Fonctions exponentielles et logarithmes - Partie 2

Fonctions exponentielles et logarithmes - Partie 2#

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Question 1 2 Total
Points 12 6 18
Obtenus

Détails des calculs obligatoires. Attention au soin.
Réponse sous forme de valeur exacte simplifiée.
Calculatrice autorisée.

Formulaires#

Théorème

Règles du calcul des puissances

Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels strictement positifs et \(n\) et \(m\) deux nombres réels.

  • \(a^0 = 1\)

  • \(a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\)

  • \(a^\frac{1}{n} = \sqrt[\leftroot{1}\uproot{2}n]{a}\)

  • \((a^n)^m = a^{nm}\)

  • \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\)

  • \(\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\)

  • \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\)

  • \(\dfrac{a^n}{b^n} = \left( \dfrac{a}{b} \right)^n\)

Théorème

Règles de calcul des logarithmes

Pour \(b\), \(x\), \(y \in \mathbb{R^*_+}\) avec \(b \neq 1\) et \(n \in \mathbb{R}\),

  1. \(\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)\)

  2. \(\log_b(x^n) = n \cdot \log_b(x)\)

  3. \(\log_b\left( \dfrac{x}{y} \right) = \log_b(x) - \log_b(y)\)

  4. \(\log_b\left( \dfrac{1}{y} \right) = - \log_b(y) \quad \quad\) (cas particulier de la formule 3)

Question 1 (12 pts)#

Résolvez les équations suivantes:

  1. \(5^{2-x} = 7^x\)

  2. \(4^x - 3 \cdot 2^x + 2 = 0\)

  3. \(\log_2(6 - x) = \log_2(4x)\)

  4. \(\log(3x - 1) + \log(x) = \log(4)\)

Solution

  1. \(S = \left\{\dfrac{2}{1 + \log_5(7)}\right\}\)

  2. \(S = \{0; 1\}\)

  3. \(D = ]0;6[ \qquad S = \left\{\dfrac{6}{5}\right\}\)

  4. \(D = \left]\dfrac{1}{3};+\infty\right[ \qquad S = \left\{\dfrac{4}{3}\right\}\)

Question 2 (6 pts)#

Une substance active est injectée dans le sang d'un patient. On observe que 4 heures après l'injection, il reste \(144\) mg de la substance, et après 7 heures, il n'en reste plus que \(18\) mg.

La fonction \(Q(t)=Q_0 \cdot b^t\) représente la quantité de substance active présente dans le corps \(t\) heures après l'administration, où \(Q_0\) est la quantité initiale.

  1. Déterminez les valeurs de \(Q_0\) et de \(b\).

  2. Quelle quantité de substance active restera-t-il après une demi-journée (12 heures)?

  3. Après combien de temps ne restera-t-il plus que 10 % de cette substance dans le corps? Répondez en heures, minutes, secondes.

Solution

  1. \(Q(4) = Q_0 \cdot b^4 = 144 \implies Q_0 = \dfrac{144}{b^4}\)
    \(Q(7) = Q_0 \cdot b^7 = 18 \implies Q_0 = \dfrac{18}{b^7}\)
    \(\implies \dfrac{144}{b^4} = \dfrac{18}{b^7} \implies \dfrac{b^7}{b^4} = \dfrac{18}{144} \implies b^3 = \dfrac{1}{8} \implies b = \dfrac{1}{2}\)
    \(Q_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^4 = 144 \implies Q_0 = 16 \cdot 144 = 2304\) mg
    \(Q(t)=2304 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^t\)

  2. \(Q(12)=2304 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{12} = 0.5625\) mg
    Il restera \(0.5625\) mg.

  3. \(Q(t) = \dfrac{10}{100} \cdot Q_0\)
    \(2304 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^t = 0.1 \cdot 2304\)
    \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^t = 0.1\)
    \(\log\left(\left(\dfrac{1}{2}\right)^t \right) = \log(0.1)\)
    \(t \cdot \log\left(\dfrac{1}{2}\right) = \log(0.1)\)
    \(t = \dfrac{\log(0.1)}{\log\left(\dfrac{1}{2}\right)} \simeq 3.3219\,\text{h} \simeq 3\,\text{h}\,19\,\text{min}\,19\,\text{s}\)
    Il ne restera que 10% de la substance active après 3 h 19 min 19 s.

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