Cercle trigonométrique#
Radian#
Définition
Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon.
Exemple 4#
Théorème
Transformation des angles entre radians et degrés
Soient \(x\) un angle exprimé en radians et \(\varphi\) le même angle exprimé en degrés.
Propriétés
Table d'équivalence des angles remarquables:
| degrés | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(180^\circ\) | \(270^\circ\) | \(360^\circ\) | \(720^\circ\) |
| radians | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) | \(4\pi\) |
Exemple 5#
En radians, un angle de \(37^\circ\) vaut \(\dfrac{37^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi = \dfrac{37\pi}{180} \approx 0.2056\)
Un angle de 5.13 rad vaut en degré \(\dfrac{5.13}{2\pi} \cdot 360^\circ \approx 293.93^\circ\)
Remarques#
Les angles en radians sont généralement donnés sous forme de multiples ou de fractions de \(\pi\).
Le "rad" n'est en général pas noté, car c'est un rapport de deux longueurs (l'arc de cercle et le rayon). Les angles sans unité sont toujours des radians.
Définition
Le cercle de rayon 1 et centré sur l'origine est appelé cercle trigonométrique.
Sinus, cosinus et tangente dans le cercle trigonométrique
Soient \(\varphi\) un angle reporté dans le cercle trigonométrique, \(P\) le point d'intersection de la demi-droite de l'angle avec le cercle et \(T\) le point d'intersection de cette demi-droite avec l'axe des tangentes, comme dans la figure ci-dessus.
Le cosinus de l'angle \(\varphi\), noté \(\cos(\varphi)\), est l'abscisse \(X_P\) du point \(P\).
Le sinus de l'angle \(\varphi\), noté \(\sin(\varphi)\), est l'ordonnée \(Y_P\) du point\(P\).
La tangente de l'angle \(\varphi\), notée \(\tan(\varphi)\), est l'ordonnée \(Y_T\) du point \(T\).