Triangle quelconque

Triangle quelconque#

Théorème du sinus#

Théorème du sinus

Dans un triangle quelconque \(ABC\), les rapports entre la longueur d'un côté et le sinus de l'angle opposé sont égaux:

\[\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\]

Démonstration#

Dans un triangle quelconque, la hauteur \(h_c\) issue de sommet C est abaissée.

La trigonométrie appliquée dans le triangle rectangle \(BHC\):

\[\sin(\beta) = \dfrac{h_c}{a} \iff h_c = a \cdot \sin(\beta)\]

La trigonométrie appliquée dans le triangle rectangle \(AHC\):

\[\sin(\alpha) = \dfrac{h_c}{b} \iff h_c = b \cdot \sin(\alpha)\]

Des deux équations précédentes découle:

\[\begin{split}a \cdot \sin(\beta) &= b \cdot \sin(\alpha) \qquad \qquad \qquad \qquad | \text{divisez par } \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)\\ \dfrac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)} &= \dfrac{b \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)}\\ \dfrac{a}{\sin(\alpha)} &= \dfrac{b}{\sin(\beta)}\end{split}\]

Le même raisonnement avec la hauteur \(h_a\) issue de A permet de démontrer la deuxième égalité du théorème.

Utilisation#

Cas d'utilisation du théorème du sinus

Le théorème du sinus peut être utilisé si dans un triangle, sont connus:

  • deux angles et la longueur d'un côté, ou

  • la longueur de deux côtés et l'angle opposé à un des côtés.

Exemple 21#

Soit le triangle ABC avec \(b = 5.3\), \(\alpha = 35^\circ\) et \(\gamma = 60^\circ\).

Un côté et deux angles sont connus, le théorème du sinus peut être utilisé.

Déterminez le troisième angle:

\[\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 35^\circ - 60^\circ = 85^\circ\]

Utilisez le théorème du sinus pour calculer \(a\) et \(c\):

\[\begin{split}\dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)}&=&\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\\ \dfrac{a}{\sin(35^\circ)}&=&\dfrac{5.3}{\sin(85^\circ)}&=&\dfrac{c}{\sin(60^\circ)} \end{split}\]
\[\begin{split} \implies a &= \dfrac{5.3 \cdot \sin(35^\circ)}{\sin(85^\circ} = 3.1\\ \implies c &= \dfrac{5.3 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(85^\circ} = 4.6 \end{split}\]

Exemple 22#

Soit le triangle \(ABC\) avec \(a = 4.5\), \(b = 6.8\) et \(\alpha = 23^\circ\).

Deux côtés et l'angle opposé à un des côtés sont connus, le théorème du sinus peut être utilisé.

Utilisez le théorème du sinus pour calculer \(\beta\):

\[\begin{split}\dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)}&=&\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\\ \dfrac{4.5}{\sin(23^\circ)}&=&\dfrac{6.8}{\sin(\beta)}&=&\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\\ \end{split}\]
\[ \implies \sin(\beta) = \dfrac{6.8 \cdot \sin(23^\circ)}{4.5} \iff \beta_1 = \arcsin\left(\dfrac{6.8 \cdot \sin(23^\circ)}{4.5}\right) = 36.2^\circ \]

Le dessin ci-dessous montre qu'il y a deux solutions possibles:

\(\beta_2 = 180^\circ - \beta_1 = 180^\circ - 36.2^\circ = 143.8^\circ\)

Calculez les deux solutions pour \(\gamma\):

\[\begin{split}\gamma_1 = 180^\circ - \alpha - \beta_1 = 180^\circ - 23^\circ - 36.2^\circ = 120.8^\circ\\ \gamma_2 = 180^\circ - \alpha - \beta_2 = 180^\circ - 23^\circ - 143.8^\circ = 13.2^\circ\end{split}\]

Calculez les deux solutions pour \(c\):

\(\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\)

\[\begin{split} \dfrac{4.5}{\sin(23^\circ)}&=\dfrac{c}{\sin(120.8^\circ)}\\ \implies c_1 &= \dfrac{4.5 \cdot \sin(120.8^\circ)}{\sin(23^\circ)} = 9.9 \end{split}\]
\[\begin{split} \dfrac{4.5}{\sin(23^\circ)}&=\dfrac{c}{\sin(13.2^\circ)}\\ \implies c_2 &= \dfrac{4.5 \cdot \sin(13.2^\circ)}{\sin(23^\circ)} = 2.6 \end{split}\]

Théorème du cosinus#

Théorème du cosinus

Tout triangle quelconque \(ABC\) satisfait les relations suivantes:

\[\begin{split}a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta) \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\end{split}\]

Démonstration#

Dans un triangle quelconque, la hauteur \(h_c\) issue de sommet C est abaissée.

\(a_1 = \overline{HB}\) et \(b_1 = \overline{AH}\)

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle \(ACH\) donne:

\[h_c^2 = b^2 -b_1^2\]

Comme \(a_1 = c - b_1\):

\[a_1^2 = (c - b_1)^2 = c^2 - 2cb_1 + b_1^2\]

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle \(BCH\) donne:

\[a^2 = h_c^2 + a_1^2\]

Des équations précédentes découle:

\[a^2 = h_c^2 + a_1^2 = (b^2 - b_1^2) + (c^2 - 2cb_1 + b_1^2) = b^2 + c^2 - 2cb_1\]

La trigonométrie appliquée dans le triangle rectangle \(ACH\) donne:

\[\begin{split}\cos(\alpha) = \dfrac{b_1}{b} \implies b_1 = b \cdot \cos(\alpha)\\ \implies a^2 = b^2 + c^2 - 2cb_1 = b^2 + c^2 - 2cb \cdot \cos(\alpha)\end{split}\]

Les autres relations du thèorème s'obtiennent avec le même raisonnement appliqué aux deux autres hauteurs.

Utilisation#

Cas d'utilisation du théorème du cosinus

Le théorème du cosinus peut être utilisé si dans un triangle, sont connus:

  • la longueur de deux côtés et l'angle formé par ces deux côtés, ou

  • la longueur de ses trois côtés.

Exemple 23#

Soit le triangle \(ABC\) avec \(b = 5\), \(c = 7\) et \(\alpha = 34^\circ\).

Deux côtés et l'angle par ces deux côtés sont connus, le théorème du cosinus peut être utilisé.

Utilisez le théorème du cosinus pour calculer \(a\):

\[\begin{split} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)\\ a^2 &= 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(34^\circ)\\ a^2 &= 25 + 49 - 70 \cdot 0.83\\ a^2 &= 15.97\\ a &= \sqrt{15.97} = 4 \end{split}\]

Utilisez le théorème du cosinus pour calculer \(\beta\):

\[\begin{split} b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta) \\ \cos(\beta) &= \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\\ \cos(\beta) &= \dfrac{4^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = 0.71\\ \beta &= \arccos(0.71) = 44.4^\circ \end{split}\]

Remarque: Le théorème du sinus aurait pu être utilisé pour calculer \(\beta\).

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