi}{4} {\color{red} \, + \, k \cdot 2\pi} \qquad &|& :3 \\
x_2 &= -\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}
\end{split}\]
\(S = {\color{darkmagenta}\left\{\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}} \cup
{\color{green}\left\{-\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}}\)
Exemple 15
Même exemple que le précédent, mais en travaillant en degrés.
Résolvez \(\cos(3\alpha) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
\[\begin{split}
\cos(3\alpha) &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \qquad \qquad &|& \arccos(...)\\
\arccos(\cos(3\alpha)) &= \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\
3\alpha &= \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
\end{split}\]
Par symétrie dans le cercle trigonométrique, \(\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)\) et, de plus,
\(\cos(\alpha)\) a une période de \(360^\circ\), il y a donc deux équations possibles:
\[\begin{split}3\alpha_1 &= 45^\circ {\color{red} \, + \, k \cdot 360^\circ} \qquad &|& :3 \\
\alpha_1 &= 15^\circ + k \cdot 120^\circ
\end{split}\]
\[\begin{split}
3\alpha_2 &= {\color{red} \,-}45^\circ {\color{red} \, + \, k \cdot 360^\circ} \qquad &|& :3 \\
\alpha_2 &= -15^\circ + k \cdot 120^\circ
\end{split}\]
\(S = {\color{darkmagenta}\left\{15^\circ + k \cdot 120^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}} \cup
{\color{green}\left\{-15^\circ + k \cdot 120^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}}\)
Exemple 16
Résolvez \(\sin(x - \dfrac{\pi}{2}) + 1 = \dfrac{1}{2}\).
\[\begin{split}
\sin(x - \dfrac{\pi}{2}) + 1 &= \dfrac{1}{2} \qquad \qquad \qquad &|& -1\\
\sin(x - \dfrac{\pi}{2}) &= -\dfrac{1}{2} &|& \arcsin(...)\\
\arcsin(\sin(x - \dfrac{\pi}{2})) &= \arcsin(-\dfrac{1}{2})\\
x - \dfrac{\pi}{2} &= \arcsin(-\dfrac{1}{2})
\end{split}\]
Par symétrie dans le cercle trigonométrique, \(\sin(x)=\sin(\pi-x)\) et, de plus,
\(\sin(x)\) a une période de \(2\pi\), il y a donc deux équations possibles:
\[\begin{split}
x_1 - \dfrac{\pi}{2} &= -\dfrac{\pi}{6} {\color{red} + \, k \, \cdot 2\pi} \qquad &|& +\dfrac{\pi}{2} \\
x_1 &= \dfrac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi
\end{split}\]
\[\begin{split}
x_2 - \dfrac{\pi}{2} &= {\color{red}\, \pi \,- }(-\dfrac{\pi}{6}) {\color{red} + \, k \, \cdot 2\pi} \qquad &|& \text{CL}\\
x_2 - \dfrac{\pi}{2} &= \dfrac{7\pi}{6} + k \cdot 2\pi &|& +\dfrac{\pi}{2}\\
x_2 &= \dfrac{7\pi}{6} + \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\
x_2 &= \dfrac{5\pi}{3} + k \cdot 2\pi
\end{split}\]
\(S = {\color{darkmagenta}\left\{\dfrac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}} \cup
{\color{darkgreen}\left\{\dfrac{5\pi}{3} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}}\)
Exemple 17
Même exemple que le précédent, mais en travaillant en degrés.
Résolvez \(\sin(\alpha - 90^\circ) + 1 = \dfrac{1}{2}\).
\[\begin{split}
\sin(\alpha - 90^\circ) + 1 &= \dfrac{1}{2} \qquad \qquad \qquad &|& -1\\
\sin(\alpha - 90^\circ) &= -\dfrac{1}{2} &|& \arcsin(...)\\
\arcsin(\sin(\alpha - 90^\circ)) &= \arcsin(-\dfrac{1}{2})\\
\alpha - 90^\circ &= \arcsin(-\dfrac{1}{2})
\end{split}\]
Par symétrie dans le cercle trigonométrique, \(\sin(\alpha)=\sin(180^\circ-\alpha)\) et, de plus,
\(\sin(\alpha)\) a une période de \(360^\circ\), il y a donc deux équations possibles:
\[\begin{split}
\alpha_1 - 90^\circ &= -30^\circ {\color{red} + \, k \, \cdot 360^\circ} \qquad &|& +90^\circ \\
\alpha_1 &= 60^\circ + k \cdot 360^\circ
\end{split}\]
\[\begin{split}
\alpha_2 - 90^\circ &= {\color{red}\, 180^\circ \,- }(-30^\circ) {\color{red} + \, k \, \cdot 360^\circ} \qquad &|& \text{CL}\\
\alpha_2 - 90^\circ &= 210^\circ + k \cdot 360^\circ &|& +90^\circ\\
\alpha_2 &= 300^\circ + k \cdot 360^\circ
\end{split}\]
\(S = {\color{darkmagenta}\left\{60^\circ + k \cdot 360^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}} \cup
{\color{darkgreen}\left\{300^\circ + k \cdot 360^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}}\)
Exemple 18
Résolvez \(\sin(2x) - \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) = 0\).
\[\begin{split}
\sin(2x) - \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) &= 0 \qquad \qquad \qquad &|& + \sin(\dfrac{\pi}{2} - x)\\
\sin(2x) &= \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) &|& \arcsin(...) \\
\arcsin(\sin(2x)) &= \arcsin(\sin(\dfrac{\pi}{2} - x))
\end{split}\]
Comme \(\sin(x) = \sin(\pi - x)\) et que le \(\sin(x)\) a une période de \(2\pi\), il y a
deux équations possibles:
\[\begin{split}
2x_1 &= \dfrac{\pi}{2} - x_1 + k \cdot 2\pi \qquad &|& +x_1\\
3x_1 &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi &|& :3\\
x_1 &= \dfrac{\pi}{6} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}
\end{split}\]
\[\begin{split}
2x_2 &= \pi - (\dfrac{\pi}{2} - x_2) + k \cdot 2\pi \qquad &|& \text{CL}\\
2x_2 &= \pi - \dfrac{\pi}{2} + x_2 + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\
2x_2 &= \dfrac{\pi}{2} + x_2 + k \cdot 2\pi &|& -x_2\\
x_2 &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi
\end{split}\]
\(S = {\color{darkmagenta}\left\{\dfrac{\pi}{6} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} \cup
{\color{darkgreen}\left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}}\)
Exemple 19
Résolvez \(\sin(2x + \dfrac{\pi}{4}) - \cos(x)= 0\).
\[\begin{split}
\sin(2x + \dfrac{\pi}{4}) - \cos(x) &= 0 \qquad \qquad \qquad &|& + \cos(x)\\
\sin(2x + \dfrac{\pi}{4}) &= \cos(x) &|& \cos(x) = \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) \\
\sin(2x + \dfrac{\pi}{4}) &= \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) &|& \arcsin(...) \\
\arcsin(\sin(2x + \dfrac{\pi}{4})) &= \arcsin(\sin(\dfrac{\pi}{2} - x))
\end{split}\]
Comme \(\sin(x) = \sin(\pi - x)\) et que le \(\sin(x)\) a une période de \(2\pi\), il y a
deux équations possibles:
\[\begin{split}
2x_1 + \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{2} - x_1 + k \cdot 2\pi \qquad &|& +x_1\\
3x_1 + \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi &|& -\dfrac{\pi}{4}\\
3x_1 &= \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\
3x_1 &= \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi &|& :3\\
x_1 &= \dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3}
\end{split}\]
\[\begin{split}
2x_2 + \dfrac{\pi}{4} &= \pi - (\dfrac{\pi}{2} - x_2) + k \cdot 2\pi \qquad &|& \text{CL}\\
2x_2 + \dfrac{\pi}{4} &= \pi - \dfrac{\pi}{2} + x_2 + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\
2x_2 + \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{2} + x_2 + k \cdot 2\pi &|& -x_2\\
x_2 + \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi &|& -\dfrac{\pi}{4}\\
x_2 &= \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\
x_2 &= \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi
\end{split}\]
\(S = {\color{darkmagenta}\left\{\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} \cup
{\color{darkgreen}\left\{\dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}}\)
Exemple 20
Résolvez \(2\cos^2(x)+ \sin(x) = 1\).
\[\begin{split}
2\cos^2(x) + \sin(x) &= 1 \qquad &|& -1\\
2\cos^2(x) + \sin(x) - 1 &= 0 &|& \cos^2(x) = 1-\sin^2(x) \\
2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) - 1 &= 0 &|& \text{CL} \\
2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 &= 0 &|& \text{CL} \\
- 2\sin^2(x) + \sin(x) + 1 &= 0 &|& \cdot (-1) \\
2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 &= 0\\
\end{split}\]
En posant \(t = \sin(x)\), l'équation se transforme en une équation du deuxième
degré:
\[\begin{split}
2t^2 - t - 1 &= 0 \qquad &|& \text{factorisation du trinôme} \\
2t^2 - 2t + t - 1 &= 0 \\
2t(t - 1) + (t - 1) &= 0\\
(2t + 1)(t - 1) &= 0 \\
\end{split}\]
\(t = -\dfrac{1}{2}\) ou \(t = 1\) avec \(t = \sin(x)\) donnent:
\(\sin(x) = -\dfrac{1}{2}\)
\[\begin{split}
x_1 &= -\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi\\
\end{split}\]
\[\begin{split}
x_2 &= \pi - (-\dfrac{\pi}{6}) + k \cdot 2\pi\\
x_2 &= \pi + \dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi\\
x_2 &= \dfrac{7\pi}{6} + k \cdot 2\pi\\
\end{split}\]
\(\sin(x) = 1\)
\[\begin{split}
x_3 &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi\\
\end{split}\]
\(S = {\color{darkmagenta}\left\{-\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} \cup
{\color{darkgreen}\left\{\dfrac{7\pi}{6} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} \cup
{\color{skyblue}\left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} =
\left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}\)