Fonctions - Révisions#
Fonctions, domaine de définition, ordonnée à l'origine et zéros#
Définition
Une fonction \(f: A \longrightarrow B\) d'un ensemble \(A\) dans un ensemble \(B\) est une relation qui associe à chaque élément de \(A\) au plus un élément de \(B\).
\(A\) est appelé l'ensemble de départ de \(f\) et \(B\) est appelé l'ensemble d'arrivée de \(f\).
Exemple 8#
La représentation graphique suivante est une fonction.
Rendering...La représentation graphique suivante n'est pas une fonction.
Rendering...
Définition
Soit la fonction \(f: x \mapsto f(x)\), si \(x\) est un élément de \(A\), alors \(f(x)\), si elle existe, est unique et est appelée l'image de \(x\) par \(f\). \(f(x)\) est un élément de \(B\).
Inversement \(x\) est appelé la préimage ou l'antécédent de \(f(x)\). Une valeur \(f(x)\) peut avoir plusieurs préimages.
L'ensemble image par \(f\), noté \(Im_f\), est l'ensemble des images de l'ensemble de départ.
Définition
Le domaine de définition d'une fonction réelle \(f\), noté \(D_f\), est l'ensemble des éléments de l'ensemble de départ qui ont une image par \(f\), c'est-à-dire l'ensemble des \(x\) pour lesquels \(f(x)\) est définie.
Le domaine de définition des fonctions du premier et du deuxième degré est \(\mathbb{R}\), car leur expression algébrique est un polynôme et pour toutes valeurs de \(x\), \(f(x)\) existe.
Le domaine de définition d'une fonction rationnelle de la forme \(f(x) = \dfrac{A(x)}{B(x)}\) est \(\mathbb{R}\) auquel il faut enlever les valeurs de \(x\) qui posent problème, c'est-à-dire les valeurs pour lesquels \(B(x)\) s'annule.
Exemple 9#
Calculez le domaine de définition de \(f(x) = \dfrac{2x + 1}{4x + 3}\).
Le dénominateur ne doit pas être nul:
\(4x + 3 \neq 0 \Longleftrightarrow 4x \neq -3 \Longleftrightarrow x = -\frac{3}{4}\)
\(\Longrightarrow D_f = \mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{4}\}\)
Exemple 10#
Calculez le domaine de définition de \(f(x) = \sqrt{7-x}\).
La partie sous la racine doit être positive ou nulle:
- Remarque:
Lorsqu'on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, le signe d'inégalité change de sens.
\(\Longrightarrow D_f = ] -\infty; 7 ]\)
Définition
L'ordonnée à l'origine d'une fonction \(f\) est la valeur de \(f\) lorsque
\(x=0\), c'est-à-dire \(f(0)\).
Graphiquement l'ordonnée à l'origine représente l'intersection du graphe de \(f\)
avec l'axe des \(y\).
Définition
Les zéros d'une fonction \(f\) sont les valeurs \(x\) pour lesquelles la
fonction s'annule, c'est-à-dire pour lesquelles nous avons \(f(x)=0\).
Graphiquement les zéros représentent les intersections du graphe de \(f\) avec
l'axe des \(x\).
Fonctions du premier degré#
Définition
Une fonction du premier degré est une fonction dont l'expression
algébrique peut s'écrire sous la forme d'un polynôme du premier degré
\(f(x) = mx +p\) où les coefficients \(m \neq 0\) et \(p\) sont des nombres réels.
La représentation graphique d'une fonction du premier degré est une droite.
Une fonction linéaire est une fonction dont \(p = 0\). Elle est de la forme \(f(x) = mx\) et sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine. Alors qu'une fonction dont \(p \neq 0\) est une fonction affine.
Exemple 11#
Déterminez l'expressions algébrique de la droite \(f = mx + p\) qui passe par les points \(P(-2;-1)\) et \(Q(3;2)\).
Pente:
\(m=\dfrac{y_p-y_q}{x_p-x_q}=\dfrac{-1 - 2}{-2 - 3} = \dfrac{-3}{-5} =\dfrac{3}{5}\)
\(f(x)= \dfrac{3}{5}x + p\).
Ordonnée à l'origine:
\(p = -1 + \dfrac{6}{5} = -\dfrac{5}{5} + \dfrac{6}{5} = \dfrac{1}{5}\)
L'expression algébrique de cette fonction est donc \(f(x)=\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{5}\)
Fonctions constantes#
Définition
Une fonction constante est une fonction dont l'expression algébrique peut s'écrire sous la forme \(f(x) = p\), ce qui signifie que l'image de \(x\) par \(f\) est toujours la même. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l'axe des \(x\).
Fonctions quadratiques#
Définition
Une fonction quadratique ou fonction du deuxième degré est une fonction
dont l'expression algébrique peut s'écrire sous la forme d'un polynôme du
deuxième degré \(f(x) = ax^2 + bx + c\) où les coefficients \(a \neq 0\), \(b\) et \(c\)
sont des nombres réels.
La représentation graphique d'une fonction quadratique est une parabole.
Si \(a > 0\), la parabole est convexe (elle "sourit").
Si \(a < 0\), la parabole est concave (elle "fait la tête").
Exemple 12#
\(f(x) = 4x^2 - 2x - 6\) est une fonction quadratique dont les coefficients sont \(a = 4\), \(b = -2\) et \(c = -6\). Commme \(a > 0\), la représentation graphique de \(f\) sera une parabole convexe.
Théorème
Soit la fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) une fonction du deuxième degré.
Le discriminant est \(\Delta = b^2-4ac\)
- Si \(\Delta > 0\)
\(f\) possède deux zéros: \(x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Forme factorisée: \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2).\)
\(f\) coupe l'axe des \(x\) en \(x_1\) et \(x_2\).- Si \(\Delta = 0\)
\(f\) possède un seul zéro: \(x_1=-\dfrac{b}{2a}\)
Forme factorisée: \(f(x) = a(x - x_1)^2\).
\(f\) coupe l'axe des \(x\) en \(x_1\).- Si \(\Delta < 0\)
\(f\) ne possède pas de zéro. Forme factorisée n'existe pas. f ne coupe pas l'axe des \(x\).
Exemple 13#
Reprenez \(f(x) = 4x^2 - 2x - 6\) et calculez les zéros, c'est-à-dire résolvez \(4x^2 - 2x - 6 = 0\).
\(\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 4 + 96 = 100\)
\(x_{1,2}=\dfrac{2 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 4} = \dfrac{2 \pm 10}{8}\)
\(x_1 = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}\) et \(x_2 = \dfrac{-8}{8} = -1\)
\(f\) a donc deux zéros et coupe l'axe des \(x\) en \(-1\) et en \(\dfrac{3}{2}\).
La forme factorisée est \(f(x) = 4(x - (-1))(x - \dfrac{3}{2}) = 4(x + 1)(x - \dfrac{3}{2})\)
Théorème
Le point maximum ou minimum d'une parabole est appelé sommet. Les coordonnées du sommet \(S(x_s;y_s)\) d'une fonction quadratique \(f\) sont
Exemple 14#
Comme la parabole est convexe, le sommet est un minimum. Calculez ses coordonnées.
\(x_s = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2 \cdot 4} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\)
Représentation graphique de la fonction \(f(x) = 4x^2 - 2x - 6\) avec les points calculés précédemment.
Résolution d'inéquations#
La résolution d'inéquation du 1er degré est identique à la résolution d'équation à l'exception de la multiplication ou la division par un nombre négatif qui change le sens de l'inégalité.
Exemple 15#
\(S = ]-\dfrac{11}{3}; +\infty[\)
Pour résoudre une inéquation du 2e degré ou plus, il faut faire un tableau de signes.
Exemple 16#
Zéros:
\(x - 2 = 0 \quad \text{ou} \quad x - 6 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad x = 2 \quad \text{ou} \quad x = -6\)
| \(x\) | \(\tiny-\;\infty\) | \(-6\) | \(2\) | \(\tiny+\;\infty\) | |
| \(x-2\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | |
| \(x+6\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |
| \((x - 2)(x + 6) \leq 0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
\(S = [-6; 2]\)
Pour résoudre une inéquation avec une fraction rationnelle, il faut faire un tableau de signes.
Exemple 17#
\(\dfrac{2x-1}{2-3x} \leq 0\)
Domaine de définition:
\(2-3x \neq 0 \qquad \Rightarrow \qquad 2 \neq 3x \qquad \Rightarrow \qquad \dfrac{2}{3} \neq x\)
\(D = \mathbb{R} \setminus \{\dfrac{2}{3}\}\)
Zéros:
\(2x - 1 = 0 \qquad \Rightarrow \qquad 2x = 1 \qquad \Rightarrow \qquad x = \dfrac{1}{2}\)
| \(x\) | \(\tiny-\;\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{2}{3}\) | \(\tiny+\;\infty\) | |
| \(2x-1\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | |
| \(2-3x\) | \(+\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | |
| \(\dfrac{2x-1}{2-3x} \leq 0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(-\) |
\(S = ]-\infty; \frac{1}{2}] \: \cup \: ]\frac{2}{3}; +\infty[\)