Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques#

Corrigés détaillés

Théorie#

Définition

Une fonction réelle \(f\) est périodique s'il existe un nombre réel \(p\) tel que, pour tout \(k \in \mathbb{Z}\) et tout \(x\in D_f\),

\[f(x + k \cdot p) = f(x).\]

Le nombre \(p\) est alors appelé la période de la fonction.

-> exercice 1

Fonction \(\sin(x)\)

\[\begin{split} \sin: \mathbb{R} & \to [-1; 1]\\ x & \mapsto \sin(x) \end{split}\]

\(\sin(x) = \sin(x + k \cdot 2\pi)\), la période de \(\sin(x)\) est \(2\pi\).

\(\sin(-x) = -\sin(x)\), la fonction \(\sin(x)\) est donc impaire.

zéros: \(\{k \cdot \pi \; | \; k \in \mathbb{Z}\}\)

Fonction \(\cos(x)\)

\[\begin{split} \cos: \mathbb{R} & \to [-1; 1]\\ x & \mapsto \cos(x) \end{split}\]

\(\cos(x) = \cos(x + k \cdot 2\pi)\), la période de \(\cos(x)\) est \(2\pi\).

\(\cos(-x) = \cos(x)\), la fonction \(\cos(x)\) est donc paire.

zéros: \(\left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; | \; k \in \mathbb{Z}\right\}\)

Fonction \(\tan(x)\)

\[\begin{split} \tan: \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi\right\} \ & \to \mathbb{R}\\ x & \mapsto \tan(x) \end{split}\]

\(\tan(x) = \tan(x + k \cdot \pi)\), la période de \(\tan(x)\) est \(\pi\).

\(\tan(-x) = -\tan(x)\), la fonction \(\tan(x)\) est donc impaire.

zéros: \(\{k \cdot \pi \; | \; k \in \mathbb{Z}\}\)

Propriétés

Fonctions sinus, cosinus et tangente

Pour \(k \in \mathbb{Z}\).

sin cos tan
Dom. de déf. \(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R}\) \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi\right\}\)
Images \([-1; 1]\) \([-1; 1]\) \(\mathbb{R}\)
Période \(2\pi\) \(2\pi\) \(\pi\)
Zéros \(k \cdot \pi\) \(\dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi\) \(k \cdot \pi\)
Parité impaire paire impaire

Représentation graphique de la fonction \(\sin(x)\):

Représentation graphique de la fonction \(\cos(x)\):

Représentation graphique de la fonction \(\tan(x)\):

Exemple 1

Comment la représentation de la fonction \(a \cdot \sin(b \cdot x + c) + d\) change-t-elle en fonction des coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\)?

-> exercice 2

Exemple 2

Comment la représentation de la fonction \(a \cdot \cos(b \cdot x + c) + d\) change-t-elle en fonction des coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\)?

-> exercice 3

Exemple 3

Comment la représentation de la fonction \(a \cdot \tan(b \cdot x + c) + d\) change-t-elle en fonction des coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\)?

-> exercice 4

Définition

La fonction réciproque de la fonction sinus restreinte à \(\left[ -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\) est appelée arc sinus, notée \(\arcsin\):

\[\begin{split}\arcsin: \left[-1;1\right] & \to \left[ -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right]\\ x & \mapsto \arcsin(x)\end{split}\]

La fonction réciproque de la fonction cosinus restreinte à \(\left[ 0;\pi \right]\) est appelée arc cosinus, notée \(\arccos\):

\[\begin{split}\arccos: \left[-1;1\right] & \to \left[ 0;\pi \right]\\ x & \mapsto \arccos(x)\end{split}\]

La fonction réciproque de la fonction tangente restreinte à \(\left] -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right[\) est appelée arc tangente, notée \(\arctan\):

\[\begin{split}\arctan: \mathbb{R} & \to \left] -\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2} \right[\\ x & \mapsto \arctan(x)\end{split}\]

Représentation de la fonction \(\arcsin(x)\)

Représentation de la fonction \(\arccos(x)\)

Représentation de la fonction \(\arctan(x)\)

Exemple 4

Déterminez tous les angles \(\alpha\) en degrés tels que \(\tan(\alpha) = 0.8\).

Une solution possible est \(\quad \alpha = \arctan(0.8) \approx 38.66^\circ\)

Comme la tangente a une période de \(180^\circ\), l'ensemble des solutions est:

\(S = \{ 38.66^\circ + k \cdot 180^\circ \Bigm| k \in \mathbb{Z}\}\).

Exemple 5

Déterminez tous les angles \(\alpha\) en randians tels que \(\sin(x) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Une solution possible est \(\quad x_1 = \arcsin(\dfrac{\sqrt{2}}{2}) = \dfrac{\pi}{4}\)

Par symétrie dans le cercle trigonométrique, une autre solution possible est \(x_2 = \pi - x_1 = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}\).

Comme le sinus a une période de \(2\pi\), l'ensemble des solutions est:

\(S = \left\{\dfrac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi\Bigm| k \in \mathbb{Z}\right\} \cup \left\{\dfrac{3\pi}{4} + k \cdot 2\pi\Bigm| k \in \mathbb{Z}\right\}\)

-> exercice 5, exercice 6, exercice 7

Exercices#

Exercice 1#

Lesquelles des fonctions ci-dessous sont périodiques? Justifiez la réponse et déterminez la période, le cas échéant.

  1. temps \(\longrightarrow\) hauteur d'une balle qui rebondit sur le sol

  2. temps \(\longrightarrow\) distance entre la Terre et le Soleil

  3. temps \(\longrightarrow\) niveau de l'eau le long d'un bord de mer

Exercice 2#

Établissez un tableau de correspondance des fonctions données, puis tracez leur représentation graphique dans le repère ci-dessous, où la représentation graphique de la fonction sinus a déjà été tracée. Que modifie le coefficient devant le \(\sin(x)\)?

  1. \(f_1(x)=2\cdot \sin(x)\)

  2. \(f_2(x)=0.25 \cdot \sin(x)\)

  3. \(f_3(x)=- \sin(x)\)

Exercice 3#

Établissez un tableau de correspondance des fonctions données, puis tracez leur représentation graphique dans le repère ci-dessous, où la représentation graphique de la fonction cosinus a déjà été tracée. Que modifie le coefficient devant le \(x\) d'un \(\cos(x)\)?

  1. \(f_1(x)= \cos(0.5x)\)

  2. \(f_2(x)= \cos(2x)\)

  3. \(f_3(x)= \cos(4x)\)

Exercice 4#

Tracez la représentation graphique des fonctions ci-dessous.

  1. \(f_1(x)=2\cos(x+2\pi)-1\)

  2. \(f_2(x)=\cos(2x)+1\)

  3. \(f_3(x)=1.5\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-0.5\)

  4. \(f_4(x)=\cos\left(0.5\left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right)\)

Exercice 5#

Déterminez tous les angles (en degrés arrondis au centième) tels que:

  1. \(\sin(\alpha)=0.82\)

  2. \(\cos(\beta)=-0.65\)

  3. \(\tan(\gamma)=1.9\)

Exercice 6#

Déterminez tous les angles (en radian arrondis au dix-millionième) tels que:

  1. \(\tan(x)=-0.2\)

  2. \(\sin(y)=-1\)

  3. \(\cos(z)=0.34\)

Exercice 7#

Une grande roue possédant un diamètre de \(60\) m et dont l'axe se trouve à une hauteur de \(31\) m au dessus du sol nécessite 3 minutes pour faire un tour complet. Un passager se trouve dans une cabine de cette grande roue, située tout en bas au temps \(t=0\).

  1. À quelle hauteur le passager se trouve-t-il au temps \(t= 1\) min, \(t=4.5\) min et \(t= 6\) min?

  2. Tracez la représentation graphique de la fonction qui exprime la hauteur du passager en fonction du temps écoulé en minutes.

  3. Déterminez l'expression algébrique de cette fonction.

Solutions#

Exercice 1#

  1. Non, car la balle rebondit toujours moins haut.

  2. Oui, la période est 1 année.

  3. Oui, l'alternance de la marée haute et de la marée basse est un processus périodique.

Exercice 2#

Le coefficient devant le \(\sin(x)\) change l'amplitude de la fonction.

Exercice 3#

Le coefficient devant le \(x\) du \(\cos(x)\) change la période.

Exercice 4#

Exercice 5#

  1. \(\alpha_1=55.08^\circ+k \cdot 360^\circ\), \(\alpha_2=124.92^\circ +k \cdot 360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\)

  2. \(\beta_1=130.54^\circ+k \cdot 360^\circ\), \(\beta_2=-130.54^\circ +k \cdot 360^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\)

  3. \(\gamma=62.24^\circ+k \cdot 180^\circ\), \(k \in \mathbb{Z}\)

Exercice 6#

  1. \(x=-0.1974+k \cdot \pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)

  2. \(y=-1.5708+k \cdot 2\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)

  3. \(z_1=1.2239+ k \cdot 2\pi\), \(z_2=-1.2239+ k \cdot 2\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\)

Exercice 7#

  1. \(46\) m; \(61\) m; \(1\)m

  3. \(f(t) = -30\cos\left(\frac{2\pi}{3}t\right)+31 = 30\sin\left(\frac{2\pi}{3}\left(t-\frac{3}{4}\right)\right)+31 = 30\sin\left(\frac{2\pi}{3}t-\frac{\pi}{2}\right)+31\)