Cercle

Cercle#

Équation du cercle#

Définition

Dans un repère orthonormé, le cercle \(\Gamma\) de centre \(C(x_0 ; y_0)\) et de rayon \(r > 0\) est l'ensemble des points \(P(x ; y)\) du plan situés à la distance \(r\) du centre \(C\).

\[P \in \Gamma \iff \| \overrightarrow{CP} \| = r.\]

L'équation cartésienne canonique du cercle est de la forme:

\[\Gamma: (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\]

L'équation développée est de la forme:

\[\Gamma: x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\]

Exemple 29#

Le cercle centré en \(C(1; 2)\) et de rayon \(4\) a pour équation cartésienne canonique

\[(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4^2 \implies (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 16\]

L'équation développée est

\[\begin{split} (x - 1)^2 + (y - 2)^2 &= 16\\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 &= 16\\ x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 &= 0 \end{split}\]

Exemple 30#

Déterminez le centre et le rayon du cercle dont l'équation cartésienne est \(x^2 + y^2 + 6x - 2y + 14 = 0\).

Pour cela, il faut utiliser la complétition du carré.

\[\begin{split} x^2 + y^2 + 6x - 2y + 6 &= 0 \qquad &|& \text{ réarranger}\\ x^2 + 6x + ... + y^2 - 2y + ... + 6 &= 0 \qquad &|& \text{ compléter les carrés}\\ x^2 + 6x + 9 {\color{red} - 9} + y^2 - 2y + 1 {\color{red} - 1} + 6 &= 0\\ (x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 6 &= 0 \qquad &|& \text{ factoriser}\\ (x^2 + 3)^2 - 9 + (y^2 - 1)^2 - 1 + 6 &= 0 \qquad &|& \text{ réduire}\\ (x^2 + 3)^2 + (y^2 - 1)^2 - 4 &= 0 \qquad &|& + 4\\ (x^2 {\color{blue}+ 3})^2 + (y^2 {\color{green}- 1})^2 &= {\color{violet}4} \qquad &|& \text{ pour le rayon prendre la racine} \end{split}\]

Le centre est \(C({\color{blue}-3}; {\color{green}1})\) et le rayon est de \({\color{violet}2}\).

Position relative d'une droit et d'un cercle#

Propriétés

  • Si \(\delta(C,d) < r\), la droite \(d\) coupe le cercle \(\Gamma\) et il y a deux points d'intersection \(I_1\) et \(I_2\).

  • Si \(\delta(C,d) = r\), la droite \(d\) est tangente au cercle \(\Gamma\) en un point de contact qui forme l'unique point d'intersection \(T\).

  • Si \(\delta(C,d) > r\), la droite \(d\) est extérieure au cercle \(\Gamma\), ils n'ont aucun point commun.

\(\delta(C,d) < r\)

\(\delta(C,d) = r\)

\(\delta(C,d) > r\)

Exemple 31#

Soient le cercle d'équation \(\Gamma: (x + 2)^2 + (y - 1) = 16\) et la droite d'équation \(d: x + y -3 = 0\), calculez la distance de la droite \(d\) au centre du cercle \(C\).

Le cercle est de centre \(C(-2; 1)\) et de rayon 4.

\[\begin{split} \delta(C, d) &= \dfrac{|-2 + 1 -3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}}\\ &= \dfrac{|-4|}{\sqrt{2}}\\ &= \dfrac{4}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\ &= \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \simeq 2.83 \end{split}\]

\(\delta(C, d) < 4\), le droite coupe le cercle en deux points.

Exemple 32#

Calculez les points d'intersection du cercle d'équation \(\Gamma: (x + 2)^2 + (y - 1) = 16\) et de la droite d'équation \(d: x - 2y + 8 = 0\).

\[\begin{split} \left\{ \begin{aligned} x + y - 3 &= 0 \\ (x + 2)^2 + (y - 1)^2 &= 16 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{aligned} y &= -x + 3 \\ (x + 2)^2 + (-x + 3 - 1)^2 &= 16 \end{aligned} \right. \end{split}\]
\[\begin{split} (x + 2)^2 + (-x + 3 - 1)^2 &= 16\\ (x + 2)^2 + (-x + 2)^2 &= 16\\ x^2 + 4x + 4 + x^2 - 4x + 4 &= 16\\ 2x^2 + 8 &= 16\\ 2x^2 - 8 &= 0\\ 2(x^2 - 4) &= 0\\ 2(x^2 - 4) &= 0 \implies x_{1,2} = \pm 2 \end{split}\]

\(y_1 = -2 + 3 = 1 \implies I_1(2; 1)\)
\(y_2 = -(-2) + 3 = 5 \implies I_2(-2; 5)\)

Tangente à un cercle#

Définition

L'équation de la tangente au cercle \(\Gamma\) de centre \(C(x_0 ; y_0)\) et de rayon \(r > 0\) au point \(T(x_1; y_1)\) est donnée par

\[(x_1-x_0)(x-x_0) + (y_1-y_0)(y-y_0) = r^2\]

Exemple 33#

Soit le cercle \(\Gamma: (x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 25\), calculez la droite tangente à ce cercle au point \(T({\color{blue}2}; {\color{green}1})\).

Le centre du cercle est \(C(-2; 4)\).

Selon la définition ci-dessus:

\[\begin{split} ({\color{blue}2} - (-2))(x - (-2)) + ({\color{green}1} - 4)(y - 4) &= 25\\ 4(x + 2) - 3(y - 4) &= 25\\ 4x + 8 - 3y + 12 &= 25\\ 4x - 3y - 5 &= 0 \end{split}\]

L'équation de la tangente au cercle au point \(T(2; 1)\) est \(4x - 3y - 5 = 0\).