Produit scalaire et angles de deux vecteurs

Produit scalaire et angles de deux vecteurs#

Angle de deux vecteurs#

Définition

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs dans le plan muni d'une base orthonormée, avec

\[\begin{split}\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}\end{split}\]

Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le nombre réel défini par

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2\]

Théorème

Dans un repère orthonormé,

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = \| \vec{u} \| \cdot \| \vec{v} \| \cdot \cos(\varphi)\]

Exemple 21#

Soient les deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 7\\2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}\).

Déterminez l'angle aigu \(\varphi\) formé par les deux vecteurs.

D'après la définition du produit scalaire:

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 = 7 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 21 + 10 = 31\)

D'après le théorème précédent:

\[\begin{split}\vec{u} \cdot \vec{v} &= \| \vec{u} \| \cdot \| \vec{v} \| \cdot \cos(\varphi) \\ &= \sqrt{7^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 5^2} \cdot \cos(\varphi) \\ &= \sqrt{49 + 4} \cdot \sqrt{9 + 25} \cdot \cos(\varphi) \\ &= \sqrt{53} \cdot \sqrt{34} \cdot \cos(\varphi) \\ &= \sqrt{53 \cdot 34} \cdot \cos(\varphi) \\ &= \sqrt{1802} \cdot \cos(\varphi)\end{split}\]

Des deux égalités ci-dessus, nous déduisons:

\[\begin{split} \sqrt{1802} \cdot \cos(\varphi) &= 31 \\ \cos(\varphi) &= \dfrac{31}{\sqrt{1802}} \\ \varphi &= cos^{-1}\left(\dfrac{31}{\sqrt{1802}}\right) \simeq 43.1^\circ\end{split}\]

Théorème

Dans un repère orthonormé, deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul:

\[\vec{u} \perp \vec{v} \quad \iff \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\]

Exemple 22#

Soient les deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 8\\6 \end{pmatrix}\).

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux, car

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 = -3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 = -24 + 24 = 0\)

Exemple 23#

Soient les deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 5\\-1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2\\z \end{pmatrix}\).

Cherchez \(z\) pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux:

\[\begin{split}\vec{u} \cdot \vec{v} &= 0\\ u_1v_1 + u_2v_2 &= 0 \\ 5 \cdot 2 + (-1) \cdot z &= 0\\ 10 - z &= 0\\ 10 &= z\end{split}\]

Vecteur orthognonal#

Théorème

Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul du plan vectoriel muni d'une base orthonormée, avec \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix}\)

\[\begin{split}\vec{v} \perp \vec{u} \quad \iff \quad \vec{v} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -u_2\\ u_1 \end{pmatrix} \qquad \qquad \text{ avec } \lambda \in \mathbb{R^*}\end{split}\]

Exemple 24#

Soit le vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4\\ -3 \end{pmatrix}\).

Cherchez un vecteur orthogonal à \(\vec{u}\).

D'après le théorème précédent:

\(\vec{v} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -(-3)\\ 4 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}\) avec \(\lambda \in \mathbb{R^*}\)

Avec \(\lambda = 1\), \(\begin{pmatrix}4\\ -3 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}\)

Théorème

Soient deux droites \(d_1\) de pente \(m_1\) et \(d_2\) de pente \(m_2\).

\[d_1 \perp d_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1\]

Projection orthogonale#

Définition

La projection orthogonale d'un point \(P\) sur une droite \(d\) est le point \(P'\) de \(d\) tel que le segment \(PP'\) soit perpendiculaire à \(d\).

Théorème

Dans un repère orthonormé, la projection orthogonale d'un vecteur \(\vec{u}\) sur un autre vecteur \(\vec{v}\) est le vecteur \(\vec{u}'\) donné par

\[\vec{u}' = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\| \vec{v} \|^2} \cdot \vec{v}\]

Exemple 25#

Soient \(A(-3;2)\), \(B(4;-1)\) et \(P(1;5)\) trois points du plan.

Calculez la projection orthogonale \(P'\) de \(P\) sur la droite \(AB\).

Composantes de \(\overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4\\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-(-3)\\ -1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7\\ -3 \end{pmatrix}\)

Composantes de \(\overrightarrow{AP}\):

\(\overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} 1\\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-(-3)\\ 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 3 \end{pmatrix}\)

Calculez \(\overrightarrow{AP'}\) avec le théorème ci-dessus:

\[\begin{split}\overrightarrow{AP'} &= \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}}{\| AP \|^2} \cdot \overrightarrow{AB}\\ &= \dfrac{6 \cdot 1 + 4 \cdot 5}{(\sqrt{6^2 + 4^2})^2} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= \dfrac{6 + 20}{6^2 + 4^2} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= \dfrac{26}{52} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 7\\ -3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{7}{2}\\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix}\end{split}\]

Trouvez les coordonnées de \(P'\):

\(\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP'} = \begin{pmatrix} -3\\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{7}{2}\\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}\)

\(\implies P'(\frac{1}{2};\frac{1}{2})\)