Fonctions - Révisions#
Théorie#
Fonctions, domaine de définition, ordonnée à l'origine et zéros#
Définition
Une fonction \(f: A \longrightarrow B\) d'un ensemble \(A\) dans un ensemble \(B\) est une relation qui associe à chaque élément de \(A\) au plus un élément de \(B\).
\(A\) est appelé l'ensemble de départ de \(f\) et \(B\) est appelé l'ensemble d'arrivée de \(f\).
Définition
Soit la fonction \(f: x \mapsto f(x)\), si \(x\) est un élément de \(A\), alors \(f(x)\), si elle existe, est unique et est appelée l'image de \(x\) par \(f\). \(f(x)\) est un élément de \(B\).
Inversement \(x\) est appelé la préimage ou l'antécédent de \(f(x)\). Une valeur \(f(x)\) peut avoir plusieurs préimages.
L'ensemble image par \(f\), noté \(Im_f\), est l'ensemble des images de l'ensemble de départ.
Définition
Le domaine de définition d'une fonction réelle \(f\), noté \(D_f\), est l'ensemble des éléments de l'ensemble de départ qui ont une image par \(f\), c'est-à-dire l'ensemble des \(x\) pour lesquels \(f(x)\) est définie.
Remarques
Le domaine de définition des fonctions du premier et du deuxième degré est \(\mathbb{R}\), car leur expression algébrique est un polynôme et pour toutes valeurs de \(x\), \(f(x)\) existe.
Le domaine de définition d'une fonction rationnelle de la forme \(f(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}\) est \(\mathbb{R}\) auquel il faut enlever les valeurs de \(x\) qui posent problème, c'est-à-dire les valeurs pour lesquels \(B(x)\) s'annule.
Définition
L'ordonnée à l'origine d'une fonction \(f\) est la valeur de \(f\) lorsque
\(x=0\), c'est-à-dire \(f(0)\).
Graphiquement l'ordonnée à l'origine représente l'intersection du graphe de \(f\)
avec l'axe des \(y\).
Définition
Les zéros d'une fonction \(f\) sont les valeurs \(x\) pour lesquelles la
fonction s'annule, c'est-à-dire pour lesquelles nous avons \(f(x)=0\).
Graphiquement les zéros représentent les intersections du graphe de \(f\) avec
l'axe des \(x\).
Fonctions du premier degré#
Définition
Une fonction du premier degré est une fonction dont l'expression
algébrique peut s'écrire sous la forme d'un polynôme du premier degré
\(f(x) = mx + h\) où les coefficients \(m \neq 0\) et \(h\) sont des nombres réels.
La représentation graphique d'une fonction du premier degré est une droite.
Une fonction linéaire est une fonction dont \(h = 0\). Elle est de la forme \(f(x) = mx\) et sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. Alors qu'une fonction dont \(h \neq 0\) est une fonction affine.
Fonctions constantes#
Définition
Une fonction constante est une fonction dont l'expression algébrique peut s'écrire sous la forme \(f(x) = p\), ce qui signifie que l'image de \(x\) par \(f\) est toujours la même. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des \(x\).
Fonctions quadratiques#
Définition
Une fonction quadratique ou fonction du deuxième degré est une fonction
dont l'expression algébrique peut s'écrire sous la forme d'un polynôme du
deuxième degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\) où les coefficients \(a \neq 0\), \(b\) et \(c\)
sont des nombres réels.
La représentation graphique d'une fonction quadratique est une parabole.
Si \(a > 0\), la parabole est convexe (elle "sourit").
Si \(a < 0\), la parabole est concave (elle "fait la tête").
Théorème
Soit la fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) une fonction du deuxième degré.
Le discriminant est \(\Delta = b^2-4ac\)
- Si \(\Delta > 0\)
\(f\) possède deux zéros: \(x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Forme factorisée: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2).\)
\(f\) coupe l'axe des \(x\) en \(x_1\) et \(x_2\).- Si \(\Delta = 0\)
\(f\) possède un seul zéro: \(x_1=-\dfrac{b}{2a}\)
Forme factorisée: \(f(x) = a(x - x_1)^2\).
\(f\) coupe l'axe des \(x\) en \(x_1\).- Si \(\Delta < 0\)
\(f\) ne possède pas de zéro. Forme factorisée n'existe pas. f ne coupe pas l'axe des \(x\).
Théorème
Le point maximum ou minimum d'une parabole est appelé sommet. Les coordonnées du sommet \(S(x_s;y_s)\) d'une fonction quadratique \(f\) sont
Résolution d'inéquations#
La résolution d'inéquation du 1er degré est identique à la résolution d'équation à l'exception de la multiplication ou la division par un nombre négatif qui change le sens de l'inégalité.
Pour résoudre une inéquation du 2e degré ou plus, il faut passer par la factorisation et faire un tableau de signes.
Pour résoudre une inéquation avec une fraction rationnelle, il faut faire un tableau de signes.
Exercices#
Exercice 1#
Les représentations graphiques suivantes sont-elles celles d'une fonction?
Exercice 2#
Pour chacune des fonctions suivantes, répondez aux questions ci-dessous:
Quel est le domaine de définition de \(f\)?
Quel est l'ensemble des images de \(f\)?
Que vaut \(f(-1)\)? Et \(f(0)\)?
Si l'image de \(x\) est \(2\), alors que vaut \(x\)?
Déterminez l'ensemble des solutions de \(f(x)=1\).
Quel est l'ensemble des valeurs de \(x\) pour lesquelles la fonction est positive?
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation \(f(x)\leq 2\)?
De quelle valeur 2 est-il l'antécédent (ou la préimage)?
Quelle est la valeur du maximum (absolu) de \(f\)?
Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est-elle décroissante?
Exercice 3#
Déterminez le domaine de définition des fonctions suivantes.
\(f(x)=\dfrac{1}{x^2-4}\)
\(f(x)=\sqrt{x+4}\)
\(f(x)=\dfrac{2x+4}{1+x^2}\)
\(f(x)=\dfrac{4x+7}{x}\)
\(f(x)=\sqrt{x^2+6x+5}\)
\(f(x)=\sqrt{6x-4}\)
\(f(x)=\sqrt{5-3x}\)
Exercice 4#
Déterminez le domaine de définition et les zéros des fonctions suivantes.
\(f(x)=5x-1\)
\(f(t)=t^2+2t\)
\(g(x)=\dfrac{x-4}{4-2x}\)
\(h(s)=s^2-4s+3\)
\(j(x)=\dfrac{x+3}{2x-4}\)
\(k(t)=\sqrt{(t+2)(3-t)}\)
\(m(t)=\dfrac{t^2-3t-4}{t}\)
\(f(x)=\dfrac{\sqrt{-x+2}}{4x^2+2x}\)
Exercice 5#
Déterminez les expressions algébriques des fonctions dont ces droites sont les représentations graphiques.
Exercice 6#
Déterminez l'expression algébrique de la fonction dont la représentation graphique est une droite...
... qui passe par les points \(A(2;4)\) et \(B(3;6)\).
... qui passe par les points \(A(2;-1)\) et \(B(-2;-1)\).
... qui passe par le point \(P(3;1)\) et dont l'ordonnée à l'origine vaut \(\frac{5}{2}\).
... qui passe par les points \(K(2;3)\) et \(L(-17;3)\).
... de pente \(2\) et d'ordonnée à l'origine \(-1\).
... de pente \(0\) et d'ordonnée à l'origine \(2\).
... qui coupe l'axe des \(x\) en \(-1\) et passe par le point \(A(2;3)\).
Exercice 7#
Factorisez si possible les expressions algébriques des fonctions suivantes, puis calculez les coordonnées du sommet \(S\) de leur représentation graphique, en précisant s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
\(f(x)=x^2+12x+11\)
\(f(x)=x^2+4x\)
\(f(x)=x^2-2x-3\)
\(f(x)=-x^2+2x-1\)
\(f(x)=x^2+x+1\)
\(f(x)=-\frac{1}{3}x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}\)
\(f(x)=2x^2-x+2\)
\(f(x)=3x^2-12x+12\)
\(f(x)=-x^2+\frac{4}{3}x-\frac{4}{9}\)
\(f(x)=\frac{1}{2}x^2+x+1\)
\(f(x)=-2x^2-5x+3\)
\(f(x)=2x^2-x+4\)
\(f(x)=7x^2+8x+1\)
\(f(x)=15x^2+x-2\)
\(f(x)=-x^2+8x+20\)
\(f(x)=x^2-5\)
\(f(x)=x^2+4x-6\)
\(f(x)=3x^2+5x-4\)
Exercice 8#
Représentez graphiquement les paraboles de l'exercice précédent.
Exercice 9#
Déterminez l'expression fonctionnelle de la parabole qui passe par les points \(A(2; 9)\), \(B(-6; -7)\) et \(C(1; 0)\).
Exercice 10#
Déterminez à l'aide d'un tableau de signes l'ensemble des solutions des inéquations suivantes.
\((3x+1)(2x+3) > 0\)
\((5-x)(2x+1) < 0\)
\(\dfrac{5+2x}{4x+1} \leq 0\)
\(\dfrac{2x+1}{2-x} \geq 0\)
Solutions#
Exercice 1#
oui
non
non
oui
non
oui
Exercice 2#
\(D_f=\left[-5;5\right] \)
\(Im_f=\left[ -4;2.5\right]\)
\(f(-1)=1\), \(f(0)=2\)
\(x = 0\) ou \(2\)
\(S=\left\{ -1; 3\right\rbrace \)
\(x \in \left[ -3; 5 \right] \)
\(S=\left[ -5; 0\right] \cup \left[ 2; 5\right]\)
\(2\) est l'antécédent de \(2\)
Le maximum (absolu) est \((1; 2.5)\)
\(x\in\left[ 1; 5\right] \)
\(D_f=\left[-5;5\right] \)
\(Im_f=\left[ -5;2\right]\)
\(f(-1)=0\), \(f(0)=-2\)
\(x = -5\)
\(S=\left\{ -3\right\rbrace \)
\(x \in \left[ -5; -1\right] \cup \{5\} \)
\(S=\left[ -5; 5\right] \)
\(2\) est l'antécédent de \(-5\)
Le maximum (absolu) est \((-5; 2)\)
\(x\in\left[ -5; 2\right]\)
\(D_f=\left[-5;5\right] \)
\(Im_f=\left[ -2;3\right]\)
\(f(-1)=-1\), \(f(0)=-2\)
\(x = -4\) ou \(5\)
\(S=\left\{ -3; 3.5\right\} \)
\(x \in \left[ -5; -2\right] \cup \left[ 3; 5\right] \)
\(S=\left[ -4; 5\right] \)
2 est l'antécédent de -2
Le maximum (absolu) est \((-5; 3)\)
\(x \in \left[ -5; 0\right] \cup \left[ 1; 2\right] \)
Exercice 3#
\(D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ -2; 2 \right\}\)
\(D_f = \left[-4; +\infty\right[\)
\(D_f = \mathbb{R}\)
\(D_f = \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\)
\(D_f = \left] -\infty; -5\right] \cup \left[ -1; +\infty\right[\)
\(D_f = \left[ \frac{2}{3}; +\infty \right[\)
\(D_f = \left] -\infty; \frac{5}{3} \right]\)
Exercice 4#
Zéro: \(x=\frac{1}{5}\); \(D_f=\mathbb{R}\).
Zéros: \(t_1=-2\) et \(t_2=0\); \(D_f=\mathbb{R}\).
Zéro: \(x=4\); \(D_g=\mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}\).
Zéros: \(s_1=1\) et \(s_2=3\); \(D_h=\mathbb{R}\).
Zéro: \(x=-3\); \(D_j=\mathbb{R} \setminus \left\{ 2 \right\}\).
Zéros: \(t_1=-2\) et \(t_2=3\); \(D_k=\left[ -2;3 \right]\).
\(m(t)=\dfrac{t^2-3t-4}{t}=\dfrac{(t+1)(t-4)}{t}\)
Zéros: \(t_1=-1\) et \(t_2=4\);
\(D_m = \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\).\(f(x)=\dfrac{\sqrt{-x+2}}{4x^2+2x} = \dfrac{\sqrt{-x+2}}{2x(2x + 1)}\)
Zéro: \(x=2\);
\(D_f = \left] -\infty;2 \right] \setminus \left\{ -\frac{1}{2}; 0 \right\}\).
Exercice 5#
\(a(x) = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\)
\(b(x) = -x+2\)
\(c(x) = 3x\)
\(d(x) = \frac{3x}{2} - 1\)
\(e(x) = -x-2\)
\(f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{2}\)
\(g(x) = -3\)
N'est pas une fonction
Exercice 6#
\(f(x) = 2x\)
\(f(x) = -1\)
\(f(x) = -\frac{x}{2} + \frac{5}{2}\)
\(f(x) = 3\)
\(f(x) = 2x-1\)
\(f(x) = 2\)
\(f(x) = x+1\)
Exercice 7#
\(f(x) = (x + 11)(x + 1)\); \(S(-6;-25)\) minimum
\(f(x) = x(x + 4)\); \(S(-2;-4)\) minimum
\(f(x) = (x + 1)(x - 3)\); \(S(1;-4)\) minimum
\(f(x) = -(x - 1)^2\); \(S(1;0)\) maximum
Pas factorisable; \(S\Bigl(-\frac{1}{2};\frac{3}{4}\Bigr)\) minimum
Pas factorisable; \(S\Bigl(-\frac{1}{2};-\frac{1}{4}\Bigr)\) maximum
Pas factorisable; \(S\Bigl(\frac{1}{4};\frac{15}{8}\Bigr)\) minimum
\(f(x) = 3(x - 2)^2\); \(S(2;0)\) minimum
\(f(x) = -\Bigl(x - \frac{2}{3}\Bigr)^2\); \(S\Bigl(\frac{2}{3};0\Bigr)\) maximum
Pas factorisable; \(S\Bigl(-1;\frac{1}{2}\Bigr)\) minimum
\(f(x) = -2(x + 3)\Bigl(x - \frac{1}{2}\Bigr)\); \(S\Bigl(-\frac{5}{4};\frac{49}{8}\Bigr)\) maximum
Pas factorisable; \(S\Bigl(\frac{1}{4};\frac{31}{8}\Bigr)\) minimum
\(f(x) = 7(x + 1)\Bigl(x + \frac{1}{7}\Bigr)\); \(S\Bigl(-\frac{4}{7};-\frac{9}{7}\Bigr)\) minimum
\(f(x) = 15\Bigl(x + \frac{2}{5}\Bigr)\Bigl(x - \frac{1}{3}\Bigr)\); \(S\Bigl(-\frac{1}{30};-\frac{121}{60}\Bigr)\) maximum
\(f(x) = -(x + 2)(x - 10)\); \(S(4;36)\) maximum
\(f(x) = (x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})\); \(S(0;-5)\) minimum
\(f(x) = (x + 2-\sqrt{10})(x + 2+\sqrt{10})\); \(S(-2;-10)\) minimum
\(f(x) = 3\Bigl(x - \frac{-5-\sqrt{73}}{6}\Bigr)\Bigl(x - \frac{-5+\sqrt{73}}{6}\Bigr)\); \(S\Bigl(-\frac{5}{6};-\frac{73}{12}\Bigr)\) minimum
Exercice 8#
Correction en ligne avec Desmos (https://www.desmos.com/calculator?lang=fr) ou Geogebra (https://www.geogebra.org/cas?lang=fr).
Exercice 9#
\(f(x) = x^2 + 6x - 7\)
Exercice 10#
\(S = \Bigl] -\infty;-\frac{3}{2} \Bigr[ \cup \Bigl] -\frac{1}{3}; +\infty \Bigr[\)
\(S = \Bigl] -\infty;-\frac{1}{2} \Bigr[ \cup \left] 5; +\infty \right[\)
\(S = \Bigl[ -\frac{5}{2};-\frac{1}{4} \Bigr[\)
\(S = \Bigl[ -\frac{1}{2};2 \Bigr[\)