Droite dans le plan

Droite dans le plan#

Corrigés détaillés

Théorie#

Différents types d'équations#

Définition

L'équation cartésienne explicite de la droite \(d\) du plan est donnée par

\[d: y = mx + h\]

avec \(m\) et \(h \in \mathbb{R}\). \(m\) est la pente et \(h\) est l'ordonnée à l'origine.

Exemple 11

Soit la droite \(d\) dont l'équation est donnée par

\[d: y = -\dfrac{2}{3}x + 1\]

Cette droite a pour pente \(-\dfrac{2}{3}\) et comme ordonnée à l'origine \(1\).

Définition

L'équation cartésienne implicite de la droite \(d\) du plan est donnée par

\[d: ax + by + c = 0\]

avec \(a\), \(b\) et \(c \in \mathbb{R}\).

Exemple 12

Reprenons la droite de l'exemple 11:

\[d: y = -\dfrac{2}{3}x + 1\]

Cette équation est sous la forme cartésienne explicite. En mettant tout dans le même membre, nous obtenons l'équation cartésienne implicite.

\[\begin{split} y &= -\dfrac{2}{3}x + 1 \qquad \qquad &|& \cdot 3\\ 3y &= -2x + 3 &|& +2x - 3\\ 2x + 3y -3 &= 0\end{split}\]

Exemple 13

Soit l'équation de la droite \(d\) donnée sous forme cartésienne implicite:

\[d: -3x + 4y + 2 = 0\]

En isolant \(y\), nous obtenons l'équation cartésienne explicite.

\[\begin{split} -3x + 4y + 2 &= 0 \qquad \qquad &|& +3x - 2\\ 4y &= 3x - 2 &|& :4\\ y &= \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}\end{split}\]

Définition

Un vecteur directeur d'une droite \(d\) est tout vecteur \(\overrightarrow{AB}\) tels que \(A\) et \(B\) sont deux points distincts de \(d\).

Exemple 14

Trouvez un vecteur directeur de la droite \(d: y = -\dfrac{2}{3}x + 1\).

  1. Trouvez deux points \(A\) et \(B\) qui appartiennent à la droite:
    \(A(0; 1)\) et \(B(3; -1)\) sont deux points de la droite.

  2. Déterminez les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AB}\):
    \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix}\)

\(\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de \(d\).

Définition

Pour tout point \(P\) de la droite \(d\) donnée par le point \(A \in d\) et le vecteur directeur \(\vec{d}\), l'équation vectorielle de la droite \(d\) du plan est donnée par

\[\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \vec{d}\]

avec \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Démonstration

\(P, A \in d\) et \(\vec{d}\) est le vecteur directeur \(\implies \overrightarrow{AP} = \lambda \cdot \vec{d}\), car \(\overrightarrow{AP} \text{ et } \vec{d}\) sont colinéaires.

\(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OP} \implies \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OP} = \lambda \cdot \vec{d}\)

\(\overrightarrow{AO} = - \overrightarrow{OA} \implies - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OP} = \lambda \cdot \vec{d} \implies\)
\(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \lambda \cdot \vec{d}\)

Exemple 15

L'équation vectorielle de la droite \(d: y = -\dfrac{2}{3}x + 1\) est donnée par

\[\begin{split}\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

Pour déterminer des points qui appartiennent à la droite, il suffit dans remplacer \(\lambda\) par des valeurs.

  • Avec \(\lambda = 0 \text{, } \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix}\)
    Le point \((0; 1) \in d\).

  • Avec \(\lambda = 1 \text{, }\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ \end{pmatrix}\)
    Le point \((3; -1) \in d\).

  • Avec \(\lambda = -5 \text{, } \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -15\\ 10\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -15\\ 11\\ \end{pmatrix}\)
    Le point \((-15; 11) \in d\).

Exemple 16

Pour vérifier si un point appartient à une droite dont l'équation vectorielle est connue:

\(d : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -5\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ \end{pmatrix} \text{ avec } \lambda \in \mathbb{R}\)

  1. Le point \(Q(-4; 5)\) appartient-il à la droite \(d\)?
    Remplacez les coordonnées du point \(Q\) dans l'équation vectorielle de \(d\):

    \[\begin{split}\left\{ \begin{aligned} -4 &= 2 + \lambda \cdot (-1) \\ 5 &= -5 + \lambda \cdot 2 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{aligned} \lambda &= 6 \\ \lambda &= 5 \end{aligned} \right.\end{split}\]
    Comme les deux valeurs de \(\lambda\) ne sont pas les mêmes, \(Q\) n'appartient pas à la droite \(d\).

  2. Le point \(R(-1; 1)\) appartient-il à la droite \(d\)?
    Remplacez les coordonnées du point \(R\) dans l'équation vectorielle de \(d\):

    \[\begin{split}\left\{ \begin{aligned} -1 &= 2 + \lambda \cdot (-1) \\ 1 &= -5 + \lambda \cdot 2 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{aligned} \lambda &= 3 \\ \lambda &= 3 \end{aligned} \right.\end{split}\]
    Comme les deux valeurs de \(\lambda\) sont les mêmes, \(R\) appartient à la droite \(d\).

Définition

Les équations paramétriques de la droite \(d\) du plan sont données par

\[\begin{split}\left \{ \begin{aligned} x &= a_1 + \lambda \cdot d_1\\ y &= a_2 + \lambda \cdot d_2 \end{aligned} \right.\end{split}\]

avec \(\lambda \in \mathbb{R}\).

Exemple 17

Les équations paramétriques découlent directement de l'équation vectorielle.

\(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix} \iff \left \{ \begin{aligned} x &= 0 + \lambda \cdot 3\\ y &= 1 + \lambda \cdot (-2) \end{aligned} \right. \iff \left \{ \begin{aligned} x &= 3\lambda\\ y &= 1 - 2\lambda \end{aligned} \right.\)

-> exercice 1, exercice 2, exercice 3, exercice 4, exercice 5 et exercice 6.

Transformation d'équations#

Marche à suive: équation vectorielle -> équation cartésienne

Pour passer de l'équation vectorielle à l'équation cartésienne.

  1. Déterminer la pente en utilisant le vecteur directeur.

  2. Calculez l'ordonnée à l'origine en utilisant le point d'ancrage.

Exemple 18

Déterminez l'équation cartésienne de la droite \(d\) dont l'équation vectorielle est

\(d : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ 4\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5\\ -1\\ \end{pmatrix} \text{ avec } \lambda \in \mathbb{R}\)

  1. Pente de la droite
    \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-1}{5} = -\dfrac{1}{5} \implies d: y = -\dfrac{1}{5}x + h\)

  2. Ordonnée à l'origine
    Le point d'ancrage est (-3; 4). En remplaçant ces valeurs dans l'équation, déterminez \(h\):

    \(4 = -\dfrac{1}{5} \cdot (-3) + h \implies 4 = \dfrac{3}{5} + h \implies 4 - \dfrac{3}{5} = h \implies h = \dfrac{17}{5}\)

L'équation cartésienne explicite de la droite \(d\) est \(d: y = -\dfrac{1}{5}x + \dfrac{17}{5}\).

L'équation cartésienne implicite de la droite \(d\) est

\[\begin{split} y &= -\dfrac{1}{5}x + \dfrac{17}{5} \qquad \qquad &|& \cdot 5\\ 5y &= -x + 17 &|& +x - 17\\ x + 5y - 17 &= 0\end{split}\]

-> exercice 7

Théorème

Soit \(d\) une droite d'équation \(ax+by+c=0\). Un vecteur directeur de \(d\) est

\[\begin{split}\vec{d} = \begin{pmatrix} -b\\ a\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

Marche à suive: équation cartésienne -> équation vectorielle

Pour passer de l'équation catésienne à une équation vectorielle.

  1. Trouvez un point qui appartient à la droite (par exemple l'ordonnée à l'origine) et prenez-le comme point d'ancrage.

  2. Déterminez le vecteur directeur en utilisant le théorème ci-dessus.

Exemple 19

Déterminez une équation vectorielle de la droite \(d\) dont l'équation cartésienne explicite est \(d: y = \dfrac{1}{3}x - 2\)

  1. Point d'ancrage
    Prenez, par exemple, l'ordonnée à l'origine comme point d'ancrage: \(A(0; -2)\).

  2. Vecteur directeur
    L'équation cartésienne implicite:

    \[\begin{split} y &= \dfrac{1}{3} - 2 \qquad \qquad &|& \cdot 3\\ 3y &= x -6 &|& -x + 6\\ -x + 3y + 6 &= 0\end{split}\]

    Le vecteur directeur est donc \(\vec{d} = \begin{pmatrix} -b\\ a\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ -1\\ \end{pmatrix}\)

L'équation vectorielle:

\(d : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3\\ -1\\ \end{pmatrix} \text{ avec } \lambda \in \mathbb{R}\)

La forme paramétrique:

\( \left \{ \begin{aligned} x &= -3\lambda\\ y &= -2 - \lambda \end{aligned} \right.\)

-> exercice 8 et exercice 9.

Position relative de deux droites#

Propriétés

Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et si elles n'ont aucun point commun.

Deux droits sont confondues si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires et si elles ont (au moins) un point commun.

Deux droites sont sécantes si elles ont un unique point commun.

Marche à suivre: déterminer la position relative entre deux droites

  1. Vérifiez si les deux vecteurs directeurs sont colinéaires.

    • Si oui, les deux droites sont soit parallèles, soit confondues -> passez au point 2a).

    • Si non, les deux droites sont sécantes -> passez au point 2b).

    1. Vérifiez si le point d'ancrage d'une des droites appartient à l'autre (si les deux vecteurs sont colinéaires).

      • Si oui, les deux droites sont confondues.

      • Si non, les deux droites sont parallèles.

    1. Déterminez le point d'intersection \(I\) (si les deux doites sont sécantes).

Exemple 20

Soient deux droites \(d_1 : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ \end{pmatrix}\) et \(d_2 : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 4\\ \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 3\\ \end{pmatrix}\)

  1. Vérifiez si les vecteurs directeurs sont colinéaires (ou si les pentes sont les mêmes.)

    Les deux vecteurs directeurs sont colinéaires, car \(3 \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ 3\\ \end{pmatrix}\).

    Les deux droites sont donc parallèles ou confondues.

  2. Vérifiez si le point d'ancrage d'une des droites appartient à l'autre.

    Le point d'ancrage de \(d_1\) est \((2; 2)\) appartient-il à \(d_2\)?

    \[\begin{split}\left \{ \begin{aligned} 2 &= 5 + \mu \cdot 6\\ 2 &= 4 + \mu \cdot 3 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} -3 &= 6\mu\\ -2 &= 3\mu \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} -\dfrac{1}{2} &= \mu\\ -\dfrac{2}{3} &= \mu \end{aligned} \right. \end{split}\]

    \((2; 2) \notin d_2\), les deux droites sont donc parallèles.

Exemple 21

Soient deux droites \(d_1 : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 3\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1\\ \end{pmatrix}\) et \(d_2 : \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 4\\ \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -3\\ \end{pmatrix}\)

  1. Vérifiez si les vecteurs directeurs sont colinéaires.

    \(Det(\vec{d_1}, \vec{d_2}) = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -2 \cdot (-3) - 1 \cdot 1 = 6 -1 = 5 \neq 0\)

    Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires. Les deux droites sont donc sécantes.

  2. Déterminez le point d'intersection.

    \[\begin{split} \left \{ \begin{aligned} -2 - 2\lambda &= 1 + \mu\\ 3 + \lambda &= 4 -3\mu \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} -2\lambda - \mu &= 3\\ \lambda + 3\mu &= 1 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} -2\lambda - \mu &= 3\\ 2\lambda + 6\mu &= 2 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \end{split}\]

    Nous obtenons \(\mu = 1\) et \(\lambda = -2\)

    \[\begin{split} \left \{ \begin{aligned} x &= 1 + \mu = 1 + 1= 2\\ y &= 4 - 3\mu = 4 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1 \end{aligned} \right. \end{split}\]
    Le point d'intersection est \(I(2; 1)\)

-> exercice 10, exercice 11, exercice 12 et exercice 13.

Exercices#

Exercice 1#

Soit la droite \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ 2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ \end{pmatrix} \quad \text{avec} \quad \lambda \in \mathbb{R}\)

Déterminez les points de cette droite pour \(\lambda = -3\), \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\) et \(3\), puis tracez cette droite dans un repère orthonormé.

Exercice 2#

Soit la droite \(d: \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -5\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ \end{pmatrix} \quad \text{avec} \quad \lambda \in \mathbb{R}\)

Les points \(A(5;4)\), \(B(0;7)\) et \(C(7.5;11.5)\) appartiennent-ils à la droite \(d\)?

Exercice 3#

Déterminez les équations vectorielles des axes \(Ox\) et \(Oy\).

Exercice 4#

Déterminez l'équation vectorielle de la droite passant par

  1. \(A(-4;0)\) et \(B(3;2)\).

  2. \(A(2;-1)\) et qui coupe l'axe \(Ox\) en \(x=5\).

  3. \(A(4;3)\) et parallèle à l'axe \(Ox\).

  4. \(A(7;5)\) et parallèle à l'axe \(Oy\).

  5. \(A(5;-1)\) et parallèle à la droite d'équation \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\ 8\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ \end{pmatrix}\).

  6. \(A(-1;3)\) et par l'origine.

Exercice 5#

Une droite \(d\) passe par le point \(A(3;-2)\) et est parallèle à la droite passant par \(C(1;4)\) et \(D(5;6)\).

  1. Déterminez une équation vectorielle de cette droite.

  2. Vérifiez si le point \(B(-2;-8)\) appartient à \(d\).

Exercice 6#

Une droite \(d\) coupe les axes en \(A(0;2)\) et \(B(4;0)\). Déterminez l'équation vectorielle de \(d\).

Exercice 7#

Calculez une équation cartésienne des droites données ci-dessous.

  1. \(d_1: \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(d_2: \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 5\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 4\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(d_3: \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ 3\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 5\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 8#

Calculez une équation vectorielle des droites données ci-dessous.

  1. \(d_1: y=3x-2\)

  2. \(d_2: 4x-3y+1=0\)

  3. \(d_3: -2x+y+3=0\)

Exercice 9#

Montrez que les six équations ci-dessous représentent la même droite.

\(3x+2y=11\)

\(\dfrac{9-x}{2} = \dfrac{y+8}{3}\)

\(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 5\\ -2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 3\\ \end{pmatrix}\)

\(\left \{ \begin{aligned} x &= 3 + 2\lambda \\ y &= 1 - 3\lambda \end{aligned} \right.\)

\(y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{11}{2}\)

\(6x+4y-22 = 0\)

Exercice 10#

Déterminez si les deux équations vectorielles représentent la même droite.

  1. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 5\\ \end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 8\\ \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 10\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ \end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 5\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ -2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ \end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\ 0\\ \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ \end{pmatrix}\)

  4. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix} \quad \text{ et } \quad \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\ -2\\ \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 6\\ -4\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 11#

Déterminez si les droites suivantes sont confondues, strictement parallèles ou sécantes. Dans ce cas, déterminez leur point d'intersection \(I\).

  1. \(d_1: 3x + 2y - 1 = 0 \quad \text{ et } \quad d_2: \left\{ \begin{aligned} x &= 2 - \lambda \\ y &= -1 + 2\lambda \end{aligned}\right.\)

  2. \(d_1: 15x - 5y - 1 = 0 \quad \text{ et } \quad d_2: 12x-4y + 3 = 0\)

  3. \(d_1: y = -\dfrac{2}{3}x +3 \quad \text{ et } \quad d_2: 7x - 12y - 9 = 0\)

  4. \(d_1: \left\{ \begin{aligned} x &= 1 + \lambda \\ y &= 2 - \lambda \end{aligned}\right. \quad \text{ et } \quad d_2: x + y = 3\)

  5. \(d_1: 4x - 6y = 3 \quad \text{ et } \quad d_2: -2x + 3y = 5\)

  6. \(d_1: 5x - 6y = -2 \quad \text{ et } \quad d_2: -3x + 4y = 8\)

Exercice 12#

Soient les points \(A(3;1)\) et \(B(4;-1)\).

  1. Déterminez une équation vectorielle de la droite \(d\) qui passe par \(A\) et \(B\).

  2. Calculez les points d'intersection de \(d\) avec les deux axes \(Ox\) et \(Oy\).

Exercice 13#

Soit la droite \(d: \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 5\\ \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb{R}\).

  1. Déterminez trois points de cette droite.

  2. Donnez trois points qui n'appartiennent pas à cette droite.

  3. Calculez les points d'intersection de \(d\) avec les deux axes \(Ox\) et \(Oy\).

Solutions#

Exercice 1#

Sans corrigé.

Exercice 2#

\(A \in d\); \(\quad B \not\in d\); \(\quad C\in d\).

Exercice 3#

\(Ox: \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}\); \(\quad Oy: \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix}\).

Exercice 4#

Les solutions de cet exercice ne sont pas uniques. Voici des solutions possibles, avec \(\lambda \in \mathbb{R}\).

  1. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\ 0\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 7\\ 2\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 3\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}\)

  4. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\ 5\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ \end{pmatrix}\)

  5. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ -1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ \end{pmatrix}\)

  6. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1\\ 3\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 5#

  1. Solution possible: \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ \end{pmatrix} \text{ , } \quad \lambda \in \mathbb{R}\).

  2. \(B \not\in d\).

Exercice 6#

\(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 0\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 4\\ -2\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 7#

Les solutions ne sont pas uniques. Voici des solutions possibles.

  1. \(y=-3x+7\)

  2. \(y=x+5\)

  3. \(y=\dfrac{5}{6}x+\dfrac{19}{3}\)

Exercice 8#

Les solutions ne sont pas uniques. Voici des solutions possibles.

  1. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -2\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \frac{1}{3}\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 4\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(\begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -3\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 9#

Toutes les équations peuvent être transformées pour obtenir \(y = -\dfrac{3}{2}x + \dfrac{11}{2}\).

Exercice 10#

  1. Mêmes droites.

  2. Droites différentes.

  3. Mêmes droites.

  4. Mêmes droites.

Exercice 11#

  1. Sécantes; \(I(5;-7)\)

  2. Strictement parallèles

  3. Sécantes; \(I(3;1)\)

  4. Confondues

  5. Strictement parallèles

  6. Sécantes; \(I(20;17)\)

Exercice 12#

  1. \(d: \begin{pmatrix} x\\ y\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 1\\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1\\ -2\\ \end{pmatrix}\), \(\lambda \in \mathbb{R}\).

  2. \(P(\frac{7}{2};0)\); \(\quad Q(0;7)\).

Exercice 13#

  1. Sans corrigé.

  2. Sans corrigé.

  3. \(P(\frac{17}{5};0)\); \(Q(0;-\frac{17}{2})\).