Fonctions polynomiales

Fonctions polynomiales#

Monômes, polynômes, degré#

Définition

Un monôme est une expression obtenue par multiplication d'un nombre réel et de lettres avec exposants naturels (entier et positif). Sous sa forme réduite, un monôme se compose de deux parties: son coefficient et sa partie littérale.

Définition

Un polynôme est un monôme ou une somme de monômes. Les monômes qui composent le polynôme sont les termes du polynôme. On peut réduire un polynôme en additionnant les monômes semblables (de même partie littérale) qui le composent.

Un polynôme composé d'une seule lettre, appelée variable, s'écrit sous la forme:

\[a_n \cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0\]

où les coefficients \(a_n\), \(a_{n-1}\), \(\dots\), \(a_1\), \(a_0\) sont des nombres réels avec \(a_n \neq 0\) et \(n \in \mathbb{N}\).

Exemple 18#

  1. Simplifiez au maximum.
    \(4x^2+4-3x-7x^2-5x+2=-3x^2-8x+6 \qquad \textrm{addition des monômes semblables}\)

  2. Simplifiez au maximum.

    \[\begin{split} &16x^2y-(4xy^2+5xy-2x^2y)-6xy^2+5yx \qquad &&\textrm{suppression des parenthèses}\\ &= 16x^2y-4xy^2-5xy+2x^2y-6xy^2+5yx \qquad &&\textrm{addition des monômes semblables}\\ &= 18x^2y-10xy^2 \end{split}\]

  3. Simplifiez au maximum et ordonnez.

    \[\begin{split} &8+7x-3x^2+5x(2x-1)-6x^2-(3-2x) \qquad &&\textrm{suppression des parenthèses}\\ &= 8+7x-3x^2+10x^2-5x-6x^2-3+2x \qquad &&\textrm{addition des monômes semblables}\\ &= 5+6x-x^2 \qquad &&\textrm{mise dans l'ordre}\\ &= -x^2+6x+5 \end{split}\]

Définition

Le degré d'un polynôme est le degré de son terme de plus haut degré, appelé terme dominant. Le coefficient du terme dominant est le coefficient dominant.

Exemple 19#

  1. Le degré de \(-3x^2-8x+6\) est \(2\) et son coefficient dominant est \(-3\).

  2. Le degré de \(3+2x^2-8x+x^4\) est \(4\) et son coefficient dominant est \(1\).

  3. \(4x^2y^3+y^4-2x^5y\) est un polynôme composé de 3 termes.
    \(4x^2y^3\) est un monôme de degré \(5\).
    \(y^4\) est un monôme de degré \(4\).
    \(-2x^5y\) est un monôme de degré \(6\).
    \(4x^2y^3+y^4-2x^5y\) est donc de degré \(6\) et son coefficient dominant \(-2\).

Définition

Une fonction polynomiale est une fonction \(f\) dont l'expression algébrique est un polynôme.

Le domaine de définition d'une telle fonction est \(D_f = \mathbb{R}\).

Zéros d'une fonction polynomiale#

Théorème

Une fonction polynomiale de degré \(n\) possède au plus \(n\) zéros.

Théorème

Si le nombre \(a\) est un zéro de la fonction polynomiale \(f\) de degré \(n\), alors l'expression algébrique \(f(x)\) de cette fonction peut s'écrire sous la forme

\[f(x) = (x - a) \cdot g(x)\]

où \(g(x)\) est un polynôme de degré \(n-1\).

Exemple 20#

Soit la fonction \(f(x)=x^3+x^2+x-3\).
\(f(1)=1^3+1^2+1-3=1+1+1-3=0 \Rightarrow\) \(1\) est un zéro de \(f \Rightarrow f(x) = (x-1) \cdot g(x)\).

Pour trouvez \(g(x)\), effectuez la division polynomiale de \(x^3+x^2+x+1\) par \(x-1\)

\[\begin{split}\begin{array} {rrrr|l} x^3 & +x^2 & +x & -3 & x - 1\\ \hline -x^3 & +x^2 & & & x^2 + 2x + 3\\ & +2x^2 & +x & & \\ & -2x^2 & +2x & & \\ & & +3x & -3 & \\ & & -3x & +3 & \\ & & & 0 & \\ \end{array}\end{split}\]
\(f(x)=x^3+x^2+x-3 =(x-1)(x^2+2x+3)\)

Théorème

Soit \(f(x)\) un polynôme de coefficient dominant \(1\) et dont tous les coefficients sont des nombres entiers, alors les zéros potentiels entiers de \(f\) sont des diviseurs du terme constant de la fonction.

Exemple 21#

Soit la fonction \(f(x)=x^3+6x^2+3x−10\). Comme le coefficient dominant de \(f\) est \(1\), les zéros potentiels sont des diviseurs de \(-10\):
\(2\) et \(-5\), \(-2\) et \(5\), \(1\) et \(-10\), \(-1\) et \(10\)
\(f(2)=2^3+6\cdot2^2+3\cdot2−10=8+24+6-10=28\)
\(f(-5)=(-5)^3+6\cdot(-5)^2+3\cdot(-5)−10=-125+150-15-10=0\)
\(-5\) est un zéro de \(f\). Divisez \(f\) par \(x-(-5)=x+6\)

\[\begin{split}\begin{array} {rrrr|l} x^3 & +6x^2 & +3x & −10 & x + 5 \\ \hline -x^3 & -5x^2 & & & x^2 + x -2 \\ & x^2 & +3x & & \\ & -x^2 & -5x & & \\ & & -2x & −10 & \\ & & -2x & -10 & \\ & & & 0 & \\ \end{array}\end{split}\]

\(f(x)=x^3+6x^2+3x−10=(x+5)(x^2+x-2)=(x+5)(x+2)(x-1)\)

Fonctions paires et impaires#

Définition

Une fonction dont la représentation graphique est symétrique par rapport à l'axe des \(y\) est appelée fonction paire.

Les fonctions paires satisfont, pour tout \(x \in D_f\), l'égalité

\[f(-x) = f(x).\]

Une fonction dont la représentation graphique est symétrique par rapport à l'origine \(O\) est appelée fonction impaire.

Les fonctions impaires satisfont, pour tout \(x \in D_f\), l'égalité

\[f(-x) = -f(x).\]

Rappel

\[\begin{split}(-a)^n= \begin{cases} \phantom{-}a^n & \text{si n est pair} \\ \\ -a^n & \text{si n est impair} \end{cases} \qquad \forall n \in \mathbb N \end{split}\]

Exemple 22#

\(f(x) = x^4-2x^2-2\) est une fonction paire:

\(f(-x) = (-x)^4-2\cdot(-x)^2-2 = (x)^4-2\cdot(x)^2-2=f(x)\)

La fonction \(f\) est symétrique par rapport à l'axe des \(y\).

Exemple 23#

\(g(x) = x^5-2x^3-3x\) est une fonction impaire:

\(g(-x) = (-x)^5-2\cdot(-x)^3-3\cdot(-x)=-x^5+2\cdot x^3+3\cdot x=-(x^5-2\cdot x^3-3\cdot x)=-g(x)\)

La fonction \(g\) est symétrique par rapport à l'origine \(O\).

Théorème

Une fonction polynomiale dont tous les exposants sont pairs est paire.

Une fonction polynomiale dont tous les exposants sont impairs est impaire.

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