Équations trigonométriques

Corrigés détaillés

Théorie

Définition

Une équation trigonométrique est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît comme argument d'une fonction trigonométrique.

Définition

Voici quelques relations trigonométriques utiles lors de la résolution d'équations:

\[\begin{split}\cos(x) &= \cos(-x)\\ \sin(x) &= \sin(\pi - x)\\ \cos^2(x) + \sin^2(x) &= 1\\ \sin(x) &= \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\\ \cos(x) &= \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)\\ \tan(x) &= \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\\ -\cos(x) &= \cos(\pi-x)\\\end{split}\]

Exemple 6

Résolvez \(\tan(x) - 2 = 3\).

\[\begin{split} \tan(x) - 2 &= 3 \qquad \qquad \qquad &|& +2\\ \tan(x) &= 5 &|& \arctan(...)\\ \arctan(\tan(x)) &= \arctan(5)\\ x &= \arctan(5) \end{split}\]

Comme \(\tan(x)\) a une période de \(\pi\):

\(x = 1.3734 {\color{red} \,+\, k \cdot \pi}\)

\(S = {\color{darkmagenta}\{1.3734 + k\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\}}\)

Exemple 7

Même exemple que le précédent, mais en travaillant en degrés.

Résolvez \(\tan(\alpha) - 2 = 3\).

\[\begin{split} \tan(\alpha) - 2 &= 3 \qquad \qquad \qquad &|& +2\\ \tan(\alpha) &= 5 &|& \arctan(...)\\ \arctan(\tan(\alpha)) &= \arctan(5)\\ \alpha &= \arctan(5) \end{split}\]

Comme \(\tan(\alpha)\) a une période de \(180^\circ\):

\(\alpha = 78.69^\circ {\color{red} \,+\, k \cdot 180^\circ}\)

\(S = {\color{darkmagenta}\{78.69^\circ + k \cdot 180^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z}\}}\)

-> exercice 8

Exemple 8

Résolvez \(\sin(x - \dfrac{\pi}{2}) + 1 = \dfrac{1}{2}\).

\[\begin{split} \sin(x - \dfrac{\pi}{2}) + 1 &= \dfrac{1}{2} \qquad \qquad \qquad &|& -1\\ \sin(x - \dfrac{\pi}{2}) &= -\dfrac{1}{2} &|& \arcsin(...)\\ \arcsin(\sin(x - \dfrac{\pi}{2})) &= \arcsin(-\dfrac{1}{2})\\ x - \dfrac{\pi}{2} &= \arcsin(-\dfrac{1}{2}) \end{split}\]

Par symétrie dans le cercle trigonométrique, \(\sin(x)=\sin(\pi-x)\) et, de plus, \(\sin(x)\) a une période de \(2\pi\), il y a donc deux équations possibles:

\[\begin{split} x_1 - \dfrac{\pi}{2} &= -\dfrac{\pi}{6} {\color{red} + \, k \, \cdot 2\pi} \qquad &|& +\dfrac{\pi}{2} \\ x_1 &= \dfrac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi \end{split}\]

\[\begin{split} x_2 - \dfrac{\pi}{2} &= {\color{red}\, \pi \,- }(-\dfrac{\pi}{6}) {\color{red} + \, k \, \cdot 2\pi} \qquad &|& \text{CL}\\ x_2 - \dfrac{\pi}{2} &= \dfrac{7\pi}{6} + k \cdot 2\pi &|& +\dfrac{\pi}{2}\\ x_2 &= \dfrac{7\pi}{6} + \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\ x_2 &= \dfrac{5\pi}{3} + k \cdot 2\pi \end{split}\]

\(S = {\color{darkmagenta}\left\{\dfrac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}} \cup {\color{darkgreen}\left\{\dfrac{5\pi}{3} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}}\)

Exemple 9

Même exemple que le précédent, mais en travaillant en degrés.

Résolvez \(\sin(\alpha - 90^\circ) + 1 = \dfrac{1}{2}\).

\[\begin{split} \sin(\alpha - 90^\circ) + 1 &= \dfrac{1}{2} \qquad \qquad \qquad &|& -1\\ \sin(\alpha - 90^\circ) &= -\dfrac{1}{2} &|& \arcsin(...)\\ \arcsin(\sin(\alpha - 90^\circ)) &= \arcsin(-\dfrac{1}{2})\\ \alpha - 90^\circ &= \arcsin(-\dfrac{1}{2}) \end{split}\]

Par symétrie dans le cercle trigonométrique, \(\sin(\alpha)=\sin(180^\circ-\alpha)\) et, de plus, \(\sin(\alpha)\) a une période de \(360^\circ\), il y a donc deux équations possibles:

\[\begin{split} \alpha_1 - 90^\circ &= -30^\circ {\color{red} + \, k \, \cdot 360^\circ} \qquad &|& +90^\circ \\ \alpha_1 &= 60^\circ + k \cdot 360^\circ \end{split}\]

\[\begin{split} \alpha_2 - 90^\circ &= {\color{red}\, 180^\circ \,- }(-30^\circ) {\color{red} + \, k \, \cdot 360^\circ} \qquad &|& \text{CL}\\ \alpha_2 - 90^\circ &= 210^\circ + k \cdot 360^\circ &|& +90^\circ\\ \alpha_2 &= 300^\circ + k \cdot 360^\circ \end{split}\]

\(S = {\color{darkmagenta}\left\{60^\circ + k \cdot 360^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}} \cup {\color{darkgreen}\left\{300^\circ + k \cdot 360^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}}\)

Exemple 10

Résolvez \(\cos(3x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

\[\begin{split} \cos(3x) &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \qquad \qquad &|& \arccos(...)\\ \arccos(\cos(3x)) &= \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ 3x &= \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{split}\]

Par symétrie dans le cercle trigonométrique, \(\cos(x)=\cos(-x)\) et, de plus, \(\cos(x)\) a une période de \(2\pi\), il y a donc deux équations possibles:

\[\begin{split}3x_1 &= \dfrac{\pi}{4} {\color{red} \, + \, k \cdot 2\pi} \qquad &|& :3 \\ x_1 &= \dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \end{split}\]

\[\begin{split} 3x_2 &= {\color{red}-}\dfrac{\pi}{4} {\color{red} \, + \, k \cdot 2\pi} \qquad &|& :3 \\ x_2 &= -\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \end{split}\]

\(S = {\color{darkmagenta}\left\{\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}} \cup {\color{green}\left\{-\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}}\)

Exemple 11

Même exemple que le précédent, mais en travaillant en degrés.

Résolvez \(\cos(3\alpha) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

\[\begin{split} \cos(3\alpha) &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \qquad \qquad \qquad &|& \arccos(...)\\ \arccos(\cos(3\alpha)) &= \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\\ 3\alpha &= \arccos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \end{split}\]

Par symétrie dans le cercle trigonométrique, \(\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)\) et, de plus, \(\cos(\alpha)\) a une période de \(360^\circ\), il y a donc deux équations possibles:

\[\begin{split}3\alpha_1 &= 45^\circ {\color{red} \, + \, k \cdot 360^\circ} \qquad &|& :3 \\ \alpha_1 &= 15^\circ + k \cdot 120^\circ \end{split}\]

\[\begin{split} 3\alpha_2 &= {\color{red} \,-}45^\circ {\color{red} \, + \, k \cdot 360^\circ} \qquad &|& :3 \\ \alpha_2 &= -15^\circ + k \cdot 120^\circ \end{split}\]

\(S = {\color{darkmagenta}\left\{15^\circ + k \cdot 120^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}} \cup {\color{green}\left\{-15^\circ + k \cdot 120^\circ \bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}}\)

-> exercice 9

Exemple 12

Résolvez \(\sin(2x) - \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) = 0\).

\[\begin{split} \sin(2x) - \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) &= 0 \qquad \qquad \qquad &|& + \sin(\dfrac{\pi}{2} - x)\\ \sin(2x) &= \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) &|& \arcsin(...) \\ \arcsin(\sin(2x)) &= \arcsin(\sin(\dfrac{\pi}{2} - x)) \end{split}\]

Comme \(\sin(x) = \sin(\pi - x)\) et que le \(\sin(x)\) a une période de \(2\pi\), il y a deux équations possibles:

\[\begin{split} 2x_1 &= \dfrac{\pi}{2} - x_1 + k \cdot 2\pi \qquad &|& +x_1\\ 3x_1 &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi &|& :3\\ x_1 &= \dfrac{\pi}{6} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \end{split}\]

\[\begin{split} 2x_2 &= \pi - (\dfrac{\pi}{2} - x_2) + k \cdot 2\pi \qquad &|& \text{CL}\\ 2x_2 &= \pi - \dfrac{\pi}{2} + x_2 + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\ 2x_2 &= \dfrac{\pi}{2} + x_2 + k \cdot 2\pi &|& -x_2\\ x_2 &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \end{split}\]

\(S = {\color{darkmagenta}\left\{\dfrac{\pi}{6} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} \cup {\color{darkgreen}\left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}}\)

Exemple 13

Résolvez \(\sin(2x + \dfrac{\pi}{4}) - \cos(x)= 0\).

\[\begin{split} \sin(2x + \dfrac{\pi}{4}) - \cos(x) &= 0 \qquad \qquad \qquad &|& + \cos(x)\\ \sin(2x + \dfrac{\pi}{4}) &= \cos(x) &|& \cos(x) = \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) \\ \sin(2x + \dfrac{\pi}{4}) &= \sin(\dfrac{\pi}{2} - x) &|& \arcsin(...) \\ \arcsin(\sin(2x + \dfrac{\pi}{4})) &= \arcsin(\sin(\dfrac{\pi}{2} - x)) \end{split}\]

Comme \(\sin(x) = \sin(\pi - x)\) et que le \(\sin(x)\) a une période de \(2\pi\), il y a deux équations possibles:

\[\begin{split} 2x_1 + \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{2} - x_1 + k \cdot 2\pi \qquad &|& +x_1\\ 3x_1 + \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi &|& -\dfrac{\pi}{4}\\ 3x_1 &= \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\ 3x_1 &= \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi &|& :3\\ x_1 &= \dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \end{split}\]

\[\begin{split} 2x_2 + \dfrac{\pi}{4} &= \pi - (\dfrac{\pi}{2} - x_2) + k \cdot 2\pi \qquad &|& \text{CL}\\ 2x_2 + \dfrac{\pi}{4} &= \pi - \dfrac{\pi}{2} + x_2 + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\ 2x_2 + \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{2} + x_2 + k \cdot 2\pi &|& -x_2\\ x_2 + \dfrac{\pi}{4} &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi &|& -\dfrac{\pi}{4}\\ x_2 &= \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi &|& \text{CL}\\ x_2 &= \dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi \end{split}\]

\(S = {\color{darkmagenta}\left\{\dfrac{\pi}{12} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} \cup {\color{darkgreen}\left\{\dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}}\)

-> exercice 10, exercice 11,

Exemple 14

Résolvez \(2\cos^2(x)+ \sin(x) = 1\).

\[\begin{split} 2\cos^2(x) + \sin(x) &= 1 \qquad &|& -1\\ 2\cos^2(x) + \sin(x) - 1 &= 0 &|& \cos^2(x) = 1-\sin^2(x) \\ 2(1 - \sin^2(x)) + \sin(x) - 1 &= 0 &|& \text{CL} \\ 2 - 2\sin^2(x) + \sin(x) - 1 &= 0 &|& \text{CL} \\ - 2\sin^2(x) + \sin(x) + 1 &= 0 &|& \cdot (-1) \\ 2\sin^2(x) - \sin(x) - 1 &= 0\\ \end{split}\]

En posant \(t = \sin(x)\), l'équation se transforme en une équation du deuxième degré:

\[\begin{split} 2t^2 - t - 1 &= 0 \qquad &|& \text{factorisation du trinôme} \\ 2t^2 - 2t + t - 1 &= 0 \\ 2t(t - 1) + (t - 1) &= 0\\ (2t + 1)(t - 1) &= 0 \\ \end{split}\]

\(t = -\dfrac{1}{2}\) ou \(t = 1\) avec \(t = \sin(x)\) donnent:

\(\sin(x) = -\frac{1}{2}\)

\[\begin{split} x_1 &= -\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi\\ \end{split}\]

\[\begin{split} x_2 &= \pi - (-\dfrac{\pi}{6}) + k \cdot 2\pi\\ x_2 &= \pi + \dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi\\ x_2 &= \dfrac{7\pi}{6} + k \cdot 2\pi\\ \end{split}\]

\(\sin(x) = 1\)

\[\begin{split} x_3 &= \dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi\\ \end{split}\]

\(S = {\color{darkmagenta}\left\{-\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} \cup {\color{darkgreen}\left\{\dfrac{7\pi}{6} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} \cup {\color{skyblue}\left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot 2\pi \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}} = \left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}\)

-> exercice 12, exercice 13, exercice 14,

Exercices

Exercice 8

Résolvez les équations suivantes.

1. \(\sin(\varphi)=0.8473\)

2. \(\cos(\varphi)=-0.38\)

3. \(\tan(\varphi)=-1.6\)

4. \(\cos(x)=1.352\)

5. \(\tan(x)=-0.9042\)

6. \(\sin(x)=0.44\)

Exercice 9

Résolvez les équations suivantes.

1. \(\cos(\alpha-60^\circ)=-\dfrac{1}{2}\)

2. \(\tan(4x)=\sqrt{3}\)

3. \(2 \cdot \sin\left(x+\dfrac{\pi}{12}\right)=-\sqrt{2}\)

4. \(\sin(3\alpha+15^\circ)=-0.5\)

Exercice 10

Résolvez les équations suivantes.

1. \(\sin(3x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\)

2. \(\tan\left(\dfrac{2\pi}{3}-x\right)=\tan(2x)\)

3. \(\cos\left(\dfrac{2\alpha}{3}-45^\circ\right)=-\cos\left(\dfrac{3\alpha}{2}-30^\circ\right)\)

4. \(\sin\left(\dfrac{5\alpha}{3}\right)+\cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=0\)

Exercice 11

Déterminez les zéros des fonctions suivantes.

1. \(f(x) = 2\sin\left(2\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right)\right)\)

2. \(f(x) = 3\cos\left(\dfrac{x+\pi}{2}\right)\)

Exercice 12

Résolvez les équations suivantes en utilisant une substitution pour obtenir une équation quadratique.

1. \(2 \cdot \sin^2(x)-5 \cdot \sin(x)+2=0\)

2. \(\tan^4(x)-4 \cdot \tan^2(x)=-3\)

3. \(3 \cdot \cos^2(\alpha)- 3 \cdot \cos(\alpha)+1=0\)

4. \(1- \sin(\alpha) = 2 \cdot \cos^2(\alpha)\)

Exercice 13

En raison de la marée, la hauteur du niveau des mers et des océans varie chaque jour. La Baie de Fundy au Canada est connue pour ses grandes marées. Le 12 novembre 2008, le niveau de la mer dans cette baie est donné par la fonction

\[h(t) = 1.2 \cdot \sin(0.506 \cdot t + 2) + 5\]

où \(t\) est l'heure pendant cette journée et \(h\) la hauteur du niveau de la mer en mètres.

1. Quelle est la différence de niveau entre la marée basse et la marée haute ce jour-là?

2. Combien de temps s'écoule entre une marée haute et la prochaine marée haute?

3. À quelle heure a lieu la première marée haute ce jour-là?

4. Quel est le niveau de la mer ce jour-là à 13 heures 30? Est-ce que le niveau croît ou décroît à ce moment?

5. Tracez la représentation graphique de cette fonction dans un système d'axes.

Exercice 14

Résolvez les équations suivantes.

1. \(\sin(x)-\sin(x)\cdot \cos(x)=0\)

2. \(3 \cdot \tan(\alpha)\cdot \sin(\alpha) - \sin(\alpha)=0\)

3. \(\cos\left(3x+\dfrac{\pi}{6}\right) = 0.5\)

4. \(\tan\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

5. \(\tan(5x-2)=100\)

6. \(4 \cdot \cos^2(\alpha)-3=0\)

7. \(2 \cdot \cos^2(x)-\cos(x)-0.5=0\)

8. \(3 \cdot \sin(\alpha)=2 \cdot \cos^2(\alpha)\)

9. \(\tan(\alpha)-\sin(\alpha)=0\)

10. \(\sin(x)+\cos(x)=1\)

Solutions

Exercice 8

1. \(S = \left\{ 57.92^\circ + k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ 122.08^\circ + k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

2. \(S = \left\{ 112.33^\circ +k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -112.33^\circ + k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

3. \(S = \left\{ 122^\circ +k \cdot 180^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

4. \(S=\emptyset\)

5. \(S = \left\{ 2.4065 + k \cdot \pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

6. \(S = \left\{ 0.4556 + k \cdot 2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ 2.686 + k \cdot 2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

Exercice 9

1. \(S = \left\{ 180^\circ +k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -60^\circ+k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

2. \(S = \left\{ \dfrac{\pi}{12} +k \cdot \dfrac{\pi}{4} \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

3. \(S = \left\{ -\dfrac{\pi}{3} +k \cdot 2\pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \dfrac{7\pi}{6} +k \cdot 2\pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

4. \(S = \left\{ -15^\circ +k \cdot 120^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ 65^\circ+k \cdot 120^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

Exercice 10

1. \(S = \left\{ \dfrac{\pi}{8} +k \cdot \dfrac{\pi}{2} \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \dfrac{\pi}{4} +k \cdot \pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

2. \(S = \left\{ \dfrac{2\pi}{9} +k \cdot \dfrac{\pi}{3} \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

3. \(S = \left\{ 117.69^\circ +k \cdot 166.15^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -234^\circ+k \cdot 432^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

4. \(S = \left\{ -77.14^\circ +k \cdot 308.57^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ 124.62^\circ+k \cdot 166.15^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

Exercice 11

1. \(S = \left\{ k\cdot \dfrac{\pi}{2} \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

2. \(S = \left\{ k \cdot 2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

Exercice 12

1. \(S = \left\{ \dfrac{\pi}{6} +k \cdot 2\pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \dfrac{5\pi}{6} +k \cdot 2\pi\Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

2. \(S = \left\{ \dfrac{\pi}{4} +k \cdot \dfrac{\pi}{2} \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \dfrac{\pi}{3} +k \cdot \pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \dfrac{2\pi}{3} +k \cdot \pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

3. \(S=\emptyset\)

4. \(S = \left\{ 90^\circ +k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -30^\circ+k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ 210^\circ+k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

Exercice 13

1. \(2.4\) m

2. 12 heures et 25 minutes

3. À 11 heures 34

4. \(5.67\) m; le niveau décroit

Exercice 14

1. \(S = \left\{ k \cdot \pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

2. \(S = \left\{ k \cdot 180^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ 18.435^\circ+k \cdot 180^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

3. \(S = \left\{ \dfrac{\pi}{18} +k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\dfrac{\pi}{2} +k \cdot \dfrac{2\pi}{3} \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

4. \(S = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+k \cdot \dfrac{\pi}{2} \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

5. \(S = \left\{ 0.7122 + k \cdot \dfrac{\pi}{5} \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

6. \(S = \left\{ 30^\circ +k \cdot 180^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -30^\circ+k \cdot 180^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

7. \(S = \left\{ \dfrac{\pi}{5} +k \cdot 2\pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\dfrac{\pi}{5} +k \cdot 2\pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \\ \left\{ \dfrac{3\pi}{5} +k \cdot 2\pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ -\dfrac{3\pi}{5} +k \cdot 2\pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)

8. \(S = \left\{ 30^\circ +k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{ 150^\circ+k \cdot 360^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

9. \(S = \left\{ k \cdot 180^\circ \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\)

10. \(S = \left\{ k \cdot 2\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{ \dfrac{\pi}{2} +k \cdot 2\pi \Bigm| k \in \mathbb{Z} \right\}\)