Cercle trigonométrique

Cercle trigonométrique#

Corrigés détaillés

Théorie#

Radian#

Origine degrés et radians

Degrés

  • Un tour complet -> \(360^\circ\)

  • \(360^\circ\) vient du système sexagécimal (base 60) utilisé par les Sumériens et les Babyloniens (3'000 avant JC).

    • 60 a beaucoups de diviseurs (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, ...) ce qui facilite les calculs.

  • Calendrier babylonien basé sur \(360^\circ\):

    • une année = temps que prend la terre pour faire le tour du soleil

    • un degré = déplacement des étoiles dans le ciel en une nuit

Radian

La longueur de l'arc est utilisé depuis très longtemps pour définir les angles, mais le mot radian apparaît seulement en 1873.

  • un tour complet: \(2\pi\) -> lié à \(\pi\) et indépendant de toutes conventions humaines.

  • le radian est un rapport et ne dépend donc pas d'une unité (pas de conversion nécessaire) -> facilite les calculs (fct trigo).

Définition

Un angle \(\alpha\) d'un radian intercepte sur la circonférence d'un cercle de rayon \(r\) un arc d'une longueur égale au rayon.

\[\alpha = \dfrac{l}{r}\]

Exemple 4

Théorème

Transformation des angles entre radians et degrés

Soient \(x\) un angle exprimé en radians et \(\varphi\) le même angle exprimé en degrés.

\[x = \frac{\varphi}{360^\circ} \cdot 2\pi \quad \text{et} \quad \varphi = \frac{x}{2\pi} \cdot 360^\circ.\]

Exemple 5

La mesure d'un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.

degrés \(360^\circ\) \(1\) \(\varphi\)
radians \(2\pi\) \(x\) \(1\)

1 degré correspond à: \(\quad x = \dfrac{2\pi}{360^\circ} \approx 0.0175^\circ\)

1 radian correspond à: \(\quad \varphi = \dfrac{360^\circ}{2\pi} \approx 57.3\)

Exemple 6

En radians, un angle de \(37^\circ\) vaut \(\qquad \dfrac{37^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi = \dfrac{37\pi}{180} \approx 0.2056\)

Un angle de 5.13 rad vaut en degré \(\qquad \dfrac{5.13}{2\pi} \cdot 360^\circ \approx 293.93^\circ\)

Propriétés

Table d'équivalence des angles remarquables:

degrés \(30^\circ\) \(45^\circ\) \(60^\circ\) \(90^\circ\) \(180^\circ\) \(270^\circ\) \(360^\circ\) \(720^\circ\)
radians \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\pi\) \(\dfrac{3\pi}{2}\) \(2\pi\) \(4\pi\)

Remarques

  • Les angles en radians sont généralement donnés sous forme de multiples ou de fractions de \(\pi\).

  • Le "rad" n'est en général pas noté, car c'est un rapport de deux longueurs (l'arc de cercle et le rayon). Les angles sans unité sont toujours des radians.

-> exercice 9, exercice 10, exercice 11, exercice 12 et exercice 13. [Attention: degrés (\(\varphi\)) ou radians (\(x\))]

Cercle trigonométrique#

Définition

Le cercle de rayon 1 et centré sur l'origine est appelé cercle trigonométrique.

Sinus, cosinus et tangente dans le cercle trigonométrique

Soient \(\alpha\) un angle reporté dans le cercle trigonométrique, \(P\) le point d'intersection de la demi-droite de l'angle avec le cercle et \(T\) le point d'intersection de cette demi-droite avec l'axe des tangentes, comme dans la figure ci-dessus.

Le cosinus de l'angle \(\alpha\), noté \(\cos(\alpha)\), est l'abscisse \(X_P\) du point \(P\).

Le sinus de l'angle \(\alpha\), noté \(\sin(\alpha)\), est l'ordonnée \(Y_P\) du point\(P\).

La tangente de l'angle \(\alpha\), notée \(\tan(\alpha)\), est l'ordonnée \(Y_T\) du point \(T\).

Propriétés

  • La tangente n'est pas définie si \(\varphi = \dfrac{\pi}{2} = 90^\circ\) et si \(\varphi = \dfrac{3\pi}{2} = 270^\circ\).

  • \(\tan{\alpha} = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

  • Pour déterminer la tangente de l'ange \(\varphi\) situé dans le deuxième ou le troisième quadrant, il faut prolonger la demi-droite \(OP\) dans l'autre direction pour trouver l'intersection T de l'angle avec l'axe des tangentes.

  • Pour les angles plus grands qu'un tour complet (\(2\pi\) ou \(360^\circ\)),

    \[\begin{split}\sin(\varphi) = \sin(\varphi + k \cdot 2\pi) = \sin(\varphi + k \cdot 360^\circ)\\ \cos(\varphi) = \cos(\varphi + k \cdot 2\pi) = \cos(\varphi + k \cdot 360^\circ)\\ \tan(\varphi) = \tan(\varphi + k \cdot \pi) = \tan(\varphi + k \cdot 180^\circ)\\\end{split}\]

Démonstration

Les triangles rectangles formés avec \(P\) et \(T\) sont semblables, les longueurs de leurs côtés sont donc proportionnelles deux à deux.

\(\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \dfrac{\tan(\alpha)}{1} \implies \tan{\alpha} = \dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

Astuce

Changement de degrés en radians (et vice-versa) sur la calculatrice

  1. Pressez la touche mode.

  2. Dans le menu qui s'affiche, choisissez DEGREE ou RADIAN au moyen du curseur (gros bouton).

  3. Validez le mode désiré en appuyant sur enter.

  4. Sortez du menu en appuyant sur 2nd suivi de quit.

Le mode DEG ou RAD est affiché en haut de l'écran.

Exemple 7

Mode DEG: \(\cos(36^\circ) = 0.809\)

Mode RAD: \(\cos(36) = -0.128\)

-> exercice 14, exercice 15, exercice 16, exercice 17, exercice 18, exercice 19, exercice 20, exercice 21 et exercice 22. [Attention: degrés (\(\varphi\)) ou radians (\(x\))]

Exercices#

Exercice 9#

Complétez le tableau ci-dessous, sans utiliser la calculatrice. Les angles en radians sont à donner sous la forme d'un multiple ou d'une fraction de \(\pi\).

degrés \(36^\circ\) \(135^\circ\) \(30^\circ\) \(6^\circ\) \(420^\circ\)
radians \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{4\pi}{5}\) \(\dfrac{5\pi}{4}\) \(\dfrac{3\pi}{10}\)

Exercice 10#

Transformez les angles ci-dessous en radians. Donnez les résultats en nombres décimaux (arrondis au dix-millionième).

  1. \(32^\circ\)

  2. \(79^\circ\)

  3. \(125^\circ\)

  4. \(208^\circ\)

  5. \(355^\circ\)

  6. \(419^\circ\)

Exercice 11#

Transformez les angles ci-dessous en degrés (arrondis au centième).

  1. \(0.567\)

  2. \(1.2\)

  3. \(2.76\)

  4. \(4.9\)

  5. \(5.444\)

  6. \(8.06\)

Exercice 12#

Calculez la longueur \(\ell\) de l'arc intercepté par l'angle \(\varphi\) donné en degrés sur un cercle de rayon \(r\).

  1. \(r=10\), \(\varphi=37^\circ\)

  2. \(r=7.5\), \(\varphi=311^\circ\)

  3. \(r=44\), \(\varphi=165^\circ\)

Exercice 13#

Calculez la longueur \(\ell\) de l'arc intercepté par l'angle \(x\) donné en radians sur un cercle de rayon \(r\).

  1. \(r=60\), \(x=2.2\)

  2. \(r=4\), \(x=1\)

  3. \(r=12.5\), \(x=4.5\)

Exercice 14#

Dessinez précisément un cercle trigonométrique (1 unité = 10 carrés).

  1. Reportez-y les angles suivants.

    1. \(45^\circ\)

    2. \(-440^\circ\)

    3. \(200^\circ\)

    4. \(-\dfrac{5\pi}{6}\)

    5. \(\dfrac{7\pi}{3}\)

    6. \(13\pi\)

  2. Représentez sur votre dessin les valeurs suivantes et donnez-en une valeur approximative.

    1. \(\tan(45^\circ)\)

    2. \(\sin(-440^\circ)\)

    3. \(\cos(200^\circ)\)

    4. \(\tan(-\dfrac{5\pi}{6})\)

    5. \(\sin(\dfrac{7\pi}{3})\)

    6. \(\cos(13\pi)\)

Exercice 15#

Triez les nombres suivants par ordre croissant, en vous aidant du cercle trigonométrique et sans utiliser la calculatrice.

  1. \(\sin(12^\circ)\), \(\sin(272^\circ)\), \(\sin(60^\circ)\), \(\sin(180^\circ)\), \(\sin(345^\circ)\)

  2. \(\cos(0)\), \(\cos(3)\), \(\cos(6)\), \(\cos(2)\), \(\cos(\pi)\)

  3. \(\tan(30^\circ)\), \(\tan(265^\circ)\), \(\tan(170^\circ)\), \(\tan(60^\circ)\), \(\tan(358^\circ)\)

  4. \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\), \(\sin\left(\frac{\pi}{10}\right)\), \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\), \(\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)\), \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

  5. \(\cos(5^\circ)\), \(\cos(400^\circ)\), \(\cos(190^\circ)\), \(\cos(255^\circ)\), \(\cos(90^\circ)\)

Exercice 16#

En vous aidant du cercle trigonométrique et sans utiliser la calculatrice, déterminez si les égalités suivantes sont vraies ou fausses.

  1. \(\sin(30^\circ)=\sin(330^\circ)\)

  2. \(\cos(150^\circ)=\cos(210^\circ)\)

  3. \(\tan(x)=\tan(x+\pi)\)

  4. \(\cos(0)=-\cos(2\pi)\)

  5. \(\sin(170^\circ)=\sin(10^\circ)\)

  6. \(\tan(70^\circ)=\tan(-70^\circ)\)

  7. \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{3\pi}{4}\right)\)

  8. \(\cos(2)=\cos(-2)\)

Exercice 17#

En vous aidant du cercle trigonométrique et sans utiliser la calculatrice, déterminez si les nombres suivants sont positifs, négatifs ou nuls.

  1. \(\sin(4)\)

  2. \(\cos(300^\circ)\)

  3. \(\tan(3\pi)\)

  4. \(\sin(-181^\circ)\)

  5. \(\cos(-1)\)

  6. \(\tan(-\frac{\pi}{5})\)

  7. \(\sin(540^\circ)\)

  8. \(\cos(500^\circ)\)

  9. \(\tan(3.5)\)

Exercice 18#

En vous aidant du cercle trigonométrique et sans utiliser la calculatrice, déterminez si les égalités suivantes sont possibles ou non.

  1. \(\tan(60^\circ)=1.73\)

  2. \(\cos(345^\circ)=-0.74\)

  3. \(\sin(1.5)=0.13\)

  4. \(\sin(3)=0.052\)

  5. \(\tan(230^\circ)=-1.19\)

  6. \(\cos(89^\circ)=0.017\)

Exercice 19#

À l'aide des symétries dans le cercle trigonométrique, complétez le tableau par les valeurs exactes des fonctions \(\sin\), \(\cos\) et \(\tan\) dans l'intervalle \(\left[0^\circ;360^\circ\right[\).

\(\varphi\) \(0^\circ\) \(30^\circ\) \(45^\circ\) \(60^\circ\) \(90^\circ\) \(120^\circ\) \(135^\circ\) \(150^\circ\)
\(\sin(\varphi)\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos(\varphi)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\)
\(\tan(\varphi)\) \(0\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\)

\(\varphi\) \(180^\circ\) \(210^\circ\) \(225^\circ\) \(240^\circ\) \(270^\circ\) \(300^\circ\) \(315^\circ\) \(330^\circ\)
\(\sin(\varphi)\)
\(\cos(\varphi)\)
\(\tan(\varphi)\)

Exercice 20#

Soit \(\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 0.866\), déterminez les valeurs ci-dessous en utilisant les symétries dans le cercle trigonométrique et sans utiliser la calculatrice.

  1. \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\)

  2. \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right)\)

  3. \(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\)

  4. \(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)\)

  5. \(\sin\left(2\pi- \frac{\pi}{3}\right)\)

  6. \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)\)

Exercice 21#

Déterminez les valeurs suivantes sans calculatrice.

  1. \(\cos(0^\circ)\)

  2. \(\tan(30^\circ)\)

  3. \(\sin(60^\circ)\)

  4. \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\)

  5. \(\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right)\)

  6. \(\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)\)

  7. \(\sin(300^\circ)\)

  8. \(\cos(240^\circ)\)

  9. \(2\tan(225^\circ)\)

  10. \(\tan\left(\frac{14\pi}{3}\right)\)

  11. \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\)

  12. \(\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\)

Exercice 22#

Donnez l'ensemble des solutions des équations suivantes.

  1. En degrés.

    1. \(\cos(x) = 0\)

    2. \(\tan(x) = \sqrt{3}\)

    3. \(\sin(x) = \frac{1}{2}\)

    4. \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)

    5. \(\tan(x) = -\frac{\sqrt{3}}{3}\)

    6. \(\cos(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

  2. En radians.

    1. \(\cos(x) = -1\)

    2. \(\tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

    3. \(\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

    4. \(\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

    5. \(\tan(x) = -1\)

    6. \(\cos(x) = -\frac{1}{2}\)

Solutions#

Exercice 9#

degrés \(36^\circ\) \(60^\circ\) \(135^\circ\) \(144^\circ\) \(30^\circ\) \(225^\circ\) \(6^\circ\) \(54^\circ\) \(420^\circ\)
radians \(\dfrac{\pi}{5}\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{3\pi}{4}\) \(\dfrac{4\pi}{5}\) \(\dfrac{\pi}{6}\) \(\dfrac{5\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{30}\) \(\dfrac{3\pi}{10}\) \(\dfrac{7\pi}{3}\)

Exercice 10#

  1. \(0.5585\)

  2. \(1.3788\)

  3. \(2.1817\)

  4. \(3.6303\)

  5. \(6.1959\)

  6. \(7.3129\)

Exercice 11#

  1. \(32.49^\circ\)

  2. \(68.75^\circ\)

  3. \(158.14^\circ\)

  4. \(280.75^\circ\)

  5. \(311.92^\circ\)

  6. \(461.8^\circ\)

Exercice 12#

  1. \(\ell=6.46\)

  2. \(\ell=40.71\)

  3. \(\ell=126.71\)

Exercice 13#

  1. \(\ell=132\)

  2. \(\ell=4\)

  3. \(\ell=56.25\)

Exercice 14#

    1. \(1\)

    2. \(\sim 0.99\)

    3. \(\sim -0.9\)

    4. \(\sim 0.6\)

    5. \(\sim 0.9\)

    6. \(-1\)

Exercice 15#

  1. \(\sin(272^\circ) < \sin(345^\circ) < \sin(180^\circ) < \sin(12^\circ) < \sin(60^\circ)\)

  2. \(\cos(\pi) < \cos(3) < \cos(2) < \cos(6) < \cos(0)\)

  3. \(\tan(170^\circ) < \tan(358^\circ) < \tan(30^\circ) < \tan(60^\circ) < \tan(265^\circ)\)

  4. \(\sin\left(\frac{\pi}{10}\right) < \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) < \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) < sin\left(\frac{\pi}{3}\right) < \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\)

  5. \(\cos(190^\circ) < \cos(255^\circ) < \cos(90^\circ) < \cos(400^\circ) < \cos(5^\circ)\)

Exercice 16#

  1. faux

  2. vrai

  3. vrai

  4. faux

  5. vrai

  6. faux

  7. vrai

  8. vrai

Exercice 17#

  1. Négatif

  2. Positif

  3. \(0\)

  4. Positif

  5. Positif

  6. Négatif

  7. \(0\)

  8. Négatif

  9. Positif

Exercice 18#

  1. Possible

  2. Pas possible, car \(\cos(345^\circ)\) est positif

  3. Pas possible, car \(1.5 \approx \frac{\pi}{2}\) et par conséquent \(\sin(1.5) \approx 1\)

  4. Possible

  5. Pas possible, car \(\tan(230^\circ)\) est positif

  6. Possible

Exercice 19#

\(\varphi\) \(0^\circ\) \(30^\circ\) \(45^\circ\) \(60^\circ\) \(90^\circ\) \(120^\circ\) \(135^\circ\) \(150^\circ\)
\(\sin(\varphi)\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\)
\(\cos(\varphi)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan(\varphi)\) \(0\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) Pas déf. \(-\sqrt{3}\) \(-1\) \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\varphi\) \(180^\circ\) \(210^\circ\) \(225^\circ\) \(240^\circ\) \(270^\circ\) \(300^\circ\) \(315^\circ\) \(330^\circ\)
\(\sin(\varphi)\) \(0\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\)
\(\cos(\varphi)\) \(-1\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan(\varphi)\) \(0\) \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) Pas déf. \(-\sqrt{3}\) \(-1\) \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Exercice 20#

  1. \(\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-0.866\)

  2. \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi\right)=0.866\)

  3. \(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)=0.866\)

  4. \(\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right)=-0.866\)

  5. \(\sin\left(2\pi- \frac{\pi}{3}\right)=-0.866\)

  6. \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=0.866\)

Exercice 21#

  1. \(1\)

  2. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)

  3. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

  4. \(-1\)

  5. \(1\)

  6. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

  7. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

  8. \(-\frac{1}{2}\)

  9. \(2\)

  10. \(-\sqrt{3}\)

  11. \(-\frac{1}{2}\)

  12. \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Exercice 22#

    1. \(S = \{90^\circ + k \cdot 360^\circ | k \in \mathbb{Z}\} \cup \{-90^\circ + k \cdot 360^\circ | k \in \mathbb{Z}\}\)

    2. \(S = \{60^\circ + k \cdot 180^\circ | k \in \mathbb{Z}\}\)

    3. \(S = \{30^\circ + k \cdot 360^\circ | k \in \mathbb{Z}\} \cup \{150^\circ + k \cdot 360^\circ | k \in \mathbb{Z}\}\)

    4. \(S = \{-45^\circ + k \cdot 360^\circ | k \in \mathbb{Z}\} \cup \{225^\circ + k \cdot 360^\circ | k \in \mathbb{Z}\}\)

    5. \(S = \{-30^\circ + k \cdot 180^\circ | k \in \mathbb{Z}\}\)

    6. \(S = \{150^\circ + k \cdot 360^\circ | k \in \mathbb{Z}\} \cup \{-150^\circ + k \cdot 360^\circ | k \in \mathbb{Z}\}\)

  2. En radians.

    1. \(S = \{\pi + k \cdot 2\pi | k \in \mathbb{Z}\}\)

    2. \(S = \{\frac{\pi}{6} + k \cdot \pi | k \in \mathbb{Z}\}\)

    3. \(S = \{\frac{\pi}{4} + k \cdot 2\pi | k \in \mathbb{Z}\} \cup \{\frac{3\pi}{4} + k \cdot 2\pi | k \in \mathbb{Z}\}\)

    4. \(S = \{-\frac{\pi}{3} + k \cdot 2\pi | k \in \mathbb{Z}\} \cup \{\frac{4\pi}{3} + k \cdot 2\pi | k \in \mathbb{Z}\}\)

    5. \(S = \{-\frac{\pi}{4} + k \cdot \pi | k \in \mathbb{Z}\}\)

    6. \(S = \{\frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi | k \in \mathbb{Z}\} \cup \{-\frac{2\pi}{3} + k \cdot 2\pi | k \in \mathbb{Z}\}\)