Fonctions réciproques et fonctions composées

Références: Cours de David Rueda et Nicolas Martignoni

Fonctions réciproques

Définition

La réciproque de la fonction \(f: A \to B\) est la relation \(g: B \to A\) telle que si \(f(x) = y\), alors \(g(y) = x\).

Exemple 30

Soit la fonction \(f(x) = 2x - 1\).

Tableau de valeurs

\(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)=2x-1\)	\(-7\)	\(-5\)	\(-3\)	\(-1\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)

Représentation graphique

Rendering...

La réciproque de \(f\), notée ici \(g(x)\), est le symétrique de \(f\) par rapport à la droite identité \(y = x\).

Tableau de valeurs

\(x\)	\(-7\)	\(-5\)	\(-3\)	\(-1\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)
\(g(x)\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)

Représentation graphique

Rendering...

Exemple 31

Déterminez la réciproque de \(f(x)=\dfrac{x}{3}+1\).

\[\begin{split} f(x)&=\dfrac{x}{3}+1 \qquad \qquad &&\text{remplacez } f(x) \text{ par } y \text{ et isolez } x\\ y&= \dfrac{x}{3}+1 \qquad \qquad &&|-1\\ y-1&= \dfrac{x}{3} \qquad \qquad &&| \cdot 3\\ 3(y-1) &=x\\ 3y-3 &=x \qquad \qquad &&\text{la réciproque est le membre qui contient le } y \text{ en remplaçant } y \text{ par } x \end{split}\]

La réciproque de \(f\) est \(g(x) = 3x-3\). Dans ce cas, \(g\) est une aussi fonction.

Rendering...

Exemple 32

Déterminez la réciproque de \(f(x)=x^2-3\).

\[\begin{split} f(x)&=x^2-3 \qquad \qquad &&\text{remplacez } f(x) \text{ par } y \text{ et isolez } x\\ y&= x^2-3 \qquad \qquad &&|+3\\ y+3&= x^2 \qquad \qquad &&| \cdot 3\\ \pm \sqrt{y+3} &=x \qquad \qquad &&\text{la réciproque est le membre qui contient le } y \text{ en remplaçant } y \text{ par } x \end{split}\]

La réciproque de \(f\) est \(\pm \sqrt{x+3}\). Ce n'est pas une fonction!

Rendering...

Définition

Une fonction bijective ou bijection, \(f\), est une fonction telle que tous les éléments de l'ensemble de définition ont des images différentes par \(f\), c'est-à-dire:

\[\forall \, x_1 \, \text{et} \, x_2 \in D_f \, \text{, si} \, x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\]

Exemple 33

La fonction \(f(x) = -x^2+4\) n'est pas une bijection, car \(f(-1)=f(1)=3\).

Rendering...

En resteignant le domaine de définition à \(D_f=\mathbb{R_+}\), la fonction \(f(x) = -x^2+4\) devient une bijection.

Rendering...

De même en resteignant le domaine de définition à \(D_f=\mathbb{R_-}\), la fonction \(f(x) = -x^2+4\) devient une bijection.

Rendering...

Définition

La fonction réciproque de la fonction bijective \(f: A \to B\) est la fonction \(f^{-1}: B \to A\) telle que si \(f(x) = y\), alors \(f^{-1}(y) = x\).

Remarque: \(f^{-1}\) est parfois notée \({}^r\!f\)

Exemple 34

En reprenant l'exemple 32, nous constatons que la fonction \(f(x) = x^2 - 3\) n'est pas bijective, car \(f(-2)=f(2)=1\).
Nous pouvons restreindre le domaine de définition \(D_f=\mathbb{R_+}\) pour qu'elle le devienne. Ainsi nous pouvons déterminer la fonction réciproque: \(f^{-1}(x)=\sqrt{x+3}\).

Nous pouvons faire de même avec \(D_f=\mathbb{R_-}\). Dans ce cas, \(f^{-1}(x)=-\sqrt{x+3}\).

Rendering...

Exemple 35

Déterminez la fonction réciproque de \(f(x) = \dfrac{3x}{2x + 1}\).

Le domaine de définition est \(D_f=\mathbb{R} \setminus \{-\frac{1}{2}\}\) (le dénominateur ne doit pas être nul).

\[\begin{split} y&=\dfrac{3x}{2x + 1} \qquad \qquad &&| \cdot (2x+1)\\ y(2x+1)&=3x \qquad \qquad &&| \text{ développez}\\ 2xy+y&= 3x \qquad \qquad &&| -y - 3x\\ 2xy-3x&= -y \qquad \qquad &&| \text{ mettre en évidence}\\ x(2y-3)&= -y \qquad \qquad &&| \div (2y-3)\\ x&= -\dfrac{y}{2y-3} \end{split}\]

\(f(x)^{-1}=-\dfrac{x}{2x-3}\)

Rendering...

Propriétés

• Une fonction réelle est bijective si et seulement si toute droite horizontale coupe sa représentation graphique au plus une fois.

• La fonction réciproque de la fonction réciproque d'une fonction \(f\) est égale à la fonction originale \(f\):

  \[f^{-1}\bigl( f^{-1}(x) \bigr) = f(x).\]

• Le représentation graphique d'une fonction bijective \(f\) et celle de sa fonction réciproque \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la bissectrice du premier et du troisième quadrant, c'est-à-dire à par rapport à la droite identité \(y = x\).

• Les fonctions paires ne sont pas bijectives, puisque que \(f(x) = f(-x)\), ce qui signifie que \(x\) et \(-x\) ont la même image.
  Les fonctions impaires ne sont pas toutes bijectives.

• Les fonctions dont l'expression est un monôme sont bijectives si l'exposant est impair et non bijectives si l'exposant est pair.
  En restreignant l'ensemble de définition d'une fonction monôme avec exposant pair sur \(\mathbb{R_+}\) ou sur \(\mathbb{R_-}\), on obtient deux fonctions bijectives.

Fonctions composées

Définition

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois sous-ensembles de \(\mathbb{R}\) et \(f:A \to B\) et \(g: B \to C\) deux fonctions réelles.

La fonction composée de \(g\) et \(f\) est la fonction qui associe à tout élément \(x \in A\), l'image \(g\bigl(f(x)\bigr) \in C\).

Cette fonction se note \(g \circ f\), qui se lit "\(g\) rond \(f\)". On a

\[\begin{split}g \circ f: A &\to C\\ x &\mapsto g \bigl(f(x) \bigr)\end{split}\]

et donc \(\bigl( g \circ f \bigr)(x) = g\bigl(f(x)\bigr)\).

Exemple 36

1. Soient les fonctions \(f(x) = x + 1\) et \(g(x) = 3x\), calculez \((f \circ g)(x)\).

   \[\begin{split} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \qquad \qquad &&\text{remplacez } g(x) \text{ par sa valeur} \\ &= f({\color{red}3x}) \qquad \qquad &&\text{remplacez la valeur de } x \text{ de } f(x) \text{ par } 3x\\ &= {\color{red}3x} + 1 \end{split}\]

2. Soient les fonctions \(f(x) = x^2 + 2\) et \(g(x) = 2x - 3\), calculez \((f \circ g)(x)\).

   \[\begin{split} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \qquad \qquad &&\text{remplacez } g(x) \text{ par sa valeur} \\ &= f({\color{red}2x - 3}) \qquad \qquad &&\text{remplacez la valeur de } x \text{ de } f(x) \text{ par } 2x-3\\ &= ({\color{red}2x - 3})^2 + 2\\ &= 4x^2-12x+9 + 2\\ &= 4x^2-12x+11 \end{split}\]

3. Soient les fonctions \(f(x) = \dfrac{1}{2}x\) et \(g(x) = \sqrt{x}\), calculez \((f \circ g)(x)\).

   \[\begin{split} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \qquad \qquad &&\text{remplacez } g(x) \text{ par sa valeur} \\ &= f({\color{red}\sqrt{x}}) \qquad \qquad &&\text{remplacez la valeur de } x \text{ de } f(x) \text{ par } \sqrt{x}\\ &= \dfrac{1}{2}{\color{red}\sqrt{x}}\\ &= \dfrac{\sqrt{x}}{2} \end{split}\]

Propriétés

• De manière générale,

  \[f\bigl(g(x)\bigr) \neq g\bigl(f(x)\bigr) \quad \text{ou}\quad \bigl( f \circ g \bigr)(x) \neq \bigl( g \circ f \bigr)(x).\]

• La composition de fonctions est associative, c'est-à-dire

  \[f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h.\]

Exemple 37

Soient les fonctions \(f(x) = 3x+5\) et \(g(x) = (x+1)^2\), calculez \((f \circ g)(x)\).

\[\begin{split} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f({\color{red}(x+1)^2})\\ &= 3{\color{red}(x+1)^2} + 5\\ &=3(x^2+2x+1)+5\\ &=3x^2+6x+3+5\\ &=3x^2+6x+8 \end{split}\]

\[\begin{split} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g({\color{red}3x+5})\\ &= (({\color{red}3x+5}) + 1)^2\\ &=(3x+6)^2\\ &=9x^2+36x+36 \end{split}\]

\(\Rightarrow (f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)\)

Exemple 38

Soient les fonctions \(f(x) = x^2\), \(g(x) = 3x\) et \(h(x) =x-1\), calculez \((f \circ g \circ h)(x)\), \((f \circ (g \circ h))(x)\) et \(((f \circ g) \circ h)(x)\).

\[\begin{split} (f \circ g \circ h)(x) &= f(g(h(x))) \\ &= f(g(x-1))\\ &= f(3(x-1))\\ &=(3(x-1))^2\\ &=(3x-3)^2\\ &=9x^2-18x+9 \end{split}\]

\[\begin{split} (g \circ h)(x) &= g(h(x)) \\ &= g(x-1)\\ &= 3(x-1)\\ &=3x-3 \end{split}\]

\[\begin{split} (f \circ (g \circ h))(x) &= f((g \circ h)(x))\\ &= f(3x-3) \\ &=(3x-3)^2\\ &=9x^2-18x+9 \end{split}\]

\[\begin{split} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(3x)\\ &= (3x)^2\\ &= 9x^2 \end{split}\]

\[\begin{split} ((f \circ g) \circ h)(x) &= (f \circ g)(h(x)) \\ &= (f \circ g)(x-1)\\ &= 9(x-1)^2\\ &=9(x^2-2x+1)\\ &=9x^2-18x+9 \end{split}\]

\(\Rightarrow (f \circ g \circ h)(x) = (f \circ (g \circ h))(x) = ((f \circ g) \circ h)(x)\)

Théorème

Soient deux fonctions réelles \(f \colon A \to B\) et \(g \colon B \to A\), la fonction \(g\) est la réciproque de \(f\) si et seulement si les fonctions composées \(f \circ g\) et \(g \circ f\) sont égale à la fonction identité:

\[g(x) = f^{-1}(x) \Longleftrightarrow f\bigl(g(x)\bigr) = g\bigl(f(x)\bigr) = x.\]

Exemple 39

1. Soient les fonctions \(f(x) = 3x+1\) et \(g(x) = \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}\).
   \(g\) est-elle la fonction réciproque de \(f\)?

   \[\begin{split} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3})\\ &= 3(\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3})+1\\ &=x-1+1\\ &=x \end{split}\]
   \[\begin{split} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(3x+1)\\ &= \dfrac{1}{3}(3x+1)-\dfrac{1}{3}\\ &=x+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\\ &=x \end{split}\]

   \((f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) = x \Longleftrightarrow g\) est la fonction réciproque de \(f\) et donc \(g(x)=f^{-1}(x)\)..

2. Soient les fonctions \(f(x) = \dfrac{1}{2}x+1\) et \(g(x) = -2x-2\).
   \(g\) est-elle la fonction réciproque de \(f\)?

   \[\begin{split} (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\ &= f(-2x-2)\\ &= \dfrac{1}{2}(-2x-2)+1\\ &=-x-1+1\\ &=-x \end{split}\]
   \[\begin{split} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\ &= g(\dfrac{1}{2}x+1)\\ &= -2(\dfrac{1}{2}x+1)-2\\ &=-x-2-2\\ &=-x-4 \end{split}\]

   \((f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x) = x \Longleftrightarrow g\) n'est pas la fonction réciproque de \(f\).