Équations et inéquations du premier et du deuxième degré

Équations et inéquations du premier et du deuxième degré#

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Question 1 2 3 4 5 6 7 Total
Points 4 5 5 4 4 5 5 32
Obtenus

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Question 1 (4 pts)#

Résolvez les équations suivantes.

  1. \(8x + 3(4 - 2x) = 2x - 21\)

  2. \(\dfrac{x+2}{3} - \dfrac{x-4}{5} = \dfrac{4x-3}{15}\)

Solution

a)

\[\begin{split}8x + 3(4 - 2x) &=& 2x - 21\\ 8x + 12 - 6x &=& 2x - 21\\ 2x + 12&=& 2x - 21\\ 12 &=& 21 \end{split}\]
\(S = \emptyset\)

b)

\[\begin{split}\dfrac{x+2}{3} - \dfrac{x-4}{5} &=& \dfrac{4x-3}{15}\\ \dfrac{5(x+2)}{3} - \dfrac{3(x-4)}{5} &=& \dfrac{4x-3}{15}\\ 5x+10 - 3x+12 &=& 4x-3\\ 2x+22 &=& 4x-3\\ -2x &=& -25\\ x &=& \dfrac{25}{2} \end{split}\]
\(S = \left\{\dfrac{25}{2}\right\}\)

Question 2 (5 pts)#

Résolvez les inéquations suivantes.

  1. \(2x -5 \geq 7x + 10\)

  2. \(-4 < \dfrac{4x-1}{2} < 5\)

Solution

a)

\[\begin{split}2x -5 &\geq& 7x + 10\\ -5x &\geq& 15\\ x &\leq& -3 \end{split}\]
\(S = ]-\infty; -3]\)

b)

\[\begin{split}-4 &<& \dfrac{4x-1}{2} &<& 5\\ -8 &<& 4x-1 &<& 10\\ -7 &<& 4x &<& 11\\ -\dfrac{7}{4} &<& x &<& \dfrac{11}{4} \end{split}\]
\(S = \left ]-\dfrac{7}{4}; \dfrac{11}{4}\right [\)

Question 3 (5 pts)#

Résolvez les systèmes d'équations suivants.

  1. \(\begin{cases} \begin{aligned} x + 3y &= 8 \\ 2x - 5y &= -17 \end{aligned} \end{cases}\)

  2. \(\begin{cases} \begin{aligned} x + y + 2z &= 3 \\ x + 2y + z &= 1 \\ 2x + y + z &= 0 \end{aligned} \end{cases}\)

Solution

a) \(\begin{cases} \begin{aligned} x + 3y &= 8 \\ 2x - 5y &= -17 \end{aligned} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \begin{aligned} 2x + 6y &= 16 \\ -2x + 5y &= 17 \end{aligned} \end{cases}\)

\(11y = 33 \implies y = \dfrac{33}{11}= 3\)

\(x + 3 \cdot 3 = 8 \implies x + 9 = 8 \implies x = -1\)

\(S = \{(-1; 3)\}\)

b) \(\begin{cases} \begin{aligned} x + y + 2z &= 3 \\ x + 2y + z &= 1 \\ 2x + y + z &= 0 \end{aligned} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \begin{aligned} 2x + 2y + 4z &= 6 \\ 2x + 4y + 2z &= 2 \\ 2x + y + z &= 0 \end{aligned} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \begin{aligned} -2y + 2z &= 4 \\ 3y + z &= 2 \end{aligned} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \begin{aligned} y - z &= -2 \\ 3y + z &= 2 \end{aligned} \end{cases}\)

\(4y = 0 \implies y = 0\)

\(0 - z = -2 \implies z = 2\)

\(x + 0 + 2 \cdot 2 = 3 \implies x + 4 = 3 \implies x = -1\)

\(S = \{(-1; 0; 2)\}\)

Question 4 (4 pts)#

Résolvez le problème suivant au moyen d'une inéquation.

Des boîtes de conserve de \(200\,g\) doivent être rangées dans un carton. Le carton d'emballage pèse \(500\,g\). Le tout ne doit pas dépasser \(9\,kg\).

Combien de boîtes peut-on mettre au plus dans le carton?

Solution

Soit \(x\) le nombre de boîtes de conserve.

\[\begin{split} 200x + 500 &\leq& 9000\\ 200x &\leq& 8500\\ x &\leq& 42.5\\ \end{split}\]
\(S = ]-\infty; 42.5]\)

Nous pouvons mettre au maximum 42 boîtes.

Question 5 (4 pts)#

Résolvez le problème suivant en utilisant les équations.

Dans un magasin, tous les articles d'une même catégorie sont au même prix. Pierre et Clothilde décident d'y acheter des DVD et des bandes dessinées. Ils possèdent chacun \(70\) CHF. Pierre achète un DVD et 4 bandes dessinées; il lui reste \(17.50\) CHF. Clothilde dépense \(65\) CHF pour l'achat de 2 DVD et 3 bandes dessinées.

Quel est le prix de chaque article?

Solution

Soient x le prix d'un DVD et y le prix d'une BD.

\(\begin{cases} \begin{aligned} x + 4y &= 70 - 17.50 \\ 2x + 3y &= 65 \end{aligned} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \begin{aligned} x + 4y &= 52.5 \\ 2x + 3y &= 65 \end{aligned} \end{cases}\)

\(\begin{cases} \begin{aligned} 2x + 8y &= 105 \\ -2x - 3y &= -65 \end{aligned} \end{cases}\)

\(5y = 40 \implies y = 8\)

\(x + 4 \cdot 8 = 52.5 \implies x + 32 = 52.5 \implies x = 20.5\)

\(S = \{(20.5; 8)\}\)

Un DVD coûte 20.50 CHF et une BD 8 CHF.

Question 6 (5 pts)#

Résolvez l'équation suivante.

  1. \(2x^2 - 2x - 1 = 0\)

  2. \(\dfrac{1}{3}x^2 - x = 1\)

Solution

  1. \(2x^2 - 2x - 1 = 0\)

    \(\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12 \implies \sqrt{\Delta} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)

    \(x_{1,2} = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \dfrac{2(1 \pm \sqrt{3})}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{3}}{2}\)

    \(S = \left\{\dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}; \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} \right\}\)

  2. \(\dfrac{1}{3}x^2 - x = 1 \implies x^2 - 3x = 3 \implies x^2 - 3x - 3 = 0\)

    \(\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 9 + 12 = 21 \implies \sqrt{\Delta} = \sqrt{21}\)

    \(x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{2}\)

    \(S = \left\{\dfrac{3 - \sqrt{21}}{2}; \dfrac{3 + \sqrt{21}}{2}\right\}\)

Question 7 (5 pts)#

Résolvez les inéquations suivantes.

  1. \(2x^2 - x - 3 \leq 0\)

  2. \(-8x < 3 + 5x^2\)

Solution

  1. \(2x^2 - x - 3 \leq 0\)

    Factorisation:

    \(\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 \implies \sqrt{\Delta} = \sqrt{25} = 5\)

    \(x_{1,2} = \dfrac{1 \pm 5}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 \pm 5}{4} \implies x_1 = \dfrac{3}{2} \quad x_2 = -1\)

    \(2x^2 - x - 3 = 2(x - \dfrac{3}{2})(x - (-1)) = 2(x - \dfrac{3}{2})(x + 1)\)

    \(x\) \(\tiny-\;\infty\) \(-1\) \(\dfrac{3}{2}\) \(\tiny+\;\infty\)
    \(2\) \(+\) \(+\) \(+\)
    \(x - \dfrac{3}{2}\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
    \(x + 1\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
    \(2(x - \dfrac{3}{2})(x + 1) \leq 0\) \(+\) \(0\) \(-\) \(0\) \(+\)

    \(S = \left [-1; \dfrac{3}{2} \right]\)

  2. \(-8x < 3 + 5x^2 \implies -5x^2 - 8x - 3 < 0\)

    Factorisation:

    \(\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot (-5) \cdot (-3) = 64 - 60 = 4 \implies \sqrt{\Delta} = \sqrt{4} = 2\)

    \(x_{1,2} = \dfrac{8 \pm 2}{2 \cdot (-5)} = \dfrac{8 \pm 2}{-10} \implies x_1 = -\dfrac{3}{5} \quad x_2 = -1\)

    \(-5x^2 - 8x - 3 = -5(x - (-\dfrac{3}{5})(x - (-1)) = -5(x + \dfrac{3}{5})(x + 1)\)

    \(x\) \(\tiny-\;\infty\) \(-1\) \(-\dfrac{3}{5}\) \(\tiny+\;\infty\)
    \(-5\) \(-\) \(-\) \(-\)
    \(x + \dfrac{3}{5}\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
    \(x + 1\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
    \(-5(x + \dfrac{3}{5})(x + 1)<0\) \(-\) \(0\) \(+\) \(0\) \(-\)

    \(S = ]-\infty; -1[ \cup \left ]-\dfrac{3}{5}; +\infty \right[\)

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