Fonctions rationnelles, réciproques et composées

Fonctions rationnelles, réciproques et composées#

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Note:

Question 1 2 3 Total
Points 10 6 8 24
Obtenus

Détails des calculs obligatoires. Attention au soin. Calculatrice non autorisée.
Réponse sous forme de fraction simplifiée

Formulaire#

\[\begin{split}a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 &= (a+b)^3\\ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 &= (a-b)^3\\ a^3-b^3 &= (a-b)(a^2+ab+b^2)\\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2)\end{split}\]

Question 1 (10 pts)#

Déterminez le domaine de définition, les zéros et l'ordonnée à l'origine de la fonction suivante, puis établissez le tableau de signes.

\(f(x) = \dfrac{x^2 - 7x + 12}{x^3+27}\)

Solution

\(f(x) = \dfrac{x^2 - 7x + 12}{x^3+27} = \dfrac{(x-3)(x-4)}{(x+3)(x^2-3x+9)} = \)

Domaine de définition: \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\)

Zéros: \(x_1 = 3\) et \(x_2 = 4\)

Ordonnée à l'origine: \(f(0) = \dfrac{0^2 - 7 \cdot 0 + 12}{0^3+27} = \dfrac{12}{27} = \dfrac{4}{9}\)

\(x\) \(\tiny-\;\infty\) \(-3\) \(3\) \(4\) \(\tiny+\;\infty\)
\(x-3\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
\(x-4\) \(-\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(x+3\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(x^2-3x+9\) \(+\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(\dfrac{(x-3)(x-4)}{(x+3)(x^2-3x+9)}\) \(-\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)

Question 2 (6 pts)#

Effectuez le calcul suivant et répondez sous forme simplifiée:

\(\dfrac{\dfrac{1}{x} + 1}{\dfrac{1}{x}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x}+x-1}{x^2-x+1}\)

Solution

\(\dfrac{\dfrac{1}{x} + 1}{\dfrac{1}{x}} \cdot \dfrac{\dfrac{1}{x}+x-1}{x^2-x+1}=\dfrac{1+x}{x}\)

Question 3 (8 pts)#

Soient les fonctions \(f(x) = 3x -4\) et \(g(x) = (x + 1)^2\)

  1. Les fonctions suivantes sont-elles bijectives? Justifiez.

  2. Déterminez la fonction réciproque graphiquement et algébriquement en restreignant le domaine si nécessaire.

  3. Calculez \(f \circ g\) et \(g \circ f\).

Solution

  1. \(f(x) = 3x -4\) est une droite, elle est donc bijective, car à chaque valeur de y correspond exactement une préimage.

    \(g(x) = (x + 1)^2\) est une parabole, elle n'est donc pas bijective, car \(g(1) = g(-3) = 4\).

  2. \(f^{-1}(x) = \dfrac{x+4}{3}\)

    \(g^{-1}(x) = \sqrt{x} - 1\) pour \(D_f = ]-1; \infty[\) ou \(g^{-1}(x) = -\sqrt{x} - 1\) pour \(D_f = ]-\infty; -1[\)

  1. \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = 3(x + 1)^2 - 4 = 3x^2 + 6x -1\)

    \((g \circ f)(x) = g(f(x)) = (3x-3)^2 = 9x^2 -18x + 9\)

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