Fonctions rationnelles

Fonctions rationnelles#

Fractions rationnelles#

Définition

Une fraction rationnelle est expression algébrique qui peut être transformée en une fraction où le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.

Exemple 24#

Les expressions suivantes sont des fractions rationnelles:

\(2x^2 - 3x\), \(\qquad\dfrac{1}{3x+2}\qquad\) et \(\qquad\dfrac{4x^2+1}{x-5}\)

Les expressions suivantes ne sont pas des fractions rationnelles:

\(\dfrac{5^x}{4}\), \(\qquad\dfrac{\sqrt{x-1} + 2}{6x^2-2x+1}\qquad\) et \(\qquad\dfrac{sin(x)}{3x^2}\)

Plus petit multiple commun d'un polynôme#

Pour trouver le ppmc d'un polynôme, il faut:

  1. factoriser chacun des polynômes en facteurs irréductibles;

  2. prendre chaque facteurs irréductibles distincts avec l'exposant le plus élevé;

  3. le ppmc est le produit de ces facteurs.

Exemple 25#

Déterminez le ppmc de \(2x^3 - 4x^2\) et \(x^3-3x^2+2x\).

  1. Commencez par factoriser chacun des polynômes:
    \(2x^3 - 4x^2 = 2 \cdot x^2 \cdot (x-2)\)
    \(x^3-3x^2+2x=x \cdot (x^2-3x+2) = x \cdot (x-2) \cdot (x-1)\)

  2. Les facteurs irréductibles distincts sont:
    \(2, \qquad x^2, \qquad (x-2), \qquad (x-1)\)

  3. Le ppmc de \(2x^3 - 4x^2\) et \(x^3-3x^2+2x\) est: \(\qquad 2x^2(x-2)(x-1)\).

Opération avec des fractions rationnelles#

Le ppmc permet d'effectuer des opérations sur les fractions rationnelles et de les simplifier.

Exemple 26#

Pour calculer \(\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a^2}{a^2-b^2}+\dfrac{b}{a-b}\), il faut trouver le dénominteur commun.

Pour cela, déterminez le ppmc de \(a+b\), \(\quad a^2-b^2 \quad\) et \(\quad a-b \:\):

  • \(a+b\) et \(a-b\) sont déjà irréductibles.

  • Factorizez \(a^2-b^2\): \(\qquad a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)

Le dénominteur commun est donc: \(\qquad (a+b)(a-b)\)

\[\begin{split} \dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a^2}{a^2-b^2}+\dfrac{b}{a-b} &=\dfrac{a}{a+b} \cdot {\color{red}\dfrac{a-b}{a-b}}-\dfrac{a^2}{(a+b)(a-b)}+\dfrac{b}{a-b}\cdot {\color{red}\dfrac{a+b}{a+b}}\\ &=\dfrac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}{\color{red}-}\dfrac{a^2}{(a+b)(a-b)}+\dfrac{b(a+b)}{(a+b)(a-b)}\\ &=\dfrac{a(a-b){\color{red}-}a^2+b(a+b)}{(a+b)(a-b)}\\ &=\dfrac{a^2-ab-a^2+ab+b^2}{(a+b)(a-b)}\\ &= \dfrac{b^2}{(a+b)(a-b)} \end{split}\]

Pour calculer \(\dfrac{\dfrac{c^2-c}{c^2+c}}{\dfrac{c^2-2c+1}{c+1}}\):

  1. Transformez la division en multiplication;

  2. Factoriser au maximum;

  3. Simpifiez.

\[\begin{split} \dfrac{\dfrac{c^2-c}{c^2+c}}{\dfrac{c^2-2c+1}{c+1}} &=\dfrac{c^2-c}{c^2+c} \cdot \dfrac{c+1}{c^2-2c+1}\\ &=\dfrac{c(c-1)}{c(c+1)} \cdot \dfrac{c+1}{(c-1)^2}\\ &=\dfrac{1}{c-1} \end{split}\]

Domaine de définition, zéros et tableau de signes#

Définition

Une fonction rationnelle est une fonction \(f\) dont l'expression algébrique est une fraction rationnelle.

Exemple 27#

Déterminez le domaine de définition de \(f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-9}\).

Le dénominateur ne doit pas être nul:

\(x^2-9 \neq 0 \Longleftrightarrow (x+3)(x-3) \neq 0 \Longleftrightarrow x_1 \neq -3 \quad \text{et} \quad x_2 \neq 3\)

\(\Longrightarrow D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3; 3\}\)

Pour résoudre une inéquation du deuxième degré, utilisez un tableau de signes:

Exemple 28#

Pour déterminer les zéros de \(f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-9}\), résolvez \(f(x)=0\).

\[\begin{split} \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-9} &= 0 \qquad\qquad &&\text{multipliez par } x^2-9\\ x^2-7x+10 &= 0 \qquad\qquad &&\text{factorisez (trinôme)}\\ (x-2)(x-5) &= 0 \end{split}\]
\[\begin{split} x-2 &= 0 \quad &&\text{ou} \quad x-5&=0\\ x_1 &= 2 \quad &&\text{ou} \quad \quad\: x_2&=5 \end{split}\]

Exemple 29#

Pour faire un tableau de signes de \(f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-9}\), utilisez le domaine de définition et les zéros calculés dans les exemples précédents.

Écrivez \(f\) sous forme factorisée:

\(f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-9}=\dfrac{(x-2)(x-5)}{(x+3)(x-3)}\)

\(x\) \(\tiny-\;\infty\) \(-3\) \(2\) \(3\) \(5\) \(\tiny+\;\infty\)
\(x-2\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(x-5\) \(-\) \(-\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(x+3\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\) \(+\) \(+\)
\(x-3\) \(-\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
\(\dfrac{(x-2)(x-5)}{(x+3)(x-3)}\) \(+\) \(-\) \(0\) \(+\) \(-\) \(0\) \(+\)

La représentation graphique de \(f(x) = \dfrac{x^2-7x+10}{x^2-9}\) est:

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