Vecteurs

Vecteurs#

Corrigés détaillés

Théorie#

Définition

Un vecteur est un segment de droite orienté (une flèche). Il est défini par une longueur (distance entre l'origine et l'extrémité de la flèche), une direction (représentée par la droite sur laquelle se trouve la flèche) et un sens (sens de la flèche).

Le vecteur dont la norme est \(0\) est le vecteur nul, noté \(\vec{0}\).

Des vecteurs de même direction sont dits colinéaires.

Exemple 1

Voici plusieurs représentations d'un seul et même vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ \end{pmatrix}\)

En effet, ils ont tous la même longueur, la même direction et le même sens.

Exemple 2

Les vecteurs suivants sont colinéaires, car ils ont tous la même direction, mais ils n'ont pas forcément le même sens.

Définition

Soient les vecteurs \(\vec{u}= \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v}= \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}\). Le déterminant de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le nombre réel

\[\begin{split}Det(\vec{u}, \vec{v}) = \begin{vmatrix} u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix} = u_1v_2 - u_2v_1\end{split}\]

Théorème

Soient deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

\[ \vec{u} \text{ et } \vec{v} \text{ sont colinéaires } \iff Det(\vec{u}, \vec{v}) = 0\]

Exemple 3

  1. Soient les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -3 \\2 \\ \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\-4 \\ \end{pmatrix}\).

    \[\begin{split}Det(\vec{u}, \vec{v}) &= \begin{vmatrix} -3 & 6 \\ 2 & -4 \end{vmatrix} \\ &= -3 \cdot (-4) - 2 \cdot 6 = 12 - 12 = 0\end{split}\]

    \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.

  2. Soient les vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1\\4 \\ \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 5 \\2 \\ \end{pmatrix}\).

    \[\begin{split}Det(\vec{u}, \vec{v}) &= \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \\ &= 1 \cdot 2 - 4 \cdot 5 = 2 - 20 = -18 \neq 0\end{split}\]

    \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.

-> exercice 1

Définition

Un couple \((\vec{e_1}; \vec{e_2})\) constitué des vecteurs non colinéaires \(\vec{e_1}\) et \(\vec{e_2}\) est appelé une base du plan vectoriel. La base est dite orthonormée si les vecteurs \(\vec{e_1}\) et \(\vec{e_2}\) sont orthogonaux et ont la même norme.

Un repère du plan est un couple \((O,\vec{e_1},\vec{e_2})\), où \(O\) est un point et \((\vec{e_1}; \vec{e_2})\) une base. Le repère est dit orthonormé si la base est orthonormée.

Définition

Tout vecteur \(\vec{v}\) du plan peut être décomposé en deux composantes par rapport à la base \((\vec{e_1};\vec{e_2})\).

\[\begin{split}\vec{v} = a \cdot \vec{e_1} + b \cdot \vec{e_2} = \begin{pmatrix} a\\ b\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels.

Exemple 4

\(\vec{v} = 3 \cdot \vec{e_1} + 2 \cdot \vec{e_2} = \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ \end{pmatrix}\)

Base du plan

Base orthonormée du plan

Théorème

Soient un repère \((O;\vec{e_1};\vec{e_2})\) du plan et deux points \(A(a_1;a_2)\) et \(B(b_1;b_2)\). Les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) sont

\[\begin{split}\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} b_1 - a_1\\ b_2 - a_2\\ \end{pmatrix}\\\end{split}\]

Exemple 5

Soient les points \(A(4;1)\) et \(B(-2;3)\).

Les composantes des vecteurs positions de \(A\) et \(B\) sont:

\(\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 4\\ 1\\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} -2\\ 3\\ \end{pmatrix}\)

Les composantes du vecteur \(AB\) sont:

\[\begin{split}\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\\ &= \begin{pmatrix} -2\\ 3\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4\\ 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 4\\ 3 - 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6\\ 2\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

-> exercice 2, exercice 3 et exercice 4

Théorème

Soient trois points \(A\), \(B\) et \(C\) du plan.

  1. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \quad\) (relation de Chasles)

  2. \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\)

  3. \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}\)

Exemple 6

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \quad\)

\(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\)

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB}\)

Exemple 7

Soient les points \(A(4;-3)\), \(B(1;3)\) et \(C(2; 4)\).

Les vecteurs positions sont:

\(\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 4\\ -3\\ \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{OB} = \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ \end{pmatrix}\)

  1. \(\overrightarrow{AB} = - \overrightarrow{BA}\)

    \[\begin{split}\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \\ &= \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4\\ -3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 4\\ 3 - (-3)\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3\\ 6\\ \end{pmatrix}\end{split}\]
    \[\begin{split}\overrightarrow{BA} &= \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} \\ &= \begin{pmatrix} 4\\ -3\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 1\\ -3 - 3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ -6\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

  2. \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)

    \[\begin{split}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} &= \begin{pmatrix} -3\\ 6\\ \end{pmatrix} + \left(\begin{pmatrix} 2\\ 4\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 3\\ \end{pmatrix}\right)\\ &= \begin{pmatrix} -3\\ 6\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -3 + 1\\ 6 + 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 7\\ \end{pmatrix}\end{split}\]
    \[\begin{split}\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA}\\ &= \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4\\ -3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 4\\ 4 - (-3)\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 7\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

Définition

La longueur d'un vecteur \(\vec{v}\) est appelée la norme du vecteur \(\vec{v}\), notée \(\|\vec{v}\|\).

Théorème

Soit \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ \end{pmatrix}\). Dans un repère orthonormé,

\[\| \vec{v} \| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}\]

Exemple 8

Soit le vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -4\\ 7\\ \end{pmatrix}\)

\(\| \vec{v} \| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \simeq 8.1\)

-> exercice 5 et exercice 6

Définition

Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1.

Exemple 9

  1. Soient les vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ \end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2}\\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} = \begin{pmatrix} 3\\ 4\\ \end{pmatrix}\), lesquels sont unitaires?

    \(\vec{u}\) est un vecteur unitaire: \(\| \vec{u} \| = \sqrt{1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1\)

    \(\vec{v}\) est un vecteur unitaire: \(\|\vec{v}\| = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}} = \sqrt{\dfrac{4}{4}} = \sqrt{1} = 1\)

    \(\vec{w}\) n'est pas un vecteur unitaire: \(\|\vec{w}\| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \neq 1\)

  2. Comment rendre \(\vec{w}\) unitaire?

    Il suffit de diviser chacune des composantes par sa norme.

    \(\vec{w}_{\text{unitaire}} = \dfrac{1}{\|\vec{w}\|} \cdot \vec{w}= \dfrac{1}{5} \cdot \begin{pmatrix} 3\\ -4\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5}\\ -\dfrac{4}{5}\\ \end{pmatrix}\)

    Vérification:
    \(\|\vec{w}_{\text{unitaire}}\| = \sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^2 + \left(-\dfrac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}}= \sqrt{1} = 1\)

-> exercice 7 et exercice 8

Définition

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) des vecteurs dans un repère orthonormé du plan et \(\lambda \in \mathbb{R}\).

\[\begin{split}\vec{u} + \vec{v} &= \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1\\ v_2\\ \end{pmatrix} &&= \begin{pmatrix} u_1 + v_1\\ u_2 + v_2\\ \end{pmatrix}\\ \lambda \cdot \vec{u} &= \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1\\ u_2\\ \end{pmatrix} &&= \begin{pmatrix} \lambda u_1\\ \lambda u_2\\ \end{pmatrix}\end{split}\]

Exemple 10

Soient les vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ \end{pmatrix}\).

\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\ -3\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + (-2)\\ -5 + (-3)\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ -8\\ \end{pmatrix}\)

\(-2 \cdot \vec{u} = -2 \cdot \begin{pmatrix} 4\\ -5\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\ 10\\ \end{pmatrix}\)

Propriétés de l'addition vectorielle

Soient \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) des vecteurs.

  1. \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)

  2. \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{u} = \vec{u}\)

  3. \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\)

  4. \(\big( \vec{u} + \vec{v} \big) + \vec{w} = \vec{u} + \big( \vec{v} + \vec{w} \big)\)

Propriétés de la multiplication par un scalaire

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) des vecteurs, \(\lambda\) et \(\mu \in \mathbb{R}\).

  1. \(\lambda \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = \lambda \cdot\vec{u} + \lambda \cdot\vec{v}\)

  2. \((\lambda + \mu) \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \vec{u} + \mu \cdot \vec{u}\)

  3. \(\lambda \cdot (\mu\vec{u}) = (\lambda \mu) \cdot \vec{u}\)

  4. \(1 \cdot \vec{u} = \vec{u} \quad\) et \(\quad(-1) \cdot \vec{u} = -\vec{u}\)

  5. \(\lambda \cdot (-\vec{u}) = (-\lambda) \cdot \vec{u} = -(\lambda \vec{u})\)

  6. \(0 \cdot \vec{u} = \vec{0}\)

  7. \(\lambda \cdot \vec{0} = \vec{0}\)

-> exercice 9, exercice 10 et exercice 11

Exercices#

Exercice 1#

Parmi les vecteurs suivants, lesquels sont colinéaires?

  1. \(\vec{f}=\begin{pmatrix} 1\\ 3\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{g}=\begin{pmatrix} 0\\ -1\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(\vec{h}=\begin{pmatrix} -2\\ 3\\ \end{pmatrix}\)

  4. \(\vec{l}=\begin{pmatrix} 2\\ 6\\ \end{pmatrix}\)

  5. \(\vec{m}=\begin{pmatrix} 6\\ -2\\ \end{pmatrix}\)

  6. \(\vec{n}=\begin{pmatrix} 1\\ -\frac{3}{2}\\ \end{pmatrix}\)

  7. \(\vec{o}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{9}\\ -\frac{1}{3}\\ \end{pmatrix}\)

  8. \(\vec{p}=\begin{pmatrix} 0\\ \frac{2}{3}\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 2#

Calculez les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

  1. \(A(6;-2)\) et \(B(1;5)\)

  2. \(A(2;7)\) et \(B(-3;-3)\)

  3. \(A(-4;1)\) et \(B(5;5)\)

  4. \(A(4.5;6.5)\) et \(B(10.5;5.5)\)

Exercice 3#

Tracez les points \(A(2;-3)\), \(B(1;4)\) et \(C(-1;-2)\) dans un repère orthonormé, puis déterminez les composantes des vecteurs ci-dessous.

  1. \(\overrightarrow{AB}\)

  2. \(\overrightarrow{BC}\)

  3. \(\overrightarrow{CA}\)

  4. \(\overrightarrow{BA}\)

Exercice 4#

Les points \(P\), \(Q\) et \(R\) suivants sont-ils alignés?

  1. \(P(5;2)\), \(Q(6;-3)\) et \(R(7;8)\)

  2. \(P(5;-6)\), \(Q(3;8)\) et \(R(-1;36)\)

Exercice 5#

Soient les points \(A(1;3)\), \(B(-8;12)\) et \(C(1;2)\), déterminez le périmètre du triangle \(ABC\).

Exercice 6#

Vérifiez que le triangle de sommets \(A(3;2)\), \(B(6;-1)\) et \(C\Big(\frac{17}{2}; \frac{9}{2}\Big)\) est isocèle, puis calculez son aire.

Exercice 7#

Montrez que les vecteurs suivants sont unitaires.

  1. \(\begin{pmatrix} \frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\begin{pmatrix} -1\\0\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\ \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 8#

Déterminez les composantes des vecteurs unitaires qui sont colinéaires aux vecteurs suivants.

  1. \(\vec{a}=\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{b}=\begin{pmatrix} -5\\ 0\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(\vec{c}=\begin{pmatrix} 4\\ -3\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 9#

Soient \(\vec{v_1}=\begin{pmatrix} -1\\ 3\\ \end{pmatrix}\), \(\vec{v_2}=\begin{pmatrix} 5\\ 3\\ \end{pmatrix}\), \(\vec{v_3}=\begin{pmatrix} 0\\ -2\\ \end{pmatrix}\) et \(\vec{v_4}=\begin{pmatrix} 3\\ 4\\ \end{pmatrix}\).

Isolez le vecteur \(\vec{v}\) dans les équations suivantes, puis déterminez ses composantes.

  1. \(\vec{v}+2\vec{v_2}-5\vec{v_1}=\vec{0}\)

  2. \(\dfrac{5}{3}\vec{v}+\dfrac{3}{2}\vec{v_4}=\vec{v_3}-2\vec{v_2}\)

Exercice 10#

Dans le parallélépipède rectangle donné, exprimez chaque vecteur ci-dessous comme vecteur entre deux points.

  1. \(\vec{a}= \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{BC}\)

  2. \(\vec{b}= \overrightarrow{HB} - \overrightarrow{FE} - \overrightarrow{AB}\)

  3. \(\vec{c}= \overrightarrow{HC} - \overrightarrow{AC}\)

  4. \(\vec{d}= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{HG} - \overrightarrow{EH}\)

  5. \(\vec{e}= \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{BE}\)

  6. \(\vec{f}= \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BE} - \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{FF}\)

Exercice 11#

Soit \(ABCD\) un carré de 4 cm de côté. Dessinez les points \(E\), \(F\), \(G\) et \(H\) tels que

  1. \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{CD}\)

  2. \(\overrightarrow{BF} = \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{BA} - \overrightarrow{AD}\)

  3. \(\overrightarrow{DG} = 2\cdot\overrightarrow{DC} + \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{CA}\)

  4. \(\overrightarrow{AH} = -\sqrt{2} \cdot \overrightarrow{AC}\)

Solutions#

Exercice 1#

\(\vec{f}\), \(\vec{l}\) et \(\vec{o}\) sont colinéaires; \(\vec{p}\) et \(\vec{g}\) sont colinéaires; \(\vec{h}\) et \(\vec{n}\) sont colinéaires.

Exercice 2#

  1. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -5\\ 7\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} -5\\ -10\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 9\\ 4\\ \end{pmatrix}\)

  4. \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix} 6\\ -1\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 3#

  1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1\\ 7\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} -2\\ -6\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix} 3\\ -1\\ \end{pmatrix}\)

  4. \(\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix} 1\\ -7\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 4#

  1. Non

  2. Oui

Exercice 5#

\(||\overrightarrow{AB}||=9 \sqrt{2}\), \(\quad ||\overrightarrow{BC}||= \sqrt{181}\), \(\quad ||\overrightarrow{AC}||=1\), \(\quad p \approx 27.18\).

Exercice 6#

Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\) et son aire vaut \(12\).

Exercice 7#

Il faut vérifier que la norme du vecteur vaut 1.

Exercice 8#

  1. \(\vec{a'} = \pm \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{b'} = \pm \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ \end{pmatrix}\)

  3. \(\vec{c'} = \pm \begin{pmatrix} \frac{4}{5}\\ -\frac{3}{5}\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 9#

  1. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -15\\ 9\\ \end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -\frac{87}{10}\\ -\frac{42}{5}\\ \end{pmatrix}\)

Exercice 10#

  1. \(\vec{a} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{EG}\)

  2. \(\vec{b} = \overrightarrow{HB}\)

  3. \(\vec{c} = \overrightarrow{HA}\)

  4. \(\vec{d} = \overrightarrow{AB}\)

  5. \(\vec{e} = \overrightarrow{AC}\)

  6. \(\vec{f} = \overrightarrow{DF}\)

Exercice 11#