Droite dans le plan

Droite dans le plan#

Différents types d'équations#

Définition

L'équation cartésienne explicite de la droite \(d\) du plan est donnée par

\[d: y = mx + h\]

avec \(m\) et \(h \in \mathbb{R}\). \(m\) est la pente et \(h\) est l'ordonnée à l'origine.

Exemple 10#

Soit la droite \(d\) dont l'équation est donnée par

\[d: y = -\dfrac{2}{3}x + 1\]

Cette droite a pour pente \(-\dfrac{2}{3}\) et comme ordonnée à l'origine \(1\).

Définition

L'équation cartésienne implicite de la droite \(d\) du plan est donnée par

\[d: ax + by + c = 0\]

avec \(a\), \(b\) et \(c \in \mathbb{R}\).

Exemple 11#

Reprenons la droite de l'exercice précédent:

\[d: y = -\dfrac{2}{3}x + 1\]

Cette équation est sous la forme cartésienne explicite. En mettant tout dans le même membre, nous obtenons l'équation cartésienne implicite.

\[\begin{split} y &= -\dfrac{2}{3}x + 1 \qquad \qquad &|& \cdot 3\\ 3y &= -2x + 3 &|& +2x - 3\\ 2x + 3y -3 &= 0\end{split}\]

Exemple 12#

Soit l'équation de la droite \(d\) donnée sous forme cartésienne implicite:

\[d: -3x + 4y + 2 = 0\]

En isolant \(y\), nous obtenons l'équation cartésienne explicite.

\[\begin{split} -3x + 4y + 2 &= 0 \qquad \qquad &|& +3x - 2\\ 4y &= 3x - 2 &|& :4\\ y &= \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}\end{split}\]

Définition

Un vecteur directeur d'une droite \(d\) est tout vecteur \(\overrightarrow{AB}\) avec \(A\) et \(B\) sont deux points distincts de \(d\).

Exemple 13#

Cherchons un vecteur directeur de la droite \(d: y = -\dfrac{2}{3}x + 1\).

  1. Trouvez deux points \(A\) et \(B\) qui appartiennent à la droite:
    \(A(0; 1)\) et \(B(3; -1)\) sont deux points de la droite.

  2. Déterminez les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AB}\):
    \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(d\).

Définition

Pour tout point \(P\) de la droite \(d\) donnée par le point \(A\) et le vecteur directeur \(\vec{d}\), l'équation vectorielle de la droite \(d\) du plan est donnée par

\[\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \vec{d}\]

avec \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Exemple 14#

L'équation vectorielle de la droite \(d: y = -\dfrac{2}{3}x + 1\) est donnée par

\[\begin{split}\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

Pour tous points \((x; y)\) de \(d\), il existe \(\lambda\) tel que l'équation vectorielle est vérifiée:

Soit \(P(-3; 3)\) appartenant à \(d\).

\(\begin{pmatrix} -3\\ 3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \left\{ \begin{aligned} -3 &= 0 + \lambda \cdot 3 \\ 3 &= 1 + \lambda \cdot (-2) \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{aligned} \lambda &= -1 \\ \lambda &= -1 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \lambda = -1\)

\(\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix}\)

Exemple 15#

Vérifions si un point appartient à une droite dont nous connaissons l'équation vectorielle:

\(d : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -5\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ \end{pmatrix} \text{ avec } \lambda \in \mathbb{R}\)

  1. Le point \(Q(-4; 5)\) appartient-il à la droite \(d\)?
    Remplacez les coordonnées du point \(Q\) dans l'équation vectorielle de \(d\):

    \[\begin{split}\left\{ \begin{aligned} -4 &= 2 + \lambda \cdot (-1) \\ 5 &= -5 + \lambda \cdot 2 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{aligned} \lambda &= 6 \\ \lambda &= 5 \end{aligned} \right.\end{split}\]
    Comme les deux valeurs de \(\lambda\) ne sont pas les mêmes, \(Q\) n'appartient pas à la droite \(d\).

  2. Le point \(R(-1; 1)\) appartient-il à la droite \(d\)?
    Remplacez les coordonnées du point \(R\) dans l'équation vectorielle de \(d\):

    \[\begin{split}\left\{ \begin{aligned} -1 &= 2 + \lambda \cdot (-1) \\ 1 &= -5 + \lambda \cdot 2 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{aligned} \lambda &= 3 \\ \lambda &= 3 \end{aligned} \right.\end{split}\]
    Comme les deux valeurs de \(\lambda\) sont les mêmes, \(R\) appartient à la droite \(d\).

Définition

Les équations paramétriques de la droite \(d\) du plan sont données par

\[\begin{split}\left \{ \begin{aligned} x &= a_1 + \lambda \cdot d_1\\ y &= a_2 + \lambda \cdot d_2 \end{aligned} \right.\end{split}\]

avec \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Exemple 16#

Depuis l'équation vectorielle de la droite \(d: y = -\dfrac{2}{3}x + 1\), il est facile de définir les équations paramétriques:

\(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix} \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} x &= 0 + \lambda \cdot 3\\ y &= 1 + \lambda \cdot (-2) \end{aligned} \right.\)

Transformation d'équations#

Exemple 17#

Comment passez d'une équation vectorielle à une équation cartésienne?

  1. Le vecteur directeur permet de calculer la pente \(m\).

  2. Le point d'ancrage permet de calculer l'ordonnée à l'origine \(h\).

Soit l'équation vectorielle d'une droite

\(d : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ 4\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5\\ -1\\ \end{pmatrix} \text{ avec } \lambda \in \mathbb{R}\)

La pente de la droite: \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-1}{5} = -\dfrac{1}{5}\)

\(d: y = -\dfrac{1}{5}x + h\)

Le point d'ancrage est (-3; 4). En remplaçant ces valeurs dans l'équation, nous pouvons déterminer \(h\):

\(4 = -\dfrac{1}{5} \cdot (-3) + h \implies 4 = \dfrac{3}{5} + h \implies 4 - \dfrac{3}{5} = h \implies h = \dfrac{17}{5}\)

L'équation cartésienne explicite de la droite \(d\) est \(d: y = -\dfrac{1}{5}x + \dfrac{17}{5}\).

L'équation cartésienne implicite de la droite \(d\) est

\[\begin{split} y &= -\dfrac{1}{5}x + \dfrac{17}{5} \qquad \qquad &|& \cdot 5\\ 5y &= -x + 17 &|& +x - 17\\ x + 5y - 17 &= 0\end{split}\]

Remarque: Le coefficient du \(x\) est l'opposé de la deuxième composante du vecteur directeur et celui du \(y\) correspond à la première.

Théorème

Soit \(d\) une droite d'équation \(ax+by+c=0\). Un vecteur directeur de \(d\) est

\[\begin{split}\vec{d} = \begin{pmatrix} -b\\ a\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

Exemple 18#

Comment passez d'une équation cartésienne à une équation vectorielle?

  1. N'importe quel point de la droite peut servir de point d'ancrage.

  2. Utilisez le théorème ci-dessus pour trouver le vecteur directeur.

Soit l'équation cartésienne explicite d'une droite \(d: y = \dfrac{1}{3}x - 2\)

Prenons l'ordonnée à l'origine comme point d'ancrage: \(A(0; -2)\).

L'équation cartésienne implicite:

\[\begin{split} y &= \dfrac{1}{3} - 2 \qquad \qquad &|& \cdot 3\\ 3y &= x -6 &|& -x + 6\\ -x + 3y + 6 &= 0\end{split}\]

Le vecteur directeur est donc \(\vec{d} = \begin{pmatrix} -b\\ a\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ -1\\ \end{pmatrix}\)

L'équation vectorielle:

\(d : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3\\ -1\\ \end{pmatrix} \text{ avec } \lambda \in \mathbb{R}\)

La forme paramétrique:

\( \left \{ \begin{aligned} x &= -3\lambda\\ y &= -2 - \lambda \end{aligned} \right.\)

Position relaive de deux droites#

Propriétés

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et si elles n'ont aucun point commun.

Deux droits sont confondues si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et si elles ont (au moins) un point commun.

Deux droites sont sécantes si elles ont un unique point commun.

Exemple 19#

Soient deux droites \(d_1 : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ \end{pmatrix}\) et \(d_2 : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 4\\ \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 3\\ \end{pmatrix}\)

  1. Vérifiez si les vecteurs directeurs sont colinéaires (ou si les pentes sont les mêmes.)

  2. Vérifiez si le point d'ancrage d'un des droites appartient à l'autre.

Les deux vecteurs directeurs sont colinéaires, car \(3 \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ 3\\ \end{pmatrix}\). Les deux droites sont donc parallèles ou confondues.

Vérifions si le point d'ancrage de \(d_1\) \((2; 2)\) appartient à \(d_2\):

\[\begin{split}\left \{ \begin{aligned} 2 &= 5 + \mu \cdot 6\\ 2 &= 4 + \mu \cdot 3 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} -3 &= 6\mu\\ -2 &= 3\mu \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} -\dfrac{1}{2} &= \mu\\ -\dfrac{2}{3} &= \mu \end{aligned} \right. \end{split}\]

\((2; 2) \notin d_2\), les deux droites sont donc parallèles.

Exemple 20#

Soient deux droites \(d_1 : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4\\ -2\\ \end{pmatrix}\) et \(d_2 : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1\\ -3\\ \end{pmatrix}\)

Les deux vecteurs directeurs sont-ils colnéaires?

\(Det(\vec{d_1}, \vec{d_2}) = \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} = 4 \cdot (-3) - (-2) \cdot (-1) = -12 -2 = --14 \neq 0\)

Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les deux droites sont donc sécantes.

Déterminons le point d'intersection:

\[\begin{split} \left \{ \begin{aligned} 0 + 4\lambda &= 3 - \mu\\ 1 -2\lambda &= -1 -3\mu \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} 4\lambda + \mu &= 3\\ -2\lambda + 3\mu &= -2 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} 4\lambda + \mu &= 3\\ -4\lambda + 6\mu &= -4 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \end{split}\]

Nous obtenons \(\mu = -\dfrac{1}{7}\) et \(\lambda = \dfrac{3 + \dfrac{1}{7}}{4} = \dfrac{11}{14}\)

\[\begin{split} \left \{ \begin{aligned} x &= 3 - \mu = 3 - (-\dfrac{1}{7})= 3 + \dfrac{1}{7} = \dfrac{22}{7}\\ y &= -1 - 3\mu = -1 - 3 \cdot (-\dfrac{1}{7}) = -1 + \dfrac{3}{7} = -\dfrac{4}{7} \end{aligned} \right. \end{split}\]
LE point d'intersection est \(I(\dfrac{22}{7}; \dfrac{4}{7})\)

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