Triangle quelconque

Triangle quelconque#

Théorie#

Corrigés détaillés

Théorème du sinus#

Théorème du sinus

Dans un triangle quelconque \(ABC\), les rapports entre la longueur d'un côté et le sinus de l'angle opposé sont égaux:

\[\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{b}{\sin(\beta)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\]

Démonstration

Dans un triangle quelconque, la hauteur \(h_c\) issue de sommet C est abaissée.

La trigonométrie appliquée dans le triangle rectangle \(BCH\):

\[\sin(\beta) = \dfrac{h_c}{a} \iff h_c = a \cdot \sin(\beta)\]

La trigonométrie appliquée dans le triangle rectangle \(AHC\):

\[\sin(\alpha) = \dfrac{h_c}{b} \iff h_c = b \cdot \sin(\alpha)\]

Des deux équations précédentes découle:

\[\begin{split}a \cdot \sin(\beta) &= b \cdot \sin(\alpha) \qquad \qquad \qquad \qquad | \text{divisez par } \sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)\\ \dfrac{a \cdot \sin(\beta)}{\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)} &= \dfrac{b \cdot \sin(\alpha)}{\sin(\alpha) \cdot \sin(\beta)}\\ \dfrac{a}{\sin(\alpha)} &= \dfrac{b}{\sin(\beta)}\end{split}\]

Le même raisonnement avec la hauteur \(h_a\) issue de A permet de démontrer la deuxième égalité du théorème.

Cas d'utilisation du théorème du sinus

Le théorème du sinus peut être utilisé si dans un triangle, sont connus:

deux angles et la longueur d'un côté, ou
la longueur de deux côtés et l'angle opposé à un des côtés.

Exemple 15

Soit le triangle ABC avec \(b = 5.3\), \(\alpha = 35^\circ\) et \(\gamma = 60^\circ\).

Un côté et deux angles sont connus, le théorème du sinus peut être utilisé.

Déterminez le troisième angle:

\[\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma = 180^\circ - 35^\circ - 60^\circ = 85^\circ\]

Utilisez le théorème du sinus pour calculer \(a\) et \(c\):

\[\begin{split}\dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)}&=&\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\\ \dfrac{a}{\sin(35^\circ)}&=&\dfrac{5.3}{\sin(85^\circ)}&=&\dfrac{c}{\sin(60^\circ)} \end{split}\]

\[\begin{split} \implies a &= \dfrac{5.3 \cdot \sin(35^\circ)}{\sin(85^\circ} = 3.1\\ \implies c &= \dfrac{5.3 \cdot \sin(60^\circ)}{\sin(85^\circ} = 4.6 \end{split}\]

Exemple 16

Soit le triangle \(ABC\) avec \(a = 4.5\), \(b = 6.8\) et \(\alpha = 23^\circ\).

Deux côtés et l'angle opposé à un des côtés sont connus, le théorème du sinus peut être utilisé.

Utilisez le théorème du sinus pour calculer \(\beta\):

\[\begin{split}\dfrac{a}{\sin(\alpha)}&=&\dfrac{b}{\sin(\beta)}&=&\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\\ \dfrac{4.5}{\sin(23^\circ)}&=&\dfrac{6.8}{\sin(\beta)}&=&\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\\ \end{split}\]

\[ \implies \sin(\beta) = \dfrac{6.8 \cdot \sin(23^\circ)}{4.5} \iff \beta_1 = \arcsin\left(\dfrac{6.8 \cdot \sin(23^\circ)}{4.5}\right) = 36.2^\circ \]

Le dessin ci-dessous montre qu'il y a deux solutions possibles:

\(\beta_2 = 180^\circ - \beta_1 = 180^\circ - 36.2^\circ = 143.8^\circ\)

Calculez les deux solutions pour \(\gamma\):

\[\begin{split}\gamma_1 = 180^\circ - \alpha - \beta_1 = 180^\circ - 23^\circ - 36.2^\circ = 120.8^\circ\\ \gamma_2 = 180^\circ - \alpha - \beta_2 = 180^\circ - 23^\circ - 143.8^\circ = 13.2^\circ\end{split}\]

Calculez les deux solutions pour \(c\):

\(\dfrac{a}{\sin(\alpha)}=\dfrac{c}{\sin(\gamma)}\)

\[\begin{split} \dfrac{4.5}{\sin(23^\circ)}&=\dfrac{c}{\sin(120.8^\circ)}\\ \implies c_1 &= \dfrac{4.5 \cdot \sin(120.8^\circ)}{\sin(23^\circ)} = 9.9 \end{split}\]

\[\begin{split} \dfrac{4.5}{\sin(23^\circ)}&=\dfrac{c}{\sin(13.2^\circ)}\\ \implies c_2 &= \dfrac{4.5 \cdot \sin(13.2^\circ)}{\sin(23^\circ)} = 2.6 \end{split}\]

-> exercice 15 (les 4 premiers), exercice 16

Théorème du cosinus#

Théorème du cosinus

Tout triangle quelconque \(ABC\) satisfait les relations suivantes:

\[\begin{split}a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha) \\ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta) \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)\end{split}\]

Remarque

Que se passe-t-il si \(\alpha = 90^\circ\)?

\[\begin{split} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(90^\circ)\\ &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot 0\\ &= b^2 + c^2 \end{split}\]

Cela donne le théorème de Pythagore.

Démonstration

Dans un triangle quelconque, la hauteur \(h_c\) issue de sommet C est abaissée.

\(a_1 = HB\) et \(b_1 = AH\)

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle \(AHC\) donne:

\[h_c^2 = b^2 -b_1^2\]

Comme \(a_1 = c - b_1\):

\[a_1^2 = (c - b_1)^2 = c^2 - 2cb_1 + b_1^2\]

Le théorème de Pythagore appliqué au triangle \(BCH\) donne:

\[a^2 = h_c^2 + a_1^2\]

Des équations précédentes découle:

\[a^2 = h_c^2 + a_1^2 = (b^2 - b_1^2) + (c^2 - 2cb_1 + b_1^2) = b^2 + c^2 - 2cb_1\]

La trigonométrie appliquée dans le triangle rectangle \(AHC\) donne:

\[\begin{split}\cos(\alpha) = \dfrac{b_1}{b} \implies b_1 = b \cdot \cos(\alpha)\\ \implies a^2 = b^2 + c^2 - 2cb_1 = b^2 + c^2 - 2cb \cdot \cos(\alpha)\end{split}\]

Les autres relations du thèorème s'obtiennent avec le même raisonnement appliqué aux deux autres hauteurs.

Cas d'utilisation du théorème du cosinus

Le théorème du cosinus peut être utilisé si dans un triangle, sont connus:

la longueur de deux côtés et l'angle formé par ces deux côtés, ou
la longueur de ses trois côtés.

Exemple 17

Soit le triangle \(ABC\) avec \(b = 5\), \(c = 7\) et \(\alpha = 34^\circ\).

Deux côtés et l'angle par ces deux côtés sont connus, le théorème du cosinus peut être utilisé.

Utilisez le théorème du cosinus pour calculer \(a\):

\[\begin{split} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(\alpha)\\ a^2 &= 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(34^\circ)\\ a^2 &= 25 + 49 - 70 \cdot 0.83\\ a^2 &= 15.97\\ a &= \sqrt{15.97} = 4 \end{split}\]

Utilisez le théorème du cosinus pour calculer \(\beta\):

\[\begin{split} b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(\beta) \\ \cos(\beta) &= \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\\ \cos(\beta) &= \dfrac{4^2 + 7^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 7} = 0.71\\ \beta &= \arccos(0.71) = 44.4^\circ \end{split}\]

Remarque: Le théorème du sinus aurait pu être utilisé pour calculer \(\beta\).

-> exercice 15 (les 2 derniers), exercice 17, exercice 18, exercice 19, exercice 20, exercice 21, exercice 22, exercice 23, exercice 24, exercice 25

Exercices#

Exercice 15#

Calculez les grandeurs manquantes des triangles \(ABC\) donnés dans le tableau ci-dessous.

\(a\)	\(b\)	\(c\)	\(\alpha\)	\(\beta\)	\(\gamma\)
\(7.5\)			\(45.76^\circ\)	\(110.58^\circ\)
	\(8.22\)		\(39.07^\circ\)		\(83.96^\circ\)
\(15.83\)	\(12.41\)		\(75.59^\circ\)
\(13.6\)		\(24.35\)	\(30.28^\circ\)
	\(11.24\)	\(6.03\)	\(15.62^\circ\)
\(13\)	\(14\)	\(15\)

Exercice 16#

Sur une rive d'un canal rectiligne, la longueur entre deux points \(A\) et \(B\) est de \(96\) m. Sur l'autre rive se trouve le point \(C\). L'angle \(\alpha\) est l'angle entre les directions \(AB\) et \(AC\), l'angle \(\beta\) est celui entre les directions \(BA\) et \(BC\).
\(\alpha=40^\circ\) et \(\beta=61^\circ\).

Déterminez la largeur du canal.

Exercice 17#

Sous quel angle \(\alpha\) doit être incliné un rayon lumineux venant du point \(A\) pour que ce rayon soit reflété vers le point \(B\) (voir figure ci-contre)?
\(AP = 6.69\) cm, \(BP = 5.82\) cm et \(AB = 3.75\) cm.

Astuce

Loi de la réflexion

\(\alpha_1 = \alpha^{'}_1\)

Exercice 18#

Les côtés d'un cerf-volant ont les mesures \(a=b=52.3\) et \(c=d=93.4\). L'angle formé par les côtés \(a\) et \(b\) est de \(115.4^\circ\).

Déterminez les autres angles intérieurs de ce cerf-volant.
Calculez son aire.

Exercice 19#

En se référant à l'illustration ci-contre, calculez les longueurs des segments \(BC\), \(BD\), \(AD\) et \(AC\), sachant que \(AB = 42.5\) cm.

Exercice 20#

La carte ci-contre, à l'échelle \(1:70\,000\), représente la région du Lac Noir (Schwarzsee), dans le canton de Fribourg.
Les altitudes suivantes peuvent être lues sur la carte:

Schwarzsee (\(S\)): \(1046\) m
Kaiseregg (\(K\)): \(2185\) m
Ättenberg (\(A\)): \(1615\) m

Sur la carte, les segments suivants ont été mesurés:

\(SK = 4.2\) cm
\(SA = 4.9\) cm
\(AK = 5.5\) cm

Déterminez l'angle d'élévation d'une personne qui regarde le sommet du Kaiseregg depuis le Lac Noir.
Calculez la distance entre le Lac Noir et le sommet du Kaiseregg.
Déterminez l'angle formé par les segments \(SK\) et \(SA\) sur le terrain.

Astuce

Plan avec relief

Exercice 21#

Une tour de \(50\) m de hauteur est située sur une pente rectiligne. Si depuis le pied de la tour, on s'éloigne de \(220\) m le long de la pente, on voit la tour sous un angle vertical de \(12.5^\circ\).

Calculez l'angle d'inclinaison de la colline par rapport à un plan horizontal.

Exercice 22#

Un avion parcourt le trajet \(ABCD\) suivant: \(AB = 30\) km, \(BC = 50\) km, \(CD = 40\) km.
\(\widehat{ABC} = 110^\circ\) et \(\widehat{BCD} = 80^\circ\) (voir figure ci-contre).

Calculer la distance à vol d'oiseau entre \(A\) et \(D\).

Exercice 23#

Soit un triangle isocèle \(ABC\) où \(c\) est la base et \(a = b\). \(\alpha\) et \(\beta\) sont les angles adjacents à la base et \(\gamma\) son angle opposé.

Déterminez les angles d'un tel triangle si \(a = b = 2c\).
Déterminez à l'aide du théorème du cosinus le lien entre \(c\), \(a\) et \(\gamma\).
Déterminez à l'aide du théorème du cosinus le lien entre \(c\), \(a\) et \(\alpha\).
Déterminez \(a\) si \(c = 6\) et \(\alpha = 54^\circ\).
Déterminez \(c\) si \(a = 10.5\) et \(\alpha = 38^\circ\).

Exercice 24#

Soient un trapèze isocèle dont la base \(a = 5\), les côtés \(b = d = 3\) et \(\alpha=65^\circ\). Les droites \(AD\) et \(BC\) se coupent en \(E\).

Calculez la hauteur \(h\) du triangle \(DCE\).

Exercice 25#

Déterminez les longueurs \(x\) et \(y\) dans la figure ci-contre.

Challenge#

Calculez le côté et les angles inconnus d'un triangle \(ABC\), connaissant \(a = 5\), \(c = 7\) et sachant de plus que la longueur de la bissectrice issue de \(B\) est égale à \(4.5\).

Solution

\(\alpha = 39.1^\circ\); \(\beta = 79^\circ\); \(\gamma = 61.9^\circ\); \(b = 7.8\).