Cercle trigonométrique#
Radian#
Définition
Un angle \(\alpha\) d'un radian intercepte sur la circonférence d'un cercle de rayon \(r\) un arc d'une longueur égale au rayon.
Exemple 4#
Théorème
Transformation des angles entre radians et degrés
Soient \(x\) un angle exprimé en radians et \(\varphi\) le même angle exprimé en degrés.
Exemple 5#
La mesure d'un angle en radians est proportionnelle à sa mesure en degrés.
| degrés | \(360^\circ\) | \(1\) | \(\varphi\) |
| radians | \(2\pi\) | \(x\) | \(1\) |
1 degré correspond à: \(\quad x = \dfrac{2\pi}{360^\circ} \approx 0.0175^\circ\)
1 radian correspond à: \(\quad \varphi = \dfrac{360^\circ}{2\pi} \approx 57.3\)
Propriétés
Table d'équivalence des angles remarquables:
| degrés | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(180^\circ\) | \(270^\circ\) | \(360^\circ\) | \(720^\circ\) |
| radians | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) | \(4\pi\) |
Exemple 6#
En radians, un angle de \(37^\circ\) vaut \(\qquad \dfrac{37^\circ}{360^\circ} \cdot 2\pi = \dfrac{37\pi}{180} \approx 0.2056\)
Un angle de 5.13 rad vaut en degré \(\qquad \dfrac{5.13}{2\pi} \cdot 360^\circ \approx 293.93^\circ\)
Remarques#
Les angles en radians sont généralement donnés sous forme de multiples ou de fractions de \(\pi\).
Le "rad" n'est en général pas noté, car c'est un rapport de deux longueurs (l'arc de cercle et le rayon). Les angles sans unité sont toujours des radians.
Cercle trigonométrique#
Définition
Le cercle de rayon 1 et centré sur l'origine est appelé cercle trigonométrique.
Sinus, cosinus et tangente dans le cercle trigonométrique
Soient \(\alpha\) un angle reporté dans le cercle trigonométrique, \(P\) le point d'intersection de la demi-droite de l'angle avec le cercle et \(T\) le point d'intersection de cette demi-droite avec l'axe des tangentes, comme dans la figure ci-dessus.
Le cosinus de l'angle \(\alpha\), noté \(\cos(\alpha)\), est l'abscisse \(X_P\) du point \(P\).
Le sinus de l'angle \(\alpha\), noté \(\sin(\alpha)\), est l'ordonnée \(Y_P\) du point\(P\).
La tangente de l'angle \(\alpha\), notée \(\tan(\alpha)\), est l'ordonnée \(Y_T\) du point \(T\).
Propriétés
La tangente n'est pas définie si \(\varphi = \dfrac{\pi}{2} = 90^\circ\) et si \(\varphi = \dfrac{3\pi}{2} = 270^\circ\).
Pour déterminer la tangente de l'ange \(\varphi\) situé dans le deuxième ou le troisième quadrant, il faut prolonger la demi-droite \(OP\) dans l'autre direction pour trouver l'intersection T de l'angle avec l'axe des tangentes.
Pour les angles plus grands qu'un tour complet (\(2\pi\) ou \(360^\circ\)),
\[\begin{split}sin(\varphi) = sin(\varphi + k \cdot 2\pi) = sin(\varphi + k \cdot 360^\circ)\\ cos(\varphi) = cos(\varphi + k \cdot 2\pi) = cos(\varphi + k \cdot 360^\circ)\\ tan(\varphi) = tan(\varphi + k \cdot \pi) = cos(\varphi + k \cdot 180^\circ)\\\end{split}\]
Astuce
Changement de degrés en radians (et vice-versa) sur la calculatrice
Pressez la touche mode.
Dans le menu qui s'affiche, choisissez DEGREE ou RADIAN au moyen du curseur (gros bouton).
Validez le mode désiré en appuyant sur enter.
Sortez du menu en appuyant sur 2nd suivi de quit.
Le mode DEG ou RAD est affiché en haut de l'écran.