Questions métriques dans le plan
Distance d'un point à une droite
Définition
Soient \(d\) une droite d'équation \(ax + by + c = 0\) et \(A\) un point de cette
droite et soit \(P(x_0;y_0)\) un point du plan. La distance de \(P\) à \(d\) est
donnée par
\[\delta(P;d) = \dfrac{\bigl| \overrightarrow{AP} \cdot \vec{n} \bigr|}{\| \vec{n} \|} = \dfrac{\bigl| ax_0 + by_0 + c \bigr|}{\sqrt{a^2+b^2}},\]
où le vecteur \(\vec{n} = \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}\) est un vecteur
normal (orthogonal) à \(d\).
Exemple 26
Soit la droite \(d\) d'équation \(d: 3x + 4y - 5 = 0\), calculez la distance de la
droite au point \(P(-2; 1)\).
\[\begin{split}
\delta(P;d) &= \dfrac{\bigl| ax_0 + by_0 + c \bigr|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
&= \dfrac{\bigl| 3 \cdot (-2) + 4 \cdot 1 - 5 \bigr|}{\sqrt{3^2+4^2}} \\
&= \dfrac{\bigl| -6 + 4 - 5 \bigr|}{\sqrt{9+16}} \\
&= \dfrac{\bigl| -7 \bigr|}{\sqrt{25}} \\
&= \dfrac{7}{5} = 1.4
\end{split}\]
Exemple 27
Soit la droite d sous forme paramétrique
\(d: \left\{
\begin{aligned}
x &= 3 - \lambda \\
y &= 1 + 2\lambda
\end{aligned}
\right.
\), calculez la distance de la droite \(d\) au point \(P(2; 0)\).
\(\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} 2 - 3\\ 0 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ -1 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{d} = \begin{pmatrix} -1\\ 2 \end{pmatrix}\)
Un vecteur normal à \(\vec{d}\) est \(\vec{n} = \begin{pmatrix} -d_2\\ d_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ -1 \end{pmatrix}\)
\[\begin{split}\delta(P;d) &= \dfrac{\bigl| \overrightarrow{AP} \cdot \vec{n} \bigr|}{\| \vec{n} \|} \\
&=\dfrac{\bigl| \begin{pmatrix} -1\\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2\\ -1 \end{pmatrix} \bigr|}{\sqrt{(-2)^2 + (-1)^2}} \\
&= \dfrac{\bigl| -1 \cdot (-2) + (-1) \cdot (-1)|}{\sqrt{4 + 1}} \\
&= \dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5} \simeq 1.34 \\
\end{split}\]
Bissectrices de deux droites
Définition
Soient \(d_1\) et \(d_2\) deux droites sécantes, d'équations
\(d_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0\) et \(d_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0\).
Les équations des bissectrices de \(d_1\) et \(d_2\) sont données par
\[\dfrac{a_1x + b_1y + c_1}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}} = \pm \dfrac{a_2x + b_2y + c_2}{\sqrt{a_2^2+b_2^2}}\]
Exemple 28
Soient deux droites \(d_1: 4x + 3y + 2 = 0\) et \(d_2: y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{8}\),
déterminez les équations des bissectrices \(b_1\) et \(b_2\) de ces deux droites.
Pour appliquer le théorème précédent, il est nécessaire d'utiliser les équations
cartésiennes implicites.
\[\begin{split}
d_2: \quad &y = -\dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{8}\\
&8y = -6x + 1\\
&6x + 8y - 1 = 0
\end{split}\]
L'équation \(b_1\):
\[\begin{split}
\dfrac{4x + 3y + 2}{\sqrt{4^2+3^2}} &= \dfrac{6x + 8y - 1}{\sqrt{6^2+8^2}}\\
\dfrac{4x + 3y + 2}{\sqrt{25}} &= \dfrac{6x + 8y - 1}{\sqrt{100}}\\
\dfrac{4x + 3y + 2}{5} &= \dfrac{6x + 8y - 1}{10}\\
2(4x + 3y + 2) &= 6x + 8y - 1\\
8x + 6y + 4 &= 6x + 8y - 1\\
b_1: \quad\quad 2x - 2y + 5 &= 0
\end{split}\]
L'équation \(b_2\):
\[\begin{split}
\dfrac{4x + 3y + 2}{\sqrt{4^2+3^2}} &= -\dfrac{6x + 8y - 1}{\sqrt{6^2+8^2}}\\
\dfrac{4x + 3y + 2}{\sqrt{25}} &= -\dfrac{6x + 8y - 1}{\sqrt{100}}\\
\dfrac{4x + 3y + 2}{5} &= -\dfrac{6x + 8y - 1}{10}\\
2(4x + 3y + 2) &= -(6x + 8y - 1)\\
8x + 6y + 4 &= -6x - 8y + 1\\
b_2: \quad\quad 14x + 14y + 3 &= 0
\end{split}\]
