Fonctions polynomiales

Fonctions polynomiales#

Corrigés détaillés

Théorie#

Monômes, polynômes, degré#

Définition

Un monôme est une expression obtenue par multiplication d'un nombre réel et de lettres avec exposants naturels (entier et positif). Sous sa forme réduite, un monôme se compose de deux parties: son coefficient et sa partie littérale.

Définition

Un polynôme est un monôme ou une somme de monômes. Les monômes qui composent le polynôme sont les termes du polynôme. On peut réduire un polynôme en additionnant les monômes semblables (de même partie littérale) qui le composent.

Un polynôme composé d'une seule lettre, appelée variable, s'écrit sous la forme:

\[a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\]

où les coefficients \(a_n\), \(a_{n-1}\), \(\dots\), \(a_1\), \(a_0\) sont des nombres réels avec \(a_n \neq 0\) et \(n \in \mathbb{N}\).

Exemple 16

  1. Simplifiez au maximum.
    \(4x^2+4-3x-7x^2-5x+2=-3x^2-8x+6 \qquad \textrm{addition des monômes semblables}\)

  2. Simplifiez au maximum.

    \[\begin{split} &16x^2y-(4xy^2+5xy-2x^2y)-6xy^2+5yx \qquad &&\textrm{suppression des parenthèses}\\ &= 16x^2y-4xy^2-5xy+2x^2y-6xy^2+5yx \qquad &&\textrm{addition des monômes semblables}\\ &= 18x^2y-10xy^2 \end{split}\]

  3. Simplifiez au maximum et ordonnez.

    \[\begin{split} &8+7x-3x^2+5x(2x-1)-6x^2-(3-2x) \qquad &&\textrm{suppression des parenthèses}\\ &= 8+7x-3x^2+10x^2-5x-6x^2-3+2x \qquad &&\textrm{addition des monômes semblables}\\ &= 5+6x-x^2 \qquad &&\textrm{mise dans l'ordre}\\ &= -x^2+6x+5 \end{split}\]

Définition

Le degré d'un polynôme est le degré de son terme de plus haut degré, appelé terme dominant. Le coefficient du terme dominant est le coefficient dominant.

Exemple 17

  1. Le degré de \(-3x^2-8x+6\) est \(2\) et son coefficient dominant est \(-3\).

  2. Le degré de \(3+2x^2-8x+x^4\) est \(4\) et son coefficient dominant est \(1\).

  3. \(4x^2y^3+y^4-2x^5y\) est un polynôme composé de 3 termes.
    \(4x^2y^3\) est un monôme de degré \(5\).
    \(y^4\) est un monôme de degré \(4\).
    \(-2x^5y\) est un monôme de degré \(6\).
    \(4x^2y^3+y^4-2x^5y\) est donc de degré \(6\) et son coefficient dominant \(-2\).

Définition

Une fonction polynomiale est une fonction \(f\) dont l'expression algébrique est un polynôme.

Le domaine de définition d'une telle fonction est \(D_f = \mathbb{R}\).

-> exercice 11

Zéros d'une fonction polynomiale#

Théorème

Une fonction polynomiale de degré \(n\) possède au plus \(n\) zéros.

Exemple 18

  1. \(f(x) = 3x^2 + 6x + 3\) est une fonction polynomiale de degré 2. Cette fonction a donc 2 zéros au maximum.

    Coefficients: \(a_2 = 3\), \(a_1 = 6\) et \(a_3 = 3\).

    \[\begin{split}f(x) &= 3x^2 + 6x + 3\\ &= 3(x^2 + 2x + 1)\\ &= 3(x+1)^2\end{split}\]

    Zéros: \(3(x+1)^2=0 \iff x+1 = 0 \iff x = -1\)

    La fonction polynomiale \(f\) a un seul zéro: \(x = -1\).

  2. \(g(x) = x^3 + 3x^2 + 2x\) est une fonction polynomiale de degré 3. Cette fonction a donc 3 zéros au maximum.

    Coefficients: \(a_3 = 1\), \(a_2 = 3\), \(a_1 = 2\) et \(a_0 = 0\).

    \[\begin{split}g(x) &= x^3 + 3x^2 + 2x\\ &= x(x^2 + 3x + 2)\\ &= x(x+1)(x+2)\end{split}\]

    Zéros:

    \[\begin{split}x(x+1)(x+2) = 0 \iff x &= 0 \quad\quad \text{ ou } \quad\quad x+1 &=& 0 \quad\quad \text{ ou } \quad\quad x+2 &= 0\\ x_1 &= 0 \quad\quad \text{ ou } \quad\quad x_2 &=& -1 \quad\quad \text{ ou } \quad\quad x_2 &= -2\end{split}\]

    La fonction polynomiale \(g\) a trois zéros: \(x_1= 0\), \(x_2=-1\) et \(x_2=-2\).

-> exercice 12 et exercice 13

Théorème

Si le nombre \(a\) est un zéro de la fonction polynomiale \(f\) de degré \(n\), alors l'expression algébrique \(f(x)\) de cette fonction peut s'écrire sous la forme

\[f(x) = (x - a) \cdot g(x)\]

où \(g(x)\) est un polynôme de degré \(n-1\).

Exemple 19

Soit la fonction \(f(x)=x^3+x^2+x-3\).
\(f(1)=1^3+1^2+1-3=1+1+1-3=0 \implies\) \(1\) est un zéro de \(f \implies f(x) = (x-1) \cdot g(x)\).

Pour trouver \(g(x)\), effectuez la division polynomiale de \(x^3+x^2+x+1\) par \(x-1\)

\(\begin{array}{r|l} x^3+\phantom{0}x^2+\phantom{0}x-3\phantom{0} & \underline{\phantom{0}x-1\phantom{00000}} \\ \underline{-(x^3 - x^2)}\phantom{000000000} & x^2 + 2x +3 \\ 2x^2 + \phantom{0}x\phantom{00000} & \\ \underline{-(2x^2 - 2x)}\phantom{0000} & \\ 3x - 3 \phantom{0}& \\ \underline{-(3x -3)} & \\ 0\phantom{0}& \\ \end{array}\)

\(f(x)=x^3+x^2+x-3 =(x-1)(x^2+2x+3)\)

-> exercice 14 et exercice 15

Théorème

Soit \(f(x)\) un polynôme de coefficient dominant \(1\) et dont tous les coefficients sont des nombres entiers, alors les zéros potentiels entiers de \(f\) sont des diviseurs du terme constant de la fonction.

Exemple 20

Soit la fonction \(f(x)=x^3+6x^2+3x−10\). Comme le coefficient dominant de \(f\) est \(1\), les zéros potentiels sont des diviseurs de \(-10\):
\(2\) et \(-5\), \(-2\) et \(5\), \(1\) et \(-10\), \(-1\) et \(10\)
\(f(2)=2^3+6\cdot2^2+3\cdot2−10=8+24+6-10=28\)
\(f(-5)=(-5)^3+6\cdot(-5)^2+3\cdot(-5)−10=-125+150-15-10=0\)
\(\implies -5\) est un zéro de \(f\).

Divisez \(f\) par \(x-(-5)=x+5\)

\(\begin{array}{r|l} x^3+6x^2+3x-10\phantom{0} & \underline{\phantom{0}x+5\phantom{00000}} \\ \underline{-(x^3 + 5x^2)}\phantom{000000000} & x^2 + x -2 \\ x^2 + 3x\phantom{000000} & \\ \underline{-(x^2 + 5x)}\phantom{00000} & \\ -2x - 10 \phantom{0}& \\ \underline{-(-2x -10)} & \\ 0\phantom{0}& \\ \end{array}\)

\(f(x)=x^3+6x^2+3x−10=(x+5)(x^2+x-2)=(x+5)(x+2)(x-1)\)

Fonctions paires et impaires#

Définition

Une fonction dont la représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des \(y\) est appelée fonction paire.

Les fonctions paires satisfont, pour tout \(x \in D_f\), l'égalité

\[f(-x) = f(x).\]

Une fonction dont la représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine \(O\) est appelée fonction impaire.

Les fonctions impaires satisfont, pour tout \(x \in D_f\), l'égalité

\[f(-x) = -f(x).\]

Rappel

\[\begin{split}(-a)^n= \begin{cases} \phantom{-}a^n & \text{si n est pair} \\ \\ -a^n & \text{si n est impair} \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb N \end{split}\]

Exemple 21

\(f(x) = x^4-2x^2-2\) est-elle une fonction paire, une fonction impaire, ni l'une ni l'autre?

\(f(-x) = (-x)^4-2\cdot(-x)^2-2 = x^4-2x^2-2=f(x)\)
\(\implies\) La fonction \(f\) est une fonction paire.

La fonction \(f\) est symétrique par rapport à l'axe des \(y\).

Exemple 22

\(g(x) = x^5-2x^3-3x\) est-elle une fonction paire, une fonction impaire, ni l'une ni l'autre?

\(g(-x) = (-x)^5-2\cdot(-x)^3-3\cdot(-x)=-x^5+2x^3+3x=-(x^5-2x^3-3\cdot x)=-g(x)\)
\(\implies\) La fonction \(g\) est une fonction paire.

La fonction \(g\) est symétrique par rapport à l'origine \(O\).

Exemple 23

\(h(x) = x^2+2x-3\) est-elle une fonction paire, une fonction impaire, ni l'une ni l'autre?

\(h(-x) = (-x)^2+2\cdot(-x)-3 = x^2-2x-3\)
\(\implies\) La fonction \(h\) n'est ni paire, ni impaire.

Théorème

Une fonction polynomiale dont tous les exposants sont pairs est paire.

Une fonction polynomiale dont tous les exposants sont impairs est impaire.

Exemple 24

  1. \(-7x^{12} + 3x^8 + 2x^6 -x^2 -5\) est une fonction paire.

  2. \(3x^{11}-2x^7+4x^3\) et une fonction impaire.

-> exercice 16, exercice 17 exercice 18

Fonctions valeur absolue#

Définition

La valeur absolue d'un nombre réel \(x\), notée \(|x|\) est sa valeur numérique sans tenir compte de son signe. Elle est définie par

\[\begin{split}|x| = \begin{cases} \phantom{-}x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}\end{split}\]
Remarque:

Une valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Exemple 25

  1. \(|7| = 7\)

  2. \(|-5| = 5\)

  3. \[\begin{split}|x - 1| = \begin{cases} \phantom{-(}x - 1 & \text{si } x - 1 \geq 0 \\ -(x - 1) & \text{si } x - 1 < 0 \end{cases} \implies |x - 1| = \begin{cases} \phantom{-}x - 1 & \text{si } x \geq 1 \\ -x + 1 & \text{si } x < 1 \end{cases} \end{split}\]
  4. \[\begin{split}|-3x| = \begin{cases} \phantom{-}-3x & \text{si } -3x \geq 0 \\ -(-3x) & \text{si } -3x < 0 \end{cases} \implies |-3x| = \begin{cases} -3x & \text{si } x\: {\color{red}\leq} \:0 \\ \phantom{-}3x & \text{si } x\: {\color{red}>} \:0 \end{cases} \end{split}\]

Exemple 26

Représentez les fonctions suivantes:

  1. \(f(x) = |x|\)

    \[\begin{split}\implies f(x) = \begin{cases} \phantom{-}x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \end{split}\]
    \(D_f = \mathbb{R}\)
    \(Im_f = [0; +\infty[ = \mathbb{R_+}\)
    Ordonnée à l'origine de \(f\): \(0\)
    Zéro de \(f\) en \(x = 0\)

  2. \(g(x) = |x + 2|\)

    \[\begin{split}\implies g(x) = \begin{cases} \phantom{-(}x + 2 & \text{si } x + 2 \geq 0 \\ -(x + 2) & \text{si } x + 2 < 0 \end{cases}\end{split}\]
    \[\begin{split} \implies g(x) = \begin{cases} \phantom{-}x + 1 & \text{si } x \geq -2 \\ -x - 2 & \text{si } x < -2 \end{cases} \end{split}\]
    \(D_g = \mathbb{R}\)
    \(Im_g = [0; +\infty[ = \mathbb{R_+}\)
    Ordonnée à l'origine de \(g\): \(2\)
    Zéro de \(g\) en \(x = -2\)

  3. \(h(x) = |-x| -3\)

    \[\begin{split}\implies h(x) = \begin{cases} -x - 3 & \text{si } -x \geq 0 \\ \phantom{-}x - 3 & \text{si } -x < 0 \end{cases}\end{split}\]
    \[\begin{split}\implies h(x) = \begin{cases} -x - 3 & \text{si } x \leq 0 \\ \phantom{-}x - 3 & \text{si } x > 0 \end{cases}\end{split}\]
    \(D_h = \mathbb{R}\)
    \(Im_h = [-3; +\infty[\)
    Ordonnée à l'origine de \(h\): \(-3\)
    Zéros de \(h\) en \(x_1 = -3\) et en \(x_2 = 3\)

  4. \(i(x) = 2|x - 1| -4\)

    \[\begin{split}\implies i(x) = \begin{cases} \phantom{-0000}2 \cdot (x -1) -4 & \text{si } x - 1 \geq 0 \\ 2 \cdot (-1) \cdot (x - 1) -4 & \text{si } x- 1 < 0 \end{cases}\end{split}\]
    \[\begin{split}\implies i(x) = \begin{cases} \phantom{-}2x - 2 -4 & \text{si } x \geq 1 \\ -2x + 2 -4 & \text{si } x < 1 \end{cases}\end{split}\]
    \[\begin{split}\implies i(x) = \begin{cases} \phantom{-}2x -6 & \text{si } x \geq 1 \\ -2x -2 & \text{si } x < 1 \end{cases}\end{split}\]
    \(D_i = \mathbb{R}\)
    \(Im_i = [-4; +\infty[\)
    Ordonnée à l'origine de \(i\): \(-2\)
    Zéros de \(i\) en \(x_1 = -1\) et en \(x_2 = 3\)

-> exercice 19

Factorisation d'un polynôme de degré supérieur à 2#

Marche à suive

  1. Trouvez un zéro du polynôme, noté \(x_1\).

  2. Effectuez la division du polynôme par \((x - x_1)\).

  3. Répétez les points 1) et 2) autant que nécessaire.

Exemple 27

Factorisez au maximum \(f(x) = x^4 -x^3-7x^2+x+6\).

Le coefficient du coefficient dominant est \(1\), les zéros potentiels de \(f\) sont des diviseur de \(6\): \(1\), \(2\), \(3\) et \(6\).

\(f(1) = 1^4-1^3-7 \cdot 1^2 + 1 + 6 = 1 - 1 - 7 + 1 + 6 =0 \implies 1\) est un zéro de \(f\). \(f(x) = (x-1) \cdot g(x)\).

Effectuez la division polynomiale de \(f(x)\) par \(x-1\).

\(\begin{array}{r|l} x^4-x^3-7x^2+x+6\phantom{0} & \underline{\phantom{0}x-1\phantom{00000}} \\ \underline{-(x^4 - x^3)}\phantom{0000000000000} & x^3 - 7x - 6 \\ 0 - 7x^2 + x\phantom{00000} & \\ \underline{-(-7x^2 + 7x)}\phantom{0000} & \\ -6x + 6 \phantom{0}& \\ \underline{-(-6x +6)} & \\ 0\phantom{0}& \\ \end{array}\)

\(f(x) = (x-1)(x^3-7x-6)\)

Factorisez au maximum \(g(x) = x^3-7x-6\).

Le coefficient du coefficient dominant est \(1\), les zéros potentiels de \(g\) sont des diviseur de \(-6\): \(1\), \(2\), \(3\) et \(6\).

\(g(1)=1^3 -7 \cdot 1 - 6 = 1-7-6=-12\)
\(g(2)=2^3 -7 \cdot 2 - 6 = 8-14-6=12\)
\(g(3)=3^3 -7 \cdot 3 - 6 = 27-21-6=-0 \implies 3\) est un zéro de \(g\). \(g(x) = (x-3) \cdot h(x)\)

Effectuez la division polynomiale de \(g(x)\) par \(x-3\).

\(\begin{array}{r|l} x^3+{\color{red}0x^2}-7x-6\phantom{00} & \underline{\phantom{0}x-3\phantom{00000}} \\ \underline{-(x^3 - 3x^2)}\phantom{000000000} & x^2 + 3x + 2 \\ 3x^2 - 7x\phantom{00000} & \\ \underline{-(3x^2 - 9x)}\phantom{0000} & \\ 2x - 6 \phantom{0}& \\ \underline{-(2x -6)} & \\ 0\phantom{0}& \\ \end{array}\)

\(g(x) = (x-3)(x^2+3x+2)\)
\(f(x) = (x-1)(x-3)(x^2+3x+2) = (x-1)(x-3)(x+1)(x+2)\)

\(f\) est une fonction polynomiale de degré 4 qui a 4 zéros: \(x_1=1\), \(x_2=3\), \(x_3=-1\) et \(x_4=-2\).

-> exercice 20, exercice 21 exercice 22

Exercices#

Exercice 11#

Indiquez si les fonctions suivantes sont polynomiales. Si oui, donnez leur degré et leurs coefficients.

  1. \(f(x)=2+x^5-2x^3\)

  2. \(f(x)=x^2-\frac{x}{3}\)

  3. \(f(x)=x^2+2^x\)

  4. \(f(x)=5x^{\frac{1}{2}}+3x\)

  5. \(f(x)=1+\sqrt{5}x\)

  6. \(f(x)=(x-1)^2(x-7)\)

Exercice 12#

Calculez les zéros des fonctions suivantes.

  1. \(f(x) = \frac{2}{3}x^2 + \frac{1}{2}x\)

  2. \(f(x) = (1-2x)(x-2)\)

  3. \(f(x) = \Bigl(\frac{2}{5}x - \frac{6}{5} \Bigr)(x^2+4)\)

  4. \(f(x) = x^3-x^2-6x\)

Exercice 13#

Trouvez une fonction polynomiale qui possède les zéros donnés.

  1. \(x_1=5\); \(x_2=-4\)

  2. \(x_1=\sqrt{2}\); \(x_2=1\); \(x_3=8\)

  3. \(x_1=-3\); \(x_2=0\); \(x_3=3\)

  4. \(x_1=2\); \(x_2=-10\); \(x_3=\frac{1}{2}\); \(x_4=\frac{9}{2}\)

Exercice 14#

Effectuez les divisions polynomiales de \(f(x)\) par \(g(x)\).

  1. \(f(x) = x^3+2x^2-17x+6\)
    \(g(x) = x-3\)

  2. \(f(x) = 2x^3+2x^2-21x+12\)
    \(g(x) = x+4\)

  3. \(f(x) = 2x^3-7x^2-x+2\)
    \(g(x) = 2x-1\)

  4. \(f(x) = x^4+2x^3-4x^2-9x-2\)
    \(g(x) = x+2\)

Exercice 15#

Effectuez les divisions polynomiales de \(f(x)\) par \(g(x)\).

  1. \(f(x)=x^3-8x^2+16x+4\)
    \(g(x)=x-5\)

  2. \(f(x)=x^5-8x^3+8x^2-7x+6\)
    \(g(x)=x^2+3x-2\)

  3. \(f(x)=5x^3-2x^2+4x-4\)
    \(g(x)=x-1\)

  4. \(f(x)=6x^5-x^4-35x^3+31x^2-10x+6\)
    \(g(x)=2x^2-5x+2\)

  5. \(f(x)=3x^4-23x^3+26x^2+28x-24\)
    \(g(x)=x^2-5x-6\)

  6. \(f(x)=-x^3-x^2+5\)
    \(g(x)=2x-3\)

  7. \(f(x)=x^4+x^3-8x^2-3x+19\)
    \(g(x)=-x^2+x+2\)

Exercice 16#

Étudiez la parité des fonctions suivantes.

  1. \(f(x)=-6x^2+1\)

  2. \(f(x)=3x\)

  3. \(f(x)=x^3-2x^2+x\)

  4. \(f(x)=x^9-x^7+x^5-x^3\)

  5. \(f(x)=4\)

  6. \(f(x)=x-4\)

  7. \(f(x)=4x^4+x^2\)

  8. \(f(x)=x^{100}\)

Exercice 17#

Tracez soigneusement la représentation graphique d'une fonction \(f\) possédant les propriétés suivantes:

  • \(f\) est une fonction polynomiale impaire.

  • \(f\) a cinq zéros dont deux sont \(x_1=-5\) et \(x_2=2\).

  • La représentation graphique de \(f\) possède un minimum local en \((4;-5)\).

Exercice 18#

Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifiez les réponses.

  1. Une fonction polynomiale de degré 3 à toujours au moins un zéro.

  2. Une fonction polynomiale de degré 4 à toujours au moins un zéro.

  3. Une fonction polynomiale de degré 3 peut avoir exactement 2 zéros.

  4. Les fonctions constantes sont paires.

  5. Il n'existe pas de fonction à la fois paire et impaire.

  6. Les fonctions polynomiales impaires passent toujours par l'origine.

Exercice 19#

Représentez les fonctions valeur absolues suivantes. Déterminez le domaine de définition, l'ensemble des images, les zéros et l'ordonnées à l'origine.

  1. \(f(x) = |-2x|\)

  2. \(g(x) = |x + 3|\)

  3. \(h(x) = |2x| - 5\)

  4. \(i(x) = -2|x + 1|\)

  5. \(j(x) = |4 - x| - 1\)

  6. \(k(x) = 2|3 - x| -4\)

Exercice 20#

Déterminez les zéros des fonctions suivantes à l'aide d'une substitution.

  1. \(f(x) = x^4-13x^2+36\)

  2. \(f(x) = 16x^4-40x^2+9\)

  3. \(f(x) = x^6-19x^3-216\)

Exercice 21#

Déterminez un zéro des polynômes suivants, puis factorisez-les entièrement.

  1. \(3x^3+2x^2-7x+2\)

  2. \(x^3-3x^2+3x-2\)

  3. \(x^3+2x^2-5x-6\)

  4. \(x^4-7x^3+17x^2-17x+6\)

  5. \(x^4+2x^3-16x^2-2x+15\)

  6. \(x^5+3x^4-16x-48\)

  7. \(6x^4+13x^3-13x-6\)

  8. \(x^4-3x^3+3x^2-3x+2\)

  9. \(12x^3-7x^2-8x+3\)

  10. \(6x^4-5x^3-23x^2+20x-4\)

  11. \(6x^4+4x^3-26x^2-16x+8\)

  12. \(35x^4-57x^3-185x^2+129x-18\)

Exercice 22#

Déterminez l'expression algébrique des fonctions polynomiales ayant les propriétés suivantes.

  1. Une fonction \(f\) de degré \(3\) qui possède les zéros \(x_1=4\), \(x_2=-2\), \(x_3=5\) et telle que \(f(1)=72\).

  2. Une fonction \(g\) de degré \(4\) qui possède les zéros \(x_1=0\), \(x_2=-1\), \(x_3=2\), \(x_4=3\) et dont la représentation graphique passe par \((4;-20)\).

  3. Une fonction \(h\) de degré \(2\) qui possède un seul zéro \(x_1=3\) et dont la représentation graphique passe par les points \((5;2)\) et \((-2;\frac{25}{2})\).

  4. Une fonction impaire \(j\) de degré \(3\) et dont la représentation graphique passe par les points \((1;2)\) et \((-\frac{1}{2}; \frac{1}{2})\).

Solutions#

Exercice 11#

  1. Fonction polynomiale de degré \(5\); \(a_5=1\), \(a_3=-2\), \(a_0=2\), les autres coefficients sont nuls.

  2. Fonction polynomiale de degré \(2\); \(a_2=1\), \(a_1=-\frac{1}{3}\).

  3. Pas une fonction polynomiale.

  4. Pas une fonction polynomiale.

  5. Fonction polynomiale de degré \(1\); \(a_1=\sqrt{5}\), \(a_0=1\).

  6. Fonction polynomiale de degré \(3\); \(a_3=1\), \(a_2=-9\), \(a_1=15\), \(a_0=-7\).

Exercice 12#

  1. \(x_1=-\frac{3}{4}\); \(x_2=0\)

  2. \(x_1=\frac{1}{2}\); \(x_2=2\)

  3. \(x_1=3\)

  4. \(x_1=0\); \(x_2=-2\); \(x_3=3\)

Exercice 13#

  1. \(f(x)=(x-5)(x+4)\)

  2. \(f(x)=(x-\sqrt{2})(x-1)(x-8)\)

  3. \(f(x)=x(x+3)(x-3)\)

  4. \(f(x)=(x-2)(x+10)(x-\frac{1}{2})(x-\frac{9}{2})\)

Exercice 14#

  1. \(f(x) = (x-3)(x^2+5x-2)\)

  2. \(f(x) = (x+4)(2x^2-6x+3)\)

  3. \(f(x) = (2x-1)(x^2-3x-2)\)

  4. \(f(x) = (x+2)(x^3-4x-1)\)

Exercice 15#

  1. \(x^3 - 8x^2 + 16x + 4 = (x-5)(x^2 - 3x + 1) + 9\)

  2. \(x^5 - 8x^3 + 8x^2 - 7x + 6 = (x^2 + 3x-2) (x^3 - 3x^2 + 3x - 7) + 20x - 8\)

  3. \(5x^3 - 2x^2 + 4x - 4 = (x-1)(5x^2 + 3x + 7) + 3\)

  4. \(6x^5 - x^4 - 35x^3 + 31x^2 - 10x + 6 = (2x^2 - 5x + 2) (3x^3 + 7x^2 - 3x + 1) + x + 4\)

  5. \(3x^4 - 23x^3 + 26x^2 + 28x - 24 = (x^2 - 5x - 6)(3x^2 - 8x + 4)\)

  6. \(-x^3 - x^2 + 5 = (2x-3) \Bigl( -\frac{1}{2}x^2 - \frac{5}{4}x - \frac{15}{8} \Bigr) - \frac{5}{8}\)

  7. \(x^4 + x^3 - 8x^2 - 3x + 19 = (-x^2 + x + 2)(-x^2 - 2x + 4) - 3x + 11\)

Exercice 16#

  1. Paire

  2. Impaire

  3. Ni paire ni impaire

  4. Impaire

  5. Paire

  6. Ni paire ni impaire

  7. Paire

  8. Paire

Exercice 17#

Exercice 18#

  1. Vrai: la représentation graphique d'une fonction polynomiale de degré 3 "vient du haut et part vers le bas", ou "vient du bas et part vers le haut" et par conséquent elle doit couper au moins une fois l'axe des abscisses.

  2. Faux: contre-exemple \(f(x) = x^4+1\)

  3. Vrai: par exemple \(f(x) = (x+1)^2 (x-1)\)

  4. Vrai: une fonction constante \(f(x) = c\) possède toujours la propriété \(f(x) = f(-x) = c\); de plus son degré est \(0\), donc pair.

  5. Faux: il existe une seule fonction paire et impaire, la fonction constante nulle \(f(x) = 0\).

  6. Vrai: sans cela la représentation graphique ne peut pas être symétrique par rapport à l'origine.

Exercice 19#

  1. \(D_f = \mathbb{R} \qquad Im_f = [0; +\infty[ = \mathbb{R_+} \qquad \text{O.O: } 0 \qquad \text{zéro: } x = 0\)

  2. \(D_g = \mathbb{R} \qquad Im_g = [0; +\infty[ = \mathbb{R_+} \qquad \text{O.O: } 3 \qquad \text{zéro: } x = -3\)

  3. \(D_h = \mathbb{R} \qquad Im_h = [-5; +\infty[ \qquad \text{O.O: } -5 \qquad \text{zéros: } x_1 = -2.5 \text{ et } x_2 = 2.5\)

  4. \(D_i = \mathbb{R} \qquad Im_i = ]-\infty; 0[ \qquad \text{O.O: } -2 \qquad \text{zéro: } x = -1\)

  5. \(D_j = \mathbb{R} \qquad Im_j = [-1; +\infty[ \qquad \text{O.O: } 3 \qquad \text{zéro: } x_1 = 3 \text{ et } x_2 = 5\)

  6. \(D_k = \mathbb{R} \qquad Im_k = [-4; +\infty[ \qquad \text{O.O: } 2 \qquad \text{zéro: } x_1 = 1 \text{ et } x_2 = 5\)

Exercice 20#

  1. \(x_1=-3\); \(x_2=3\); \(x_3=-2\); \(x_4=2\)

  2. \(x_1=-\frac{3}{2}\); \(x_2=\frac{3}{2}\); \(x_3=-\frac{1}{2}\); \(x_4=\frac{1}{2}\)

  3. \(x_1=-2\); \(x_2=3\)

Exercice 21#

  1. \(3x^3+2x^2-7x+2 = (3x-1)(x-1)(x+2)\)

  2. \(x^3-3x^2+3x-2 = (x-2)\cdot(x^2-x+1)\)

  3. \(x^3+2x^2-5x-6 = (x-2)\cdot(x+1)\cdot(x+3)\)

  4. \(x^4-7x^3+17x^2-17x+6 = (x-1)^2\cdot(x-3)\cdot(x-2)\)

  5. \(x^4+2x^3-16x^2-2x+15 = (x-1)\cdot(x+1)\cdot(x-3)\cdot(x+5)\)

  6. \(x^5+3x^4-16x-48 = (x+3)\cdot(x-2)\cdot(x+2)\cdot(x^2+4)\)

  7. \(6x^4+13x^3-13x-6 = (x-1)\cdot(x+1)\cdot(2x+3)\cdot(3x+2)\)

  8. \(x^4-3x^3+3x^2-3x+2 = (x-1)\cdot(x-2)\cdot(x^2+1)\)

  9. \(12x^3-7x^2-8x+3 = (x-1)\cdot(4x+3)\cdot(3x-1)\)

  10. \(6x^4-5x^3-23x^2+20x-4 = (x-2)\cdot(x+2)\cdot(2x-1)\cdot(3x-1)\)

  11. \(6x^4+4x^3-26x^2-16x+8 = 2\cdot(x+1)\cdot(3x-1)\cdot(x-2)\cdot(x+2)\)

  12. \(35x^4-57x^3-185x^2+129x-18 = (x+2)\cdot(x-3)\cdot(5x-1)\cdot(7x-3)\)

Exercice 22#

  1. \(f(x) = 2(x-4)(x+2)(x-5)\)

  2. \(g(x) = -\frac{1}{2}x(x+1)(x-2)(x-3)\)

  3. \(h(x) = \frac{1}{2}(x-3)^2\)

  4. \(j(x) = 4x^3 - 2x\)