Ensembles et nombres

Ensembles et nombres#

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Question 1 2 3 4 5 6 7 Total
Points 2 3 3 2 4 3 5 22
Obtenus

Détails des calculs obligatoires. Attention au soin. Calculatrice non autorisée.

Question 1 (2 pts)#

Répondez aux questions suivantes:

  1. À quels ensembles de nombres appartient \(-7\)?

  2. Vrai ou faux, \(1.\overline{7}\) est un nombre rationnel?

  3. Donnez un exemple de nombre irrationnel:

  4. Écrivez l'ensemble \(\mathbb{N}\) en extension:

Solution

  1. \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\)

  2. Vrai

  3. \(\sqrt{2}\), \(\pi\), etc.

  4. \(\mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; ...\}\)

Question 2 (3 pts)#

Écrivez les ensembles suivants:

  1. en compréhension, \(A = \{0; 1; 2; 3; 4; 5\} =\)

  2. en extension, \(B = \{x \in \mathbb{N} | x \textrm{ est un multiple de 5}\} =\)

  3. sous forme d'intervalle, \(C = \{x \in \mathbb{R} | -5 \leq x < 4\} =\)

Solution

  1. \(A = \{ x \in \mathbb{N} | 0 \leq x \leq 5 \}\)

  2. \(B = \{ 5; 10; 15; 20; \dots \}\)

  3. \(C = [-5; 4[\)

Question 3 (3 pts)#

Soient les ensembles \(A= \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}\), \(B = \{2; 5, 12\}\) et \(C = \{-1; 0; 4 ; 7; 12\}\).

  1. Énumérez l'ensemble \(A \cap C =\)

  2. Énumérez l'ensemble \(A \setminus B =\)

  3. Énumérez l'ensemble \((A \cup C) \setminus (B \cap C) =\)

Solution

  1. \(A \cap C = \{4\}\)

  2. \(A \setminus B = \{1; 3; 4; 6\}\)

  3. \((A \cup C) \setminus (B \cap C) = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 ;7\}\)

Question 4 (2 pts)#

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) des sous-ensembles de l'ensemble \(M\). Représentez \(\overline{(A \cup B)\setminus C}\) au moyen d'un diagramme de Venn.

Solution

../../_images/diagramme1.png

Question 5 (4 pts)#

Répondez aux questions en faisant un diagramme de Venn.

Nous avons observé la tenue des 30 élèves d'une classe du collège. 7 élèves ont des lunettes et 14 portent une casquette. 4 élèves portent des lunettes, une casquette et des baskets. 7 élèves portent au moins une casquette et des baskets. 1 élève ne porte que des lunettes. Aucun élève ne porte que des lunettes et des baskets. 3 élèves n'ont ni lunettes, ni baskets, ni casquette.

  1. Combien d'élèves portent seulement une casquette?

  2. Combien d'élèves portent des baskets?

Solution

  1. 5 élèves ne portent qu'une casquette.

  2. 19 élèves portent des baskets.

Question 6 (3 pts)#

Écrivez \(4.21\overline{8}\) comme fraction. Pas besoin de réduire la fraction.

Solution

Posons \(x = 4.21\overline{8}\).

\[\begin{split} 10x &= 42.18\overline{8}\\ - \quad x &= \phantom{4}4.21\overline{8}\\ 9x &= 37.97 \end{split}\]

\(x = \dfrac{37.97}{9} = \dfrac{3797}{900}\)

Question 7 (5 pts)#

Calculez en simplifiant au maximum. Rédaction sous forme d'un seul calcul.

\(\dfrac{\dfrac{3}{4} - \dfrac{7}{24} \cdot \dfrac{8}{21}}{\dfrac{1}{5} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - 3\right)} = \)

Solution

\[ \dfrac{\dfrac{3}{4} - \dfrac{7}{24} \cdot \dfrac{8}{21}}{\dfrac{1}{5} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - 3\right)} = \dfrac{\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{9}}{\dfrac{1}{5} \cdot \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{6}{2}\right)} = \dfrac{\dfrac{27}{36} - \dfrac{4}{36}}{\dfrac{1}{5} \cdot \left( -\dfrac{5}{2}\right)} = \dfrac{\dfrac{23}{36}}{-\dfrac{1}{2}} \]
\[ = -\dfrac{23}{36} \cdot \dfrac{1}{2}= -\dfrac{23}{18} \]
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