Géométrie dans le plan 1

Géométrie dans le plan 1#

Nom, prénom:

Note:

Question 1 2 Total
Points 8 10 18
Obtenus

Détails des calculs obligatoires. Attention au soin.
Réponse sous forme de valeur exacte simplifiée.
Calculatrice et formulaires et tables autorisés.

Question 1 (8 pts)#

Soit l'équation cartésienne \(d_1: x + 2y - 9 = 0\).

  1. Déterminez l'équation vectorielle de \(d_1\).

  2. Déterminez l'équation vectorielle de la droite \(d_2\), perpendiculaire à \(d_1\) et qui passe par l'origine.

  3. Vérifiez par un calcul que ces deux droites sont bien perpendiculaires.

  4. Le point \(B(-2, -3)\) appartient-il à la droite \(d_2\)?

  5. Calculez le point d'intersection \(I\) des droites \(d_1\) et \(d_2\).

Solution

  1. \(\vec{d_1} = \begin{pmatrix} -b\\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\) et \(A(0, \dfrac{9}{2}) \in d_1\) (ordonnée à l'origine)
    \(d_1: \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \frac{9}{2} \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix}\) avec \(\lambda \in \mathbb{R}\)

  2. \(d_1\) et \(d_2\) sont perpendiculaires, \(\vec{d_2} = \begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}\)
    \(d_2: \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \mu \cdot \begin{pmatrix} -1\\ -2 \end{pmatrix}\) avec \(\mu \in \mathbb{R}\)

  3. \(\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = -2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) = 2 - 2 = 0\)

  4. \(\left\{ \begin{aligned} -2 &= \lambda \cdot (-1) \\ -3 &= \lambda \cdot (-3) \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left\{ \begin{aligned} \lambda &= 2 \\ \lambda &= 1 \end{aligned} \right.\)
    Le point \(B(-2, -3)\) n'appartient pas à la droite \(d_2\).

  5. \[\begin{split} \left \{ \begin{aligned} 0 - 2\lambda &= -1\mu\\ \frac{9}{2} + \lambda &= -2\mu \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} -2\lambda + \mu &= 0\\ \lambda + 2\mu &= \frac{9}{2} \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} -2\lambda + \mu &= 0\\ 2\lambda + 4\mu &= 9 \end{aligned} \right.\end{split}\]
    \[\begin{split} \Longleftrightarrow \left \{ \begin{aligned} \mu &= 2\lambda\\ 5\mu &= 9 \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow \mu = \frac{9}{5} \quad \text{ et } \quad \lambda = \dfrac{9}{10} \end{split}\]
    \[\begin{split} \left \{ \begin{aligned} x &= -1\mu = -1 \cdot \frac{9}{5} = - \frac{9}{5}\\ y &= -2\mu = -2 \cdot \frac{9}{5} = - \frac{18}{5} \end{aligned} \right. \Longleftrightarrow I(- \frac{9}{5}; - \frac{18}{5}) \end{split}\]

Question 2 (10 pts)#

Soient trois points \(A(6, -10)\), \(B(8, 16)\) et \(C(-2, 6)\).

  1. Déterminez l'angle \(\alpha\) formé par les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

  2. Calculez le périmètre du triangle \(ABC\).

  3. Calculez les coordonnées de la projection de \(B\) sur la droite \(AC\).

  4. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CB}\) sont-ils orthogonaux? Justifiez par un calcul.

Solution

  1. \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 8 - 6\\ 16 - (-10) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 26 \end{pmatrix}\)
    \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -2 - 6\\ 6 - (-10) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8\\ 16 \end{pmatrix}\)

    \[\begin{split} \cos(\alpha) &= \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{||\overrightarrow{AB}|| \cdot ||\overrightarrow{AC}||}\\ &= \dfrac{2 \cdot (-8) + 26 \cdot 16}{\sqrt{2^2 + 26^2} \cdot \sqrt{(-8)^2 + 16^2}}\\ &= \dfrac{-16 + 416}{\sqrt{680} \cdot \sqrt{320}}\\ &= \dfrac{400}{80\sqrt{34}} = \dfrac{5\sqrt{34}}{34} \end{split}\]
    \( \implies \alpha = \cos^{-1}\left(\dfrac{5\sqrt{34}}{34}\right) = 30.96^\circ\)

  2. \(\overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix} 8 - (-2)\\ 16 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ 10 \end{pmatrix}\)
    Périmètre:

    \[\begin{split} P &= ||\overrightarrow{AB}|| + ||\overrightarrow{AC}|| + ||\overrightarrow{CB}||\\ &= \sqrt{2^2 + 26^2} + \sqrt{(-8)^2 + 16^2} + \sqrt{10^2 + 10^1}\\ &= 2\sqrt{170} + 8\sqrt{5} + 10\sqrt{2} \simeq 58.11 \end{split}\]

  3. \(\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix} 8\\ -16 \end{pmatrix}\)

    \[\begin{split} \overrightarrow{CB'} &= \dfrac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{||\overrightarrow{CA}||^2} \cdot \overrightarrow{CA}\\ &= \dfrac{8 \cdot 10 + (-16) \cdot 10}{(\sqrt{8^2 + (-16)^2})^2} \cdot \overrightarrow{CA}\\ &= \dfrac{-80}{320} \cdot \overrightarrow{CA} = -\dfrac{1}{4} \cdot \overrightarrow{CA}\\ &= -\dfrac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 8\\ -16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2\\ 4 \end{pmatrix} \end{split}\]
    \(\overrightarrow{OB'} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CB'} = \begin{pmatrix} -2\\ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4\\ 10 \end{pmatrix}\)
    \(\implies P(-4; 10)\)

  4. \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CB} \quad \iff \quad \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = 0\)
    \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CB} = 2 \cdot 10 + 26 \cdot 10 = 280 \neq 0\)
    Les deux vecteurs ne sont pas orthogonaux.