Vecteurs#
Notion de vecteurs#
Définition
Un vecteur est un segment de droite orienté (une flèche). Il est défini par une longueur (distance entre l'origine et l'extrémité de la flèche), une direction (représentée par la droite sur laquelle se trouve la flèche) et un sens (sens de la flèche).
Le vecteur dont la norme est \(0\) est le vecteur nul, noté \(\vec{0}\).
Des vecteurs de même direction sont dits colinéaires.
Exemple 1#
Voici plusieurs représentations d'un seul et même vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ \end{pmatrix}\)
En effet, ils ont tous la même longueur, la même direction et le même sens.
Exemple 2#
Les vecteurs suivants sont colinéaires, car ils ont tous la même direction.
Définition
Soient les vecteurs \(\vec{u}= \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}= \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}\). Le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le nombre réel
Théorème
Soient deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
Exemple 3#
Soient les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\2 \\ \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -6 \\-4 \\ \end{pmatrix}\).
\(Det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} 3 & -6 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} = 3 \cdot (-4) - 2 \cdot (-6) = -12 - (-12) = 0\)
Les deux vecteurs sont donc colinéaires.
Définition
Un couple \((\vec{e_1}; \vec{e_2})\) constitué des vecteurs non colinéaires \(\vec{e_1}\) et \(\vec{e_2}\) est appelé une base du plan vectoriel. La base est dite orthonormée si les vecteurs \(\vec{e_1}\) et \(\vec{e_2}\) sont orthogonaux et ont la même norme.
Un repère du plan est un couple \((O,\vec{e_1},\vec{e_2})\), où \(O\) est un point et \((\vec{e_1}; \vec{e_2})\) une base. Le repère est dit orthonormé si la base est orthonormée.
Définition
Tout vecteur \(\vec{v}\) du plan peut être décomposé en deux composantes par rapport à la base \((\vec{e_1};\vec{e_2})\).
où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.
Exemple 4#
\(\vec{v} = 3 \cdot \vec{e_1} + 2 \cdot \vec{e_2} = \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ \end{pmatrix}\)
Base du plan
Base orthonormée du plan
Définition
La longueur d'un vecteur \(\vec{v}\) est appelée la norme du vecteur \(\vec{v}\), notée \(||\vec{v}||\).
Théorème
Soit \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ \end{pmatrix}\). Dans un repère orthonormé,
Exemple 5#
Soit le vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -4\\ 7\\ \end{pmatrix}\)
\(\| \vec{v} \| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \simeq 8.1\)
Définition
Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.
Exemple 6#
Soient les vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 2\\ -3\\ \end{pmatrix}\).
\(\vec{u}\) est un vecteur unitaire: \(\| \vec{u} \| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\)
\(\vec{v}\) est un vecteur unitaire: \(\|\vec{v}\| = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{\dfrac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1\)
\(\vec{w}\) n'est pas un vecteur unitaire: \(\|\vec{w}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \neq 1\)
Définition
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) des vecteurs dans un repère orthonormé du plan et \(\lambda \in \mathbb{R}\).
Exemple 7#
Soient les vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ \end{pmatrix}\).
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + (-2)\\ -5 + (-3)\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -8\\ \end{pmatrix}\)
\(-2 \cdot \vec{u} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\ 10\\ \end{pmatrix}\)
Propriétés de l'addition vectorielle
Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) des vecteurs.
\(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
\(\vec{u} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{u} = \vec{u}\)
\(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\)
\(\big( \vec{u} + \vec{v} \big) + \vec{w} = \vec{u} + \big( \vec{v} + \vec{w} \big)\)
Propriétés de la multiplication par un scalaire
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) des vecteurs, \(\lambda\) et \(\mu \in \mathbb{R}\).
\(\lambda \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \lambda \cdot\vec{u} + \lambda \cdot\vec{v}\)
\((\lambda + \mu) \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}\)
\(\lambda \cdot (\mu\vec{u}) = (\lambda \mu) \cdot \vec{u}\)
\(1 \cdot \vec{u} = \vec{u} \quad\) et \(\quad(-1) \cdot \vec{u} = -\vec{u}\)
\(\lambda \cdot (-\vec{u}) = (-\lambda) \cdot \vec{u} = -(\lambda \vec{u})\)
\(0 \cdot \vec{u} = \vec{0}\)
\(\lambda \cdot \vec{0} = \vec{0}\)
Théorème
Soient trois points \(A\), \(B\) et \(c\) du plan.
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \quad\) (relation de Chasles)
\(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)
Exemple 8#
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \quad\)
\(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}\)
Théorème
Soient un repère \((O;\vec{e_1};\vec{e_2})\) du plan et deux points \(A(a_1;a_2)\) et \(B(b_1;b_2)\). Les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont
Exemple 9#
Soient les points \(A(4;-3)\) et \(B(0;7)\).
\(\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 4\\ -3\\ \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4\\ -3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 4\\ 7 - (-3)\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\ 10\\ \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 4\\ -3\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 7\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 0\\ -3 - 7\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ -10\\ \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}\)