Fonctions exponentielles et logarithmes

Fonctions exponentielles et logarithmes#

Références: Cours de David Rueda et Nicolas Martignoni

Fonctions exponentielles#

Définition

Une équation exponentielle est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît dans l'exposant de la puissance.

Exemple 40#

Les équations suivantes sont des équations exponentielles:

\(5^x = 125\)

\(4^{2x - 1} = 64\)

\(3^{x + 2} - \dfrac{1}{9} = 0\)

Théorème

Soit \(a \neq 1\) un nombre réel positif. Alors, pour tout \(x\), \(y \in \mathbb{R}\),

\[a^x = a^y \Longleftrightarrow x = y.\]

Exemple 41#

Résolvez l'équation exponentielle \(5^x = 125\).

\[\begin{split} 5^x &= 125 \qquad &&\text{écrivez le membre de droite comme puissance de 5}\\ 5^x &= 5^3 \qquad &&\text{appliquez le théorème ci-dessus}\\ x &= 3 \end{split}\]

\(S = \{3\}\)

Exemple 42#

Résolvez l'équation exponentielle \(4^{2x - 1} = 64\).

\[\begin{split} 4^{2x - 1} &= 64 \qquad &&\text{écrivez le membre de droite comme puissance de 4}\\ 4^{2x - 1} &= 4^3 \qquad &&\text{appliquez le théorème ci-dessus}\\ 2x - 1 &= 3 \qquad &&\text{résolvez l'équation de degré 1}\\ 2x &= 4 \\ x &= 2 \\ \end{split}\]

\(S = \{2\}\)

Exemple 43#

Résolvez l'équation exponentielle \(3^{x + 2} - \dfrac{1}{9} = 0\).

\[\begin{split} 3^{x + 2} - \dfrac{1}{9} &= 0 \qquad &&\text{isolez le terme avec le } x\\ 3^{x + 2} &= \dfrac{1}{9} \qquad &&\text{écrivez le membre de droite comme puissance de 3}\\ 3^{x + 2} &= 3^{-2} \qquad &&\text{appliquez le théorème ci-dessus}\\ x + 2 &= -2 \qquad &&\text{résolvez l'équation de degré 1}\\ x &= -4 \\ \end{split}\]

\(S = \{-4\}\)

Pour résoudre des équations exponentielles plus complexes, il est nécessaire d'utiliser les règles du calcul des puissances.

Théorème

Règles du calcul des puissances

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs et \(n\) et \(m\) deux nombres réels.

  • \(a^0 = 1\)

  • \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)

  • \(a^\frac{1}{n} = \sqrt[\leftroot{1}\uproot{2}n]{a}\)

  • \((a^n)^m = a^{nm}\)

  • \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)

  • \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)

  • \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)

  • \(\dfrac{a^n}{b^n} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^n\)

Exemple 44#

Résolvez l'équation exponentielle \(3^{3x + 1} = 9^{x - 2}\).

\[\begin{split} 3^{3x + 1} &= 9^{x - 2} \qquad &&\text{écrivez le membre de droite comme puissance de 3}\\ 3^{3x + 1} &= (3^2)^{x - 2} \qquad &&\text{appliquez les règles de calcul des puissances}\\ 3^{3x + 1} &= 3^{2(x - 2)} \qquad &&\text{appliquez le théorème ci-dessus}\\ 3x + 1 &= 2(x-2) \qquad &&\text{résolvez l'équation de degré 1}\\ 3x + 1 &= 2x-4 \\ x &= -5 \\ \end{split}\]

\(S = \{-5\}\)

Exemple 45#

Résolvez l'équation exponentielle \(2^x + 4^x = 6\).

\[\begin{split} 2^x + 4^x &= 6 \qquad &&\text{écrivez les termes qui contiennent }x \text{ comme puissance de 2}\\ 2^x + (2^2)^x &= 6 \qquad &&\text{appliquez les règles de calcul des puissances}\\ 2^x + 2^{2x} &= 6 \qquad &&\text{appliquez les règles de calcul des puissances}\\ 2^x + (2^x)^2 &= 6 \qquad &&\text{faites une substitution en posant } y = 2^x\\ y + y^2 &= 6 \qquad &&\text{résolvez l'équation de degré 2}\\ y^2 + y - 6 &= 0 \qquad &&\text{factorisez ou utilisez le discriminant}\\ (y + 3)(y-2) &= 0 \end{split}\]
\[\begin{split}\text{Soit } y + 3 &= 0\\ y &= -3 \\ 2^x &= -3 \qquad \text{impossible} \end{split}\]
\[\begin{split}\text {soit } y-2 &=0\\ y &= 2\\ 2^x &= 2\\ x &= 1\\ \end{split}\]

\(S = \{1\}\)

Certaines équations ne peuvent pas être résolues avec les régles de calculs des puissances et/ou le théorème ci-dessus.

Exemple 46#

Il n'est pas possible de résoudre \(3^x = 40\) avec les méthodes que vous connaissez, car 40 ne peut pas s'écrire sous forme de puissance de 3. Mais dans ce cas, il est possible de trouver une approximation de la solution.

\[\begin{split} 27 &<& 40 &<& 81 &\qquad \text{entourez }40 \text{ par deux puissances de 3 consécutives}\\ 3^3 &<& 3^x &<& 3^4 &\qquad\\ 3 &<& x &<& 4 &\qquad\\ \end{split}\]

La solution de cette équation est un nombre réel compris entre 3 et 4.

Fonctions logarithmes#

Définition

Soit \(a\) un nombre réel strictement positif. Le logarithme de base \(10\) ou logarithme décimal de \(a\), noté \(\log_{10}(a)\) ou \(\log(a)\), est le nombre réel défini par

\[\log_{10}(a) = x \quad \Longleftrightarrow \quad a = 10^x.\]

Exemple 47#

Pour calculer le \(log_{10}\) d'un nombre, il faut exprimer ce nombre sous forme de puissance de \(10\).

  1. \(\log_{10}(100) = \log_{10}(10^2) = 2\)

  2. \(\log_{10}(0.000\,001) = \log_{10}(10^{-6}) = -6\)

Exemple 48#

Sur la calculatrice, la touche lnlog permet de calculer le logarithme de base \(10\) (pressez deux fois pour sélectionner log).

  1. \(\log_{10}(20) = \log(20) \approx 1.3\)

  2. \(\log_{10}(10\,345) = \log(10\,345) \approx 4.01\)

Définition

Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels strictement positifs et \(b \neq 1\). Le logarithme de base \(b\) de \(a\), noté \(\log_b(a)\), est le nombre réel défini par

\[\log_{b}(a) = x \quad \Longleftrightarrow \quad a = b^x.\]

Exemple 49#

Pour calculer le \(\log_{b}\) d'un nombre, il faut exprimer ce nombre sous forme de puissance de \(b\).

  1. \(\log_{3}(81) = \log_{3}(3^4) = 4\)

  2. \(\log_{6}(36) = \log_{6}(6^2) = 2\)

  3. \(\log_{2}(\dfrac{1}{8}) = \log_{2}(\dfrac{1}{2^3}) = \log_{2}(2^{-3}) = -3\)

  4. \(\log_{4}(\sqrt{4^3}) = \log_{4}(4^{\frac{3}{2}}) = \dfrac{3}{2}\)

  5. \(\log_{16}(4) = \log_{16}(\sqrt{16}) = \log_{16}(16^{\frac{1}{2}}) = \dfrac{1}{2}\)

Important

Le logarithme d'un nombre négatif ou nul n'existe pas.

Théorème

Soient \(b \in \mathbb{R_+^*} \setminus \{1\}\) et \(x \in \mathbb{R_+^*}\). La fonction logarithmique \(\log_b(x)\) et la fonction exponentielle \(b^x\) sont réciproques l'une de l'autre.

Exemple 50#

La fonction logarithme et la fonction exponentielle sont réciproques l'une de l'autre.

  1. \(\log_{4}(4^7) = 7\)

  2. \(3^{\log_{3}(2)} = 2\)

Théorème

Changement de base des logarithmes:

Soient \(b \in \mathbb{R_+^*} \setminus \{ 1 \}\) et \(x \in \mathbb{R_+^*}\).

\[\log_b(x) = \frac{\log(x)}{\log(b)}.\]

Exemple 51#

Certaine calculatrice ne permettent pas de calculer les logarithmes autres que ceux en base \(10\), dans ce cas, il faut effectuer un changement de base:

  1. \(\log_{3}(1000) = \dfrac{\log(1000)}{\log(2)} \approx 9.966\)

  2. \(\log_{4}(30) = \dfrac{\log(30)}{\log(4)} \approx 2.453\)

Théorème

Règles de calcul des logarithmes

Pour \(b\), \(x\), \(y \in \mathbb{R^*_+}\) avec \(b \neq 1\) et \(n \in \mathbb{R}\),

  1. \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\)

  2. \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\)

  3. \(\log_b\left( \dfrac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y)\)

  4. \(\log_b\left( \dfrac{1}{y} \right) = - \log_b(y) \quad \quad\) (cas particulier de la formule 3)

Exemple 52#

Les règles de calcul des logarithmes permettent de simplifier les calculs.

  1. \(\log(25) + \log(4) = \log(25 \cdot 4) = \log(100) = \log(10^2) = 2\)

  2. \(\log_{3}(9^4) = 4 \cdot \log_{3}(9) = 4 \cdot \log_{3}(3^2) = 4 \cdot 2 = 8\)

  3. \(\log(\dfrac{10}{x}) + \log(x) = \log(\dfrac{10}{x} \cdot x) = \log(10) = 1\)

  4. \(\log(3x^2) - \log(x) = \log(\dfrac{3x^2}{x}) = \log(3x)\)

Exemple 53#

Dans l'exemple 46, nous n'avons trouvé qu'une approximation de la solution de \(x\), car il est impossible d'écrire \(40\) sous forme de puissance de \(3\). Grâce au logarithme qui est la réciproque de l'exponentielle et aux régles de calcul des logarithmes, il est possible de résoudre ce type d'équation.

\[\begin{split}3^x &= 40 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &|& \log(...)\\ \log(3^x) &= \log(40) &|& \log(x^n) = n \cdot \log(x)\\ x \cdot \log(3) &= \log(40) &|& : \log(3)\\ x &= \dfrac{\log(40)}{\log(3)} \approx 3.358 &\\ S &= \{3.358\}\end{split}\]

Exemple 54#

\[\begin{split}4 \cdot 5^{x+1} &= 68 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &|& \text{isolez le terme contenant } x \text{ en divisant par } 4\\ 5^{x+1} &= 17 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &|& \log(...)\\ \log(5^{x+1}) &= \log(17) &|& \log(x^n) = n \cdot \log(x)\\ (x+1) \cdot \log(5) &= \log(17) &|& : \log(5)\\ x+1 &= \dfrac{\log(17)}{\log(5)} &|& -1\\ x &= \dfrac{\log(17)}{\log(5)} - 1 \approx 0.76 &\\ S &= \{0.76\}\end{split}\]

Exemple 55#

\[\begin{split}2^{x+2} + 3 \cdot 2^x &= 5^{3x} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &|& a^{n+m} = a^n \cdot a^m\\ 2^x \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^x &= 5^{3x} &|& \text{mise en évidence de }2^x\\ 2^x (2^2 + 3) &= 5^{3x} &|& \text{CL}\\ 2^x \cdot 7 &= 5^{3x} &|& \log(...)\\ \log(2^x \cdot 7) &= \log(5^{3x}) &|& \log(x \cdot y) = \log(x) + \log(y)\\ \log(2^x) + \log(7) &= \log(5^{3x}) &|& \log(x^n) = n \cdot \log(x)\\ x\log(2) + \log(7) &= 3x\log(5) &|& -3x\log(5) - \log(7)\\ x\log(2) -3x\log(5) &= -\log(7) &|& \text{mise en évidence de }x\\ x(\log(2) -3\log(5)) &= -\log(7) &|& :(\log(2) -3\log(5))\\ x &= \dfrac{-\log(7)}{\log(2) -3\log(5)} \approx 0.47 &\\ S &= \{0.47\}\end{split}\]

Exemple 56#

Résolvez l'équation logarithmique suivante \(\log(x) = \log(3) + 2 \cdot \log(4)\)

Comme le logarithme n'est défini que pour les valeurs strictement positives, il faut déterminer le domaine de définition de cette équation. Pour cela, vérifiez les conditions pour que tous les logarithmes de cette équation soient strictement positifs:

\(x > 0\) et \(3 > 0\) (toujours vrai) et \(4 > 0\) (toujours vrai) \(\implies x>0 \implies D_f = \mathbb{R^*_+} = ]0; +\infty[\)

Pour résoudre ce type d'équation, il faut la transformer pour obtenir un seul logarithme de chaque côté de l'égalité:

\[\begin{split}\log(x) &= \log(3) + 2 \cdot \log(4) \qquad \qquad \qquad &|& n \cdot \log(x) = \log(x^n)\\ \log(x) &= \log(3) + \log(4^2) &|& \log(x) + \log(y) = \log(xy)\\ \log(x) &= \log(3 \cdot 4^2) &|& \text{CL}\\ \log(x) &= \log(48) &|& \log(x) = \log(y) \text{ et } x > 0, y > 0 \implies x = y\\ x &= 48 \in D_f&\\ S &= \{48\}\end{split}\]

Exemple 57#

Résolvez l'équation logarithmique suivante \(\log(x + 1) = \log(3 - x)\)

Domaine de définition:

\(x + 1 > 0 \implies x > -1\) et \(3 - x > 0 \implies x < 3 \implies D_f = ]-1; 3[\)

Résolution:

\[\begin{split}\log(x + 1) &= \log(3 - x) \qquad \qquad \qquad &|& \log(x) = \log(y) \text{ et } x > 0, y > 0 \implies x = y\\ x + 1 &= 3 - x &|& + x -1\\ 2x &= 2 &|& : 2\\ x &= \dfrac{2}{2} = 1 \\ x &= 1 \in D_f&\\ S &= \{1\}\end{split}\]

Exemple 58#

Résolvez l'équation logarithmique suivante \(\log_2(x) + log_2(x - 1) = \log_2(12)\)

Domaine de définition:

\(x > 0\) et \(x - 1 > 0 \implies x > 1 \implies D_f = ]1; +\infty[\)

Résolution:

\[\begin{split}\log_2(x) + log_2(x - 1) &= \log_2(12) \qquad \qquad \qquad &|& \log_b(x) + \log_b(y) = \log_b(xy)\\ \log_2(x(x - 1)) &= \log_2(12) \qquad \qquad \qquad &|& \log_b(x) = \log_b(y) \text{ et } x > 0, y > 0 \implies x = y\\\\ x(x - 1) &= 12 &|& \text{CL et } -12\\ x^2 - x - 12 &= 0 &|& \text{factorisation}\\ (x-4)(x+3) &= 0 &|& \text{factorisation} \end{split}\]
\[\begin{split}x- 4 &= 0\\ x &= 4 \in D_f \end{split}\]

ou

\[\begin{split}x + 3 &= 0\\ x &= -3 \notin D_f \end{split}\]

\(S = \{4\}\)

Définition

Le nombre d'Euler \(e\) est le nombre réel (irrationnel) défini par

\[e = \lim_{n\to \infty} \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n = 2.718281828459\dots\]

Définition

Le logarithme naturel est le logarithme de base \(e\). Il est noté:

\[\log_e(x) = \ln(x)\]

Propriétés

  • \(\ln(e) = 1\)

  • \(\ln(e^x) = x\)

  • \(e^{\ln(x)} = x\)

Exemple 59#

Résolvez l'équation exponentielle suivante: \(1 + e^{2x} = 7\)

\[\begin{split}1 + e^{2x} &= 7 \qquad \qquad \qquad &|& -1 \text{ (isolez l'exponentielle)}\\ e^{2x} &= 6 &|& \ln(\dots)\\ \ln(e^{2x}) &= \ln(6) &|& \ln(e^x) = x\\ 2x &= \ln(6) &|& :2\\ x &= \dfrac{\ln(6)}{2}\approx 0.896 &\\ S &= \{0.896\}\end{split}\]

Exemple 60#

Résolvez l'équation logarithmique suivante: \(2 + \ln(x - 1) = 5\)

Domaine de définition:

\(x - 1 > 0 \implies x > 1 \implies D_f = ]1; +\infty[\)

Résolution:

\[\begin{split}2 + \ln(x - 1) &= 5 \qquad \qquad \qquad &|& -2 \text{ (isolez le logarithme)}\\ \ln(x - 1) &= 3 &|& e^{\dots}\\ e^{\ln(x - 1)} &= e^3 &|& e^{\ln(x)} = x\\ x - 1 &= e^3 &|& + 1\\ x &= e^3 + 1\approx 21.086 &\\ S &= \{21.086\}\end{split}\]

Définition

Une fonction exponentielle est une fonction de la forme

\[f(x) = P_0 \cdot b^x\]

avec \(P_0 \in \mathbb{R^*_+}\) et \(b \in \mathbb{R^*_+} \setminus \{ 1 \}\).

Si \(b > 1\), le processus modélisé est croissant, si \(0 < b < 1\), ce processus est décroissant.

Cette fonction peut aussi s'écrire en utilisant la base \(e\)

\[f(x) = P_0 \cdot e^{kx}\]

avec \(P_0 \in \mathbb{R^*_+}\) et \(k \neq 0\)

Si \(k > 0\), le processus modélisé est croissant, si \(k < 0\), ce processus est décroissant.

Exemple 61#

La croissance d'une population de 1000 batéries qui double chaque jour est donnée par la fonction exponentielle \(C(t) = 1000 \cdot 2^t\) avec \(t\) en jours.

  1. Exprimez cette fonction en utilisant la base \(e\):

    \(C(t) = 1000 \cdot 2^t = 1000 \cdot e^{\ln(2^t)} = 1000 \cdot e^{t \cdot \ln(2)} \approx 1000 \cdot e^{0.6931t}\)

  2. Combien de bactéries y aura-t-il après 6 jours?

    \(C(6) = 1000 \cdot 2^6 = 64000\) bactéries

    Après 6 jours, il y aura 64'000 bactéries.

  3. Après combien de jour la population de batéries atteindra-t-elle un million d'individus?

    Il faut résoudre: \(C(t) = 1\,000\,000\)

    \[\begin{split}1000 \cdot 2^t &= 1\,000\,000\\ 2^t &= 1\,000\\ \log(2^t) &= \log(1\,000)\\ t \cdot \log(2) &= \log(1\,000)\\ t &= \dfrac{\log(1\,000)}{\log(2)} = 9.97 \text{ jours}\end{split}\]

    Il faudra ~10 jours.

Exemple 62#

La croissance d'un capital est donné par la fonction exponentielle \(C(n) = C_0 \cdot (1 + I)^n\) avec

\(C_0\): capital initial
\(I\): taux d'intérêt
\(n\): durée en années

  1. Quel capital final obtiendrez-vous si vous placez \(1\,500\) CHF à un taux d'intérêt annuel de \(0.5\%\) pendant \(2\) ans?

    \(C_0 = 1500\), \(I = 0.5\% = 0.005\) et \(n = 2\)

    \(C(2) = 1500 \cdot (1 + 0.005)^2 = 1515.0475\)

    Le capital sera de \(1515.0475\) CHF, le gain sera de \(15.0475\) CHF.

  2. Pendant combien de temps faut-il placer un capital de \(1\,000\) CHF à un taux de \(1\%\) pour obtenir \(1220.19\) CHF?

    \(C_0 = 1000\) et \(I = 1\% = 0.01\)

    \[\begin{split} C(n) &= 1220.19\\ 1000 \cdot (1 + 0.01)^n &= 1220.19\\ 1000 \cdot (1.01)^n &= 1220.19\\ (1.01)^n &= 1.22019\\ \log((1.01)^n) &= \log(1.22019)\\ n \log(1.01) &= \log(1.22019)\\ n &= \dfrac{\log(1.22019)}{\log(1.01)} \approx 20 \end{split}\]

    Il faudra 20 ans.

  3. Quel est le taux d'intérêt annuel si une somme de \(2\,000\) CHF est placée à la banque pendant \(5\) ans et que le bénéfice est de \(154.568\) CHF?

    \(C_0 = 2000\) et \(n = 5\)

    \[\begin{split} C(5) &= 2000 + 154.568\\ 2000 \cdot (1 + I)^5 &= 2154.568\\ (1 + I)^5&= \dfrac{2154.568}{2000}\\ (1 + I)^5&= 1.077284\\ 1 + I&= \sqrt[5]{1.077284}\\ I&= \sqrt[5]{1.077284} - 1 = 0.014999999 = 0.015\\ \end{split}\]

    La taux d'intérêt annuel est de \(15\%\).

Définition

Si dans un processus une quantité croît de façon exponentielle, on appelle temps de doublement du processus le temps qu'il faut à la quantité pour doubler.

Lorsque la quantité décroît de façon exponentielle, la demi-vie du processus est le temps qu'il faut à la quantité pour qu'elle soit divisée par \(2\).

Exemple 63#

Reprenons l'exemple 62. Après combien de temps, la capital aura-t-il doublé avec un taux de \(1\%\)?

\[\begin{split}2 \cdot C(n) &= C(n + d)\\ 2 \cdot C_0 \cdot (1 + 0.01)^n &= C_0 \cdot (1 + 0.01)^{n+d}\\ 2 \cdot C_0 \cdot (1.01)^n &= C_0 \cdot (1.01)^{n+d} \qquad\qquad &|&: C_0\\ 2 \cdot (1.01)^n &= (1.01)^{n+d} \qquad\qquad &|& a^{n+m} = a^n \cdot a^m\\ 2 \cdot (1.01)^n &= (1.01)^n \cdot (1.01)^d \qquad\qquad &|& : (1.01)^n\\ 2 &= (1.01)^d \qquad\qquad &|& \log(\dots)\\ \log(2) &= \log((1.01)^d) \qquad\qquad &|& \log(a^n) = n\log(a)\\ \log(2) &= d \cdot \log(1.01)\\ d &= \dfrac{\log(2)}{\log(1.01)} = 69.66\\ \end{split}\]

Il faudra presque 70 ans pour doubler son capital avec un taux de 1 %.