Produit scalaire et angles de deux vecteurs

Produit scalaire et angles de deux vecteurs#

Théorie#

Corrigés détaillés

Angle de deux vecteurs#

Définition

Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs dans le plan muni d'une base orthonormée, avec

\[\begin{split}\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}\end{split}\]

Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le nombre réel défini par

\[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2\]

Exemple 22

Soient les deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 7\\2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}\). Calculez le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 = 7 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 21 + 10 = 31\)

Théorème

Dans un repère orthonormé,

\[\cos(\varphi) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\| \vec{u} \| \cdot \| \vec{v} \|}\]

Démonstration

Théorème du Cosinus dans le triangle \(OAB\):

\(\|\overrightarrow{AB}\|^2 = \|\overrightarrow{OA}\|^2 + \|\overrightarrow{OB}\|^2 - 2 \cdot \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\| \cdot \cos(\varphi)\)

\[\begin{split}\cos(\varphi) &= \dfrac{\|\overrightarrow{OA}\|^2 + \|\overrightarrow{OB}\|^2 - \|\overrightarrow{AB}\|}{2 \cdot \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\|}\\ &= \dfrac{\left(\sqrt{a_1^2 + a_2^2}\right)^2 + \left(\sqrt{b_1^2 + b_2^2}\right)^2 - \left(\sqrt{(b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2}\right)^2}{2 \cdot \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\|}\\ &= \dfrac{a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - ((b_1-a_1)^2 + (b_2-a_2)^2)}{2 \cdot \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\|}\\ &= \dfrac{a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - (b_1^2 - 2a_1b_1 + a_1^2 + b_2^2 - 2a_2b_2 + a_2^2)}{2 \cdot \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\|}\\ &= \dfrac{a_1^2 + a_2^2 + b_1^2 + b_2^2 - b_1^2 + 2a_1b_1 - a_1^2 - b_2^2 + 2a_2b_2 - a_2^2}{2 \cdot \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\|}\\ &= \dfrac{2a_1b_1 + 2a_2b_2}{2 \cdot \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\|}\\ &= \dfrac{2(a_1b_1 + a_2b_2)}{2 \cdot \|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\|}\\ &= \dfrac{a_1b_1 + a_2b_2}{\|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\|}\\ &= \dfrac{\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}}{\|\overrightarrow{OA}\| \cdot \|\overrightarrow{OB}\|}\\\end{split}\]

Exemple 23

Soient les deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 7\\2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3\\ 5 \end{pmatrix}\).

Déterminez l'angle aigu \(\varphi\) formé par les deux vecteurs.

D'après le théorème précédent:

\[\begin{split}\cos(\varphi) &= \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\| \vec{u} \| \cdot \| \vec{v} \|}\\ &= \dfrac{7 \cdot 3 + 2 \cdot 5}{\sqrt{7^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 5^2}}\\ &= \dfrac{21 + 10}{\sqrt{49 + 4} \cdot \sqrt{9 + 25}}\\ &= \dfrac{31}{\sqrt{53} \cdot \sqrt{34}}\\ &= \dfrac{31}{\sqrt{53 \cdot 34}}\\ &= \dfrac{31}{\sqrt{1802}}\\ \varphi &= \cos^{-1}\left(\dfrac{31}{\sqrt{1802}}\right) \simeq 43.1^\circ\end{split}\]

-> exercice 1, exercice 2 et exercice 3.

Vecteur orthogonal#

Théorème

Dans un repère orthonormé, deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul:

\[\vec{u} \perp \vec{v} \quad \iff \quad \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\]

Exemple 24

Soient les deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -3\\4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 8\\6 \end{pmatrix}\).

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux, car

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 = -3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 = -24 + 24 = 0\)

Exemple 25

Soient les deux vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 5\\-1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 2\\z \end{pmatrix}\).

Cherchez \(z\) pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux:

\[\begin{split}\vec{u} \cdot \vec{v} &= 0\\ u_1v_1 + u_2v_2 &= 0 \\ 5 \cdot 2 + (-1) \cdot z &= 0\\ 10 - z &= 0\\ 10 &= z\end{split}\]

-> exercice 4 et exercice 5.

Théorème

Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul du plan vectoriel muni d'une base orthonormée, avec \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix}\)

\[\begin{split}\vec{v} \perp \vec{u} \quad \iff \quad \vec{v} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -u_2\\ u_1 \end{pmatrix} \qquad \qquad \text{ avec } \lambda \in \mathbb{R^*}\end{split}\]

Démonstration

  1. Montrons \(\vec{v} \perp \vec{u} \implies \vec{v} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -u_2\\ u_1 \end{pmatrix}\):

    \[\begin{split}\vec{v} \perp \vec{u} \quad &\implies \quad \vec{v} \cdot \vec{u} = 0 \\ &\implies \quad v_1u_1 + v_2u_2 = 0 \\ &\implies \quad v_1u_1 = -v_2u_2 \quad (1)\\ &\implies \quad v_1 = -\dfrac{v_2u_2}{u_1} = \dfrac{v_2}{u_1} \cdot (-u_2) \text{ et } v_2 = - \dfrac{v_1u_1}{u_2} = - \dfrac{v_1}{u_2} \cdot u_1 \\ &\implies \quad \text{De (1), } \dfrac{v_2}{u_1} = - \dfrac{v_1}{u_2} = \lambda \\ &\implies \quad v_1 = \lambda \cdot (-u_2) \text{ et } v_2 = \lambda \cdot u_1 \\ &\implies \quad \vec{v} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -u_2\\ u_1 \end{pmatrix}\end{split}\]

  2. Montrons \(\vec{v} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -u_2\\ u_1 \end{pmatrix} \implies \vec{v} \perp \vec{u}\):

    \[\begin{split}\vec{v} \cdot \vec{u} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -u_2\\ u_1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \end{pmatrix} = \lambda (-u_2u_1 + u_1u_2) = \lambda \cdot 0 = 0 \\\end{split}\]

    \(\implies \vec{v} \perp \vec{u}\)

Exemple 26

Soit le vecteur \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4\\ -3 \end{pmatrix}\).

Cherchez un vecteur orthogonal à \(\vec{u}\).

D'après le théorème précédent:

\(\vec{v} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} -(-3)\\ 4 \end{pmatrix} = \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}\) avec \(\lambda \in \mathbb{R^*}\)

Avec \(\lambda = 1\), \(\begin{pmatrix}4\\ -3 \end{pmatrix} \perp \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}\)

-> exercice 6.

Théorème

Soient deux droites \(d_1\) de pente \(m_1\) et \(d_2\) de pente \(m_2\).

\[d_1 \perp d_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1\]

Démonstration

  1. Montrons \(d_1 \perp d_2 \implies m_1 \cdot m_2 = -1\):

    Soit \(d_1 = \begin{pmatrix}x_1\\ y_1 \end{pmatrix}\)

    \[\begin{split}d_1 \perp d_2 \quad &\implies \vec{d_2} = \begin{pmatrix}-y_1\\ x_1 \end{pmatrix}\\ &\implies m_1 = \dfrac{y_1}{x_1} \text{ et } m_2 = \dfrac{x_1}{-y_1} = -\dfrac{x_1}{y_1}\\ &\implies m_1 \cdot m_2 = \dfrac{y_1}{x_1} \cdot \left(-\dfrac{x_1}{y_1}\right) = -1\end{split}\]

  2. Montrons \(m_1 \cdot m_2 = -1 \implies d_1 \perp d_2\):

    \[\begin{split}m_1 \cdot m_2 = -1 &\implies m_2 = -\dfrac{1}{m_1} = -\dfrac{1}{\dfrac{y_1}{x_1}} = -1 : \dfrac{y_1}{x_1} = -1 \cdot \dfrac{x_1}{y_1} = -\dfrac{x_1}{y_1}\\ &\implies \vec{d_2} = \begin{pmatrix}-y_1\\ x_1 \end{pmatrix}\\ &\implies d_1 \perp d_2\end{split}\]

Projection orthogonale#

Définition

La projection orthogonale d'un point \(P\) sur une droite \(d\) est le point \(P'\) de \(d\) tel que le segment \(PP'\) soit perpendiculaire à \(d\).

Théorème

Dans un repère orthonormé, la projection orthogonale d'un vecteur \(\vec{u}\) sur un autre vecteur \(\vec{v}\) est le vecteur \(\vec{u}'\) donné par

\[\vec{u}' = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\| \vec{v} \|^2} \cdot \vec{v}\]

Démonstration

Supposons que \(\varphi < 90^\circ\).

Par définition:

\[\begin{split}\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos(\varphi)\\ \implies \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \|\vec{u}\| \cdot \cos(\varphi) \quad (1)\end{split}\]

Trigonomie dans le triangle rectangle:

\[\cos(\varphi) = \dfrac{\|\vec{u}'\|}{\|\vec{u}\|} \implies \|\vec{u}'\| = \|\vec{u}\| \cdot \cos(\varphi) \quad (2)\]

Des équations (1) et (2), nous obtenons \(\|\vec{u}'\| = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}\)

\(\vec{v}\) n'est pas forcément unitaire \(\vec{v}_{unitaire} = \dfrac{1}{\|\vec{v}\|} \cdot \vec{v}\)

Par construction, \(\vec{u}'\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (ils ont la même direction) et donc:

\[\vec{u}' = \|\vec{u}'\| \cdot \vec{v}_{unitaire} = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|} \cdot \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\| \vec{v} \|^2} \cdot \vec{v}\]

Exemple 27

Soient \(A(-2;1)\), \(B(4;5)\) et \(P(-1;6)\) trois points du plan.

Calculez la projection orthogonale \(P'\) de \(P\) sur la droite \(AB\).

Composantes de \(\overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4\\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4-(-2)\\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix}\)

Composantes de \(\overrightarrow{AP}\):

\(\overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} -1\\ 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1-(-2)\\ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 5 \end{pmatrix}\)

Calculez \(\overrightarrow{AP'}\) avec le théorème ci-dessus:

\[\begin{split}\overrightarrow{AP'} &= \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AP}}{\| \overrightarrow{AB}\|^2} \cdot \overrightarrow{AB}\\ &= \dfrac{1 \cdot 6 + 5 \cdot 4}{(\sqrt{6^2 + 4^2})^2} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= \dfrac{6 + 20}{36 + 12} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= \dfrac{26}{52} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB} \\ &= \dfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix}\end{split}\]

Trouvez les coordonnées de \(P'\):

\(\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP'} = \begin{pmatrix} -2\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix}\)

\(\implies P'(1;3)\)

-> exercice 7, exercice 8 et exercice 9.

Exercices#

Exercice 1#

Calculez le produit scalaire \(\vec{v} \cdot \vec{w}\) et l'angle \(\varphi\) des vecteurs \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) avec

  1. \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{w}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{w}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)

  3. \(\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{w}=\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}\)

  4. \(\vec{v}=\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{w}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)

  5. \(\vec{v}=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\) et \(\vec{w}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)

Exercice 2#

Déterminez les angles du triangle \(ABC\): \(A(2;-2)\), \(B(4;2)\), \(C(-2;5)\).

Exercice 3#

Quels sont les angles engendrés par le vecteur \(\vec{v} =\begin{pmatrix}4\\-2\end{pmatrix}\) et les axes \(Ox\) et \(Oy\)?

Exercice 4#

Calculez la valeur de \(m\) pour que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) soient orthogonaux.

  1. \(\vec{u} = \begin{pmatrix}-5\\6\end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix}m\\2\end{pmatrix}\)

  2. \(\vec{u} = \begin{pmatrix}m-6\\4m\end{pmatrix}\), \(\vec{v} = \begin{pmatrix}2\\3m-1\end{pmatrix}\)

Exercice 5#

Soient les points \(A(2;3)\), \(B(7;0)\), \(C(11.5;7.5)\) et \(D(6.5;10.5)\). Montrez que le polygone \(ABCD\) est un rectangle.

Exercice 6#

Déterminez les composantes des vecteurs \(\vec{v}\) de norme \(\dfrac{13}{2}\) et orthogonal à \(\vec{u} = \begin{pmatrix}5\\-12\end{pmatrix}\).

Exercice 7#

Soient les points \(A\), \(B\) et \(P\), calculez la projection orthogonale \(P'\) du point \(P\) sur la droite \(d\) passant par \(A\) et \(B\), puis déterminez le point \(P''\) symétrique du point \(P\) par rapport à la droite \(d\).

  1. \(A(1;3)\), \(B(5;-1)\) et \(P(2;6)\)

  2. \(A(1;2)\), \(B(3;6)\) et \(P(2;1)\)

  3. \(A(10;-2)\), \(B(3;5)\) et \(P(-4;3)\)

Exercice 8#

Déterminez l'aire du triangle \(ABC\).

  1. \(A(3;-2)\), \(B(-1;2)\) et \(C(7;5)\)

  2. \(A\left(\dfrac{9}{2};3\right)\), \(B\left(6;\dfrac{21}{2}\right)\) et \(C\left(12;\dfrac{33}{2}\right)\)

Exercice 9#

Dans le plan, soient l'équation d'une droite \(d\) et un point\(P\) donnés. Calculez une équation cartésienne de la droite \(d'\) perpendiculaire à \(d\) et passant par \(P\).

  1. \(d: 3x + 2y - 1 = 0\); \(P(4;2)\)

  2. \(d: y = -2x + 4\); \(P(7;2)\)

  3. \(d: x = 2\); \(P(-1;1)\)

  4. \(d: y = 3x - 8\); \(P(6;-7)\)

Solutions#

Exercice 1#

  1. \(\vec{v}\cdot\vec{w}=0\) et \(\varphi= 90^\circ\)

  2. \(\vec{v}\cdot\vec{w}=4\) et \(\varphi= 36.87^\circ\)

  3. \(\vec{v}\cdot\vec{w}=7\) et \(\varphi= 8.13^\circ\)

  4. \(\vec{v}\cdot\vec{w}=6\) et \(\varphi= 18.43^\circ\)

  5. \(\vec{v}\cdot\vec{w}=-1\) et \(\varphi= 98.13^\circ\)

Exercice 2#

\(\alpha = 56.31^\circ\), \(\beta = 90^\circ\) et \(\gamma = 33.69^\circ\)

Exercice 3#

\(\varphi_x = 26.57^\circ\), \(\varphi_y = 63.43^\circ\).

Exercice 4#

  1. \(m = \dfrac{12}{5}\)

  2. \(m_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{145}}{12}\)

Exercice 5#

Il suffit de montrer que \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\) et que l'un des angles vaut \(90^\circ\).

Exercice 6#

\(\vec{v}= \pm\begin{pmatrix}6\\ \frac{5}{2}\end{pmatrix}\)

Exercice 7#

  1. \(P'(0;4)\), \(P''(-2;2)\)

  2. \(P'(\frac{4}{5};\frac{8}{5})\), \(P''(-\frac{2}{5};\frac{11}{5})\)

  3. \(P'(\frac{1}{2};\frac{15}{2})\), \(P''(5;12)\)

Exercice 8#

  1. \(22\)

  2. \(18\)

Exercice 9#

  1. \(d': 2x - 3y - 2 = 0\)

  2. \(d': x - 2y - 3 = 0\)

  3. \(d': y = 1\)

  4. \(d': x + 3y + 15 = 0\)