Géométrie vectorielle

Géométrie vectorielle#

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Question 1 2 3 4 5 Total
Points 4 4 4 4 4 20
Obtenus

Détails des calculs obligatoires. Attention au soin. Calculatrice autorisée.
Réponse sous forme de valeur exacte simplifiée.

Question 1 (4 pts)#

Exprimez, si possible, les vecteurs suivants en fonction des vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\).

../../_images/vecteurs1.png

  1. \(\overrightarrow{AB} = \)

  2. \(\overrightarrow{AC} = \)

  3. \(\overrightarrow{AD} = \)

  4. \(\overrightarrow{EF} = \)

Solution

  1. \(\overrightarrow{AB} = -\vec{u}\)

  2. \(\overrightarrow{AC} = \vec{u} + \vec{v}\)

  3. \(\overrightarrow{AD} = \vec{u} - 2 \vec{w}\)

  4. \(\overrightarrow{EF} = \vec{v} + \vec{w}\)

Question 2 (4 pts)#

En utilisant les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) de l'exercice 1, tracez les vecteurs suivants (sur une feuille quadrillée): {.lower-alpha-paren}

  1. \(\vec{a} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\)

  2. \(\vec{b} = \dfrac{1}{2} \vec{u} - \vec{v}\)

  3. \(\vec{c} = \vec{u} - (\vec{v} - \vec{w})\)

Solution

../../_images/vect-sol.png

Question 3 (4 pts)#

Soient les points \(A(-2; 5)\) et \(B(-1; -3)\).

  1. Calculez les composantes du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

  2. Calculez la norme du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

  3. Calculez le point milieu du vecteur \(\overrightarrow{AB}\).

  4. Transformez le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) en vecteur unitaire.

Solution

  1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 \\-3 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \\5 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\-8 \\ \end{pmatrix}\)

  2. \(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{1^2 + (-8)^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}\)

  3. \(M = \left(\frac{-2 + (-1)}{2} ; \frac{5 + (-3)}{2} \right) = \left(-\frac{3}{2}; 1\right)\)

  4. \(\vec{u} = \dfrac{1}{\sqrt{65}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\-8\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{65}} \\-\frac{8}{\sqrt{65}} \\ \end{pmatrix}\)

Question 4 (4 pts)#

Soient \(\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v_2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v_3} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix}\)

  1. Les vecteurs \(\vec{v_1}\) et \(\vec{v_2}\) sont-ils colinéaires? Justifiez par un calcul.

  2. Trouvez, si possible, \(a\) et \(b\) tel que \(\vec{v_3} = a \vec{v_1} + b \vec{v_2}\). Justifiez.

Solution

  1. \(Det(\vec{v_1}, \vec{v_2}) = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-4) = 2 - 4 = -4 \neq 0\)
    \(\vec{v_1}\) et \(\vec{v_2}\) ne sont pas colinéaires.

  2. De a), nous savons qu'il existe \(a\) et \(b\) tels que \(\begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)
    \(\left\{ \begin{aligned} 7 &= a - b \\ 0 &= -4a + 2b \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} 14 &= 2a - 2b \\ 0 &= -4a + 2b \end{aligned} \right. \implies 14 = -2a \implies a = -7\)
    \(7 = -7 - b \implies b = -14\)
    \(\vec{v_3} = -7\vec{v_1} - 14 \vec{v_2}\)

Question 5 (4 pts)#

Cet exercice doit être résolu par calculs.

Soient les points \(A(-8; 2)\), \(B(-4; 1)\), \(C(-3; 5)\) et \(D(-7; 6)\).

  1. Calculez le périmètre du quadrilatère \(ABCD\).

  2. De quel type est ce quadrilatère (le plus précis possible)? Justifiez.

Solution

  1. \(||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(-4 -(-8))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\)
    \(||\overrightarrow{BC}|| = \sqrt{(-3 -(-4))^2 + (5-1)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\)
    \(||\overrightarrow{CD}|| = \sqrt{(-7 -(-3))^2 + (6-5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17}\)
    \(||\overrightarrow{DA}|| = \sqrt{(-8 -(-7))^2 + (2-6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\)
    Périmètre: \(4 \cdot \sqrt{17} = 4\sqrt{17}\)

  2. De a), nous savons que \(ABCD\) a quatre côtés isométriques, c'est soit un carré, soit un losange. Pour les différencier, il faut calculer la longueur des diagonales (isométriques pour un carré).
    \(||\overrightarrow{AC}|| = \sqrt{(-3 -(-8))^2 + (5-2)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}\)
    \(||\overrightarrow{BD}|| = \sqrt{(-7 -(-4))^2 + (6-1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}\)
    Comme les diagonales sont isométriques, c'est un carré.