Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques#

Définition

Une fonction réelle \(f\) est périodique s'il existe un nombre réel \(p\) tel que, pour tout \(k \in \mathbb{Z}\) et tout \(x\in D_f\),

\[f(x + k \cdot p) = f(x).\]

Le nombre \(p\) est alors appelé la période de la fonction.

Fonction \(\sin(x)\)#

\[\begin{split} \sin: \mathbb{R} & \to [-1; 1]\\ x & \mapsto \sin(x) \end{split}\]

\(\sin(x) = \sin(x + k \cdot 2\pi)\), la période de \(\sin(x)\) est \(2\pi\).

\(\sin(-x) = -\sin(x)\), la fonction \(\sin(x)\) est donc impaire.

zéros: \(\{k \cdot \pi \; | \; k \in \mathbb{Z}\}\)

Fonction \(\cos(x)\)#

\[\begin{split} \cos: \mathbb{R} & \to [-1; 1]\\ x & \mapsto \cos(x) \end{split}\]

\(\cos(x) = \cos(x + k \cdot 2\pi)\), la période de \(\cos(x)\) est \(2\pi\).

\(\cos(-x) = \cos(x)\), la fonction \(\cos(x)\) est donc paire.

zéros: \(\left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; | \; k \in \mathbb{Z}\right\}\)

Fonction \(\tan(x)\)#

\[\begin{split} \tan: \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi\right\} \ & \to \mathbb{R}\\ x & \mapsto \tan(x) \end{split}\]

\(\tan(x) = \tan(x + k \cdot \pi)\), la période de \(\tan(x)\) est \(\pi\).

\(\tan(-x) = -\tan(x)\), la fonction \(\tan(x)\) est donc impaire.

zéros: \(\{k \cdot \pi \; | \; k \in \mathbb{Z}\}\)

Propriétés

Fonctions sinus, cosinus et tangente

Pour \(k \in \mathbb{Z}\).

sin cos tan
Dom. de déf. \(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi\right\}\)
Images \([-1; 1]\) \([-1; 1]\) \(\mathbb{R}\)
Période \(2\pi\) \(2\pi\) \(\pi\)
Zéros \(k \cdot \pi\) \(\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) \(k \cdot \pi\)
Parité impaire paire impaire

Exemple 7#

Comment la représentation de la fonction \(a \cdot \sin(b \cdot x + c) + d\) change-t-elle en fonction des coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\)?

Exemple 8#

Comment la représentation de la fonction \(a \cdot \cos(b \cdot x + c) + d\) change-t-elle en fonction des coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\)?

Exemple 9#

Comment la représentation de la fonction \(a \cdot \tan(b \cdot x + c) + d\) change-t-elle en fonction des coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\)?

Définition

La fonction réciproque de la fonction sinus restreinte à \(\left[ -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\) est appelée arc sinus, notée \(\arcsin\):

\[\begin{split}\arcsin: \left[-1;1\right] & \to \left[ -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\\ x & \mapsto \arcsin(x)\end{split}\]

La fonction réciproque de la fonction cosinus restreinte à \(\left[ 0;\pi \right]\) est appelée arc cosinus, notée \(\arccos\):

\[\begin{split}\arccos: \left[-1;1\right] & \to \left[ 0;\pi \right]\\ x & \mapsto \arccos(x)\end{split}\]

La fonction réciproque de la fonction tangente restreinte à \(\left] -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right[\) est appelée arc tangente, notée \(\arctan\):

\[\begin{split}\arctan: \mathbb{R} & \to \left] -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right[\\ x & \mapsto \arctan(x)\end{split}\]

Représentation de la fonction \(\arcsin(x)\)#

Représentation de la fonction \(\arccos(x)\)#

Représentation de la fonction \(\arctan(x)\)#

Exemple 10#

Déterminez tous les angles \(\alpha\) en degrés tels que \(\tan(\alpha) = 0.8\).

Une solution possible est \(\quad \alpha = \arctan(0.8) \approx 38.66^\circ\)

Comme la tangente a une période de \(180^\circ\), l'ensemble des solutions est:

\(S = \{ 38.66^\circ + k \cdot 180^\circ \Bigm| k \in \mathbb{Z}\}\).

Exemple 11#

Déterminez tous les angles \(\alpha\) en randians tels que \(\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Une solution possible est \(\quad x_1 = \arcsin(\dfrac{\sqrt{2}}{2}) = \dfrac{\pi}{4}\)

Par symétrie dans le cercle trigonométrique, une autre solution possible est \(x_2 = \pi - x_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}\).

Comme le sinus a une période de \(2\pi\), l'ensemble des solutions est:

\(S = \left\{\dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi\Bigm| k \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{\dfrac{3\pi}{4} + k \cdot 2\pi\Bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}\)

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