Indicateurs de position

Indicateurs de position#

Indicateurs de tendance centrale#

Moyenne#

Définition

La moyenne d'un échantillon de taille \(N\) avec \(k\) modalités est définie par

\[\overline{x} = \dfrac{n_1x_1 + n_2x_2 + \cdots + n_kx_k}{N} = \dfrac{\displaystyle{\sum_{i=1}^k n_i x_i}}{N}\]

Médiane#

Définition

La médiane d'un échantillon dont les valeurs sont rangées par ordre croissant est la valeur qui partage l'échantillon en deux groupes de même effectif. Elle est notée \(\tilde{x}\).

Soit \(N\) la taille de l'échantillon:

  • si \(N\) est impair, \(\tilde{x} = x_{\frac{N+1}{2}}\)

  • si \(N\) est pair, \(\tilde{x} = \dfrac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2}+1}}{2} \quad\) (moyenne des valeurs centrales)

La médiane sépare la population en deux groupes: \(50\%\) de la population est au-dessous de la médiane et \(50\%\) en dessus.

Exemple 9

Reprenons l'exemple 7 qui est celui d'une variable statistique discrète.

Voici les notes obtenues à l'examen écrit de maturité en mathématiques.

\[\begin{split}\begin{array} {cccccccccc} \hline 3 & 4.5 & 4 & 3.5 & 5 & 6 & 6 & 4 & 4.5 & 5 \\ 5 & 4 & 4.5 & 5.5 & 5 & 6 & 5.5 & 4.5 & 2 & 4.5 \\ 5.5 & 4 & 4 & 4 & 4.5 & 5.5 & 4 & 5 & 3 & 5 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

  1. En utilisant les données brutes ci-dessus, le calcul de la moyenne et la médiane sont les suivants:

    Moyenne:

    \[\begin{split}\overline{x} &= \dfrac{3+4.5+4+3.5+5+6+6+4+4.5+5+5+4+4.5+5.5+5+6+5.5+4.5+2+4.5+ 5.5+4+4+4+4.5+5.5+4+5+3+5}{30}\\ &= \dfrac{136.5}{30} = 4.55\end{split}\]

    Pour déterminer la médiane, il faut

    • ordonner l'échantillon

    • trouver la valeur qui se trouve au milieu de l'échantillon. Soit \(N\) la taille de l'échantillon:

      • si \(N\) est impair, \(\tilde{x} = x_{\frac{N+1}{2}}\)

      • si \(N\) est pair, \(\tilde{x} = \dfrac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2}+1}}{2}\)

    \[\begin{split}\begin{array} {cccccccccc} \hline 2 & 3 & 3 & 3.5 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4.5 & 4.5 & 4.5 & {\color{red}4.5} & {\color{red}4.5} & 4.5 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 5.5 & 5.5 & 5.5 & 5.5 & 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

    \(N = 30 \implies \tilde{x} = \dfrac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2}+1}}{2} = \dfrac{x_{15} + x_{16}}{2} = \dfrac{4.5 + 4.5}{2} =4.5\)

    Le tableau des effectifs \(n_i\), des fréquences \(f_i\) et des fréquences cumulées \(F_i\) est le suivant.

  2. En utilisant les données représentées dans le tableau des effectifs cumulés.

    \[\begin{split}\begin{array} {cccc} \hline x_i & n_i & f_i & F_i \\ \hline 2 & 1 & 0.033 & 0.033\\ 2.5 & 0 & 0 & 0.033 \\ 3 & 2 & 0.067 & 0.1 \\ 3.5 & 1 & 0.033 & 0.133 \\ 4 & 7 & 0.233 & 0.367 \\ \rowcolor{red}4.5 & 6 & 0.2 & 0.567 \\ 5 & 6 & 0.2 & 0.767 \\ 5.5 & 4 & 0.133 & 0.9 \\ 6 & 3 & 0.1 & 1 \\ \hline \text{Total} & 30 & 1 & \\ \hline \end{array}\end{split}\]

    Moyenne:

    \[\begin{split}\overline{x} &= \dfrac{2 \cdot 1 + 2.5 \cdot 0 + 3 \cdot 2 + 3.5 \cdot 1 + 4 \cdot 7 + 4.5 \cdot 6 + 5 \cdot 6 + 5.5 \cdot 4 + 6 \cdot 3}{30}\\ &= \dfrac{136.5}{30} = 4.55\end{split}\]

    Pour déterminer la médiane, il faut trouver la première valeur pour laquelle la fréquence cumulée dépasse \(\dfrac{1}{2}\).

    \(F_6 \geq \dfrac{1}{2}\), la médiane vaut \(\tilde{x} = 4.5\).

Dans le cas d'une variable statistique discrète, ces deux méthodes donnent les mêmes résultats.

Pour la représentation graphique, un diagramme en bâtons est utilisé:

Exemple 10

Reprenons l'exemple 8 qui est celui d'une variable statistique continue.

La masse de \(140\) étudiants de sexe masculin a été mesurée. Les données sont les suivantes.

\[\begin{split}\begin{array} {cccccccccccccc} \hline 46 & 49 & 51 & 53 & 55 & 55 & 55 & 57 & 58 & 58 & 58 & 60 & 60 & 60 \\ 60 & 60 & 61 & 61 & 61 & 61 & 61 & 61 & 61 & 61 & 61 & 61 & 61 & 61 \\ 62 & 62 & 62 & 62 & 62 & 63 & 63 & 63 & 63 & 63 & 63 & 64 & 64 & 64 \\ 64 & 64 & 64 & 65 & 65 & 65 & 65 & 65 & 65 & 65 & 65 & 65 & 66 & 66 \\ 66 & 66 & 66 & 66 & 66 & 67 & 67 & 67 & 67 & 67 & 67 & 67 & 67 & \cellcolor{red}67 \\ \cellcolor{red}67 & 67 & 67 & 67 & 67 & 67 & 68 & 68 & 68 & 68 & 68 & 68 & 68 & 68 \\ 68 & 68 & 68 & 68 & 68 & 69 & 69 & 69 & 69 & 70 & 70 & 70 & 70 & 70 \\ 70 & 70 & 71 & 71 & 71 & 71 & 72 & 72 & 72 & 72 & 72 & 72 & 72 & 73 \\ 73 & 73 & 73 & 73 & 73 & 73 & 74 & 74 & 75 & 75 & 75 & 76 & 76 & 77 \\ 77 & 78 & 78 & 79 & 79 & 79 & 79 & 81 & 83 & 83 & 85 & 86 & 88 & 89 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Le calcul de la moyenne et la médiane sont les suivants:

Moyenne:

\[\begin{split}\overline{x} &= \dfrac{46+49+51+53+55+55+55+57+58+58+58+60+60+60+60+60+61+61+61+61+61+61+61+61+61+61+61+61+ 62+62+62+62+62+63+63+63+63+63+63+64+64+64+64+64+64+65+65+65+65+65+65+65+65+65+66+66+ 66+66+66+66+66+67+67+67+67+67+67+67+67+67+67+67+67+67+67+67+68+68+68+68+68+68+68+68+ 68+68+68+68+68+69+69+69+69+70+70+70+70+70+70+70+71+71+71+71+72+72+72+72+72+72+72+73+ 73+73+73+73+73+73+74+74+75+75+75+76+76+77+77+78+78+79+79+79+79+81+83+83+85+86+88+89}{140}\\ &= \dfrac{9446}{140} = 67.47\end{split}\]

Comme les données de l'échantillon sont notées dans l'ordre croissant, la médiane est la valeur qui se trouve exactement au milieu. Ici il y a un nombre pair de données (140), le milieu de l'échantillon se trouve donc entre deux valeurs, il faut donc faire la moyenne de ces deux valeurs.

Médiane:

\(N = 140 \implies \tilde{x} = \dfrac{x_{\frac{N}{2}} + x_{\frac{N}{2}+1}}{2} = \dfrac{x_{70} + x_{71}}{2} = \dfrac{67 + 67}{2}=67\).

Pour la représentation graphique, un histogramme est utilisé avec des classes de largeur 5:

Comparaison des indicateurs de tendance centrale#

Moyenne:

  • L'indicateur de tendance centrale le plus connu.

  • La plus coûteuse à calculer, même si la formule est simple à exprimer.

  • Très influencée par les valeurs extrêmes ou aberrantes.

  • Peu influencée par le choix des classes.

  • Très stable, c'est-à-dire qu'elle varie peu selon l'échantillon choisi de la population.

  • L'indicateur de tendance centrale le plus utilisé.

Médiane:

  • Issue d'une conception simple de la notion de centre.

  • Détermination un peu plus compliquée.

  • Peu influencée par les valeurs extrêmes ou aberrantes de la distribution.

  • Peu influencée par le choix des classes.

  • Assez stable, mais moins que la moyenne arithmétique.

  • Moins utilisée que la moyenne.

Quantiles#

Définition

Les quantiles sont les valeurs qui divisent une variable statistique en intervalles de mêmes fréquences.

Si \(n\) est le nombre de ces intervalles, l'ordre du quantile est l'inverse \(\dfrac{1}{n}\) de ce nombre.

Le premier quartile, noté \(Q_1\), est la plus petite valeur telle qu'au moins \(25\%\) des valeurs de l'échantillon lui soient inférieures ou égales.

Le troisième quartile, noté \(Q_3\), est la plus petite valeur telle qu'au moins \(75\%\) des valeurs de l'échantillon lui soient inférieures ou égales.

Le deuxième quartile correspond à la médiane.

Le premier décile, noté \(D_1\), est la plus petite valeur telle qu'au moins \(10\%\) des valeurs de l'échantillon lui soient inférieures ou égales.

Exercices#

Exercice 10#

  1. Une entreprise composée de 15 employés paye les salaires suivants:

    \(4\,500\) CHF

    \(1\,000\) CHF

    \(5\,500\) CHF

    \(6\,000\) CHF

    \(4\,500\) CHF

    \(10\,000\) CHF

    \(1\,000\) CHF

    \(6\,000\) CHF

    \(8\,500\) CHF

    \(10\,000\) CHF

    \(5\,500\) CHF

    \(4\,500\) CHF

    \(5\,500\) CHF

    \(7\,500\) CHF

    \(8\,500\) CHF

  2. Une autre entreprise composée de 16 employés paye les salaires suivants:

    \(4\,500\) CHF

    \(1\,000\) CHF

    \(5\,500\) CHF

    \(6\,000\) CHF

    \(4\,500\) CHF

    \(10\,000\) CHF

    \(1\,000\) CHF

    \(6\,000\) CHF

    \(8\,500\) CHF

    \(10\,000\) CHF

    \(5\,500\) CHF

    \(80\,000\) CHF

    \(4\,500\) CHF

    \(5\,500\) CHF

    \(7\,500\) CHF

    \(8\,500\) CHF

Calculez la moyenne et la médiane de ces deux variables statistiques.
Que constatez-vous?

Exercice 11#

Déterminez la moyenne et la médiane de la variable statistique suivante.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccccccc} \hline \text{Modalité} & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 & 12 & 14 & 16 \\ \text{Effectif} & 11 & 9 & 2 & 2 & 3 & 5 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Exercice 12#

Pour chaque élève inscrit dans une école, le nombre de lettres de leur prénom a été déterminé. Les résultats varient entre 3 lettres (Ana, Zoé, Luc,…) et 13 lettres (Paul-Alexandre et Marcia-Andreia).

\[\begin{split}\begin{array} {cccccccccccc} \hline \text{Nombre de lettres} & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\ \text{Effectif} & 10 & 52 & 155 & 198 & 156 & 102 & 45 & 17 & 7 & 2 & 2 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Déterminez la moyenne et la médiane de cette variable statistique.

Exercice 13#

Sur un parking, le pays d'origine de la marque de chaque voiture a été répertorié.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccccc} \hline \text{Pays} & \text{FR} & \text{IT} & \text{JA} & \text{KR} & \text{DE} & \text{US} & \text{Autres} \\ \text{Effectif} & 11 & 4 & 14 & 7 & 20 & 5 & 6 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Déterminez la moyenne et la médiane de cette variable statistique.

Exercice 14#

Voici les notes obtenues à une évaluation par une classe durant l'année 2021-2022.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccccc} \hline 2.5 & 2.5 & 2.5 & 2.5 & 2.5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3.5 & 3.5 & 3.5 \\ 3.5 & 4 & 4.5 & 5 & 5 & 5 & 5.5 \\ 5.5 & 5.5 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

La même année, une autre classe a obtenu les notes suivantes à une évaluation de difficulté comparable.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccccc} \hline 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 5 \\ 5 & 4.5 & 4.5 & 4.5 & 4.5 & 4 & 4 \\ 4 & 3.5 & 3.5 & 3.5 & 3.5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 2.5 & 2.5 & 2.5 & 2.5 & 2.5 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Pour chacune de ces variables statistiques,

  1. Calculez la moyenne et la médiane.

  2. Construisez le tableau de distribution des fréquences cumulées.

  3. Représentez les fréquences au moyen d'un diagramme.

  4. Construisez la représentation graphique des fréquences cumulées.

Exercice 15#

Lors d'une journée sportive, des élèves ont participé à une course de \(800\) m, dont voici les résultats, en secondes.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccccccccccccc} \hline 152 & 153 & 175 & 175 & 175 & 180 & 185 & 185 & 188 & 188 & 190 & 190 & 190 & 191 & 194 \\ 194 & 195 & 197 & 199 & 200 & 200 & 200 & 200 & 208 & 208 & 208 & 210 & 215 & 215 & 215 \\ 215 & 217 & 217 & 217 & 218 & 218 & 218 & 220 & 220 & 222 & 228 & 235 & 245 & 245 & 245 \\ 252 & 253 & 260 & 260 & 260 & 261 & 265 & 265 & 268 & 278 & 292 & 292 & 292 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Calculez les indicateurs de tendance centrale (moyenne et médiane) de cette série statistique

Exercice 16#

En 2007 en Suisse, la taille moyenne des hommes était de \(175.4\) cm et celle des femmes de \(164.0\) cm. En sachant que la population suisse, à cette date, était de \(7\,589\,141\) habitants et que la taille moyenne d'un habitant suisse (femmes et hommes mélangés) était de \(169.6\) cm, déterminez le nombre des femmes qu'il y avait de plus que d'hommes à cette époque.

Exercice 17#

Depuis 1919, le coureur qui mène le Tour de France cycliste au temps porte un maillot distinctif jaune. Le nombre de porteurs différents sur une édition d'un Tour de France varie entre \(1\) (1924, 1928, 1935, 1999 et 2005) et \(8\) coureurs différents (1958 et 1987). Le Tour ne s'est pas disputé entre 1940 et 1946. Déterminez \(C_{57}\), \(D_3\), \(Q_3\), ainsi que la moyenne et la médiane de la distribution ci-dessous.

\[\begin{split}\begin{array} {cccccccc} \hline \text{Porteurs} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \text{Éditions} & 5 & 9 & 20 & 23 & 17 & 13 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Exercice 18#

Voici le nombre \(\pi\) avec ses 59 premières décimales:

\[\pi = 3.1415926535\,8979323846\,2643383279\,5028841971\,6939937510\,582097494\]

Après avoir construit le tableau complet de la distribution, déterminez \(C_{77}\), \(D_2\) et \(Q_2\) ainsi que les indicateurs de tendance centrale.

Solutions#

Exercice 10#

  1. \(\overline{x} = 5\,900\) et \(\tilde{x} = 5\,500\)

  2. \(\overline{x} = 10\,531.25\) et \(\tilde{x} = 5\,750\)

La moyenne est très sensible à la valeur extrême (\(80\,000\)).

Exercice 11#

\(\overline{x} = 5.82\) et \(\tilde{x} = 4\)

Exercice 12#

\(\overline{x} = 6.449\) et \(\tilde{x} = 6\)

Exercice 13#

La moyenne et la médiane n'existent pas dans cette situation.

Exercice 14#

Classe 1:

  1. \(\overline{x} = 4.089\) et \(\tilde{x} = 3.5\)

  2. \[\begin{split}\begin{array} {ccccccc} \hline x_i & 2.5 & 3 & 3.5 & 4 & 4.5 & 5 & 5.5 & 6 \\ F_i & 0.179 & 0.393 & 0.536 & 0.571 & 0.607 & 0.714 & 0.821 & 1 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Classe 2:

  1. \(\overline{x} = 4.089\) et \(\tilde{x} = 4\)

  2. \[\begin{split}\begin{array} {ccccccc} \hline x_i & 2.5 & 3 & 3.5 & 4 & 4.5 & 5 & 5.5 & 6 \\ F_i & 0.179 & 0.321 & 0.464 & 0.571 & 0.714 & 0.786 & 0.786 & 1 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Exercice 15#

\(\overline{x} = 218.16\) et \(\tilde{x} = 215\)

Exercice 16#

Il y avait \(133\,143\) femmes de plus que d'hommes.

Exercice 17#

Il s'agit d'une variable discrète.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccc} \hline x_i & n_i & f_i & F_i \\ \hline 1 & 5 & 0.052 & 0.052 \\ 2 & 9 & 0.093 & 0.144 \\ 3 & 20 & 0.206 & 0.351 \\ 4 & 23 & 0.237 & 0.588 \\ 5 & 17 & 0.175 & 0.763 \\ 6 & 13 & 0.134 & 0.897 \\ 7 & 8 & 0.082 & 0.979 \\ 8 & 2 & 0.021 & 1.000 \\ \hline \text{Total} & 97 & 1 & \\ \hline \end{array}\end{split}\]

\(C_{57} = 4\); \(D_3 = 3\); \(Q_3 = 5\); \(\overline{x} = 4.23\); \(\tilde{x} = 4\).

Exercice 18#

Il s'agit d'une variable discrète.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccc} \hline x_i & n_i & f_i & F_i \\ \hline 0 & 3 & 0.050 & 0.050 \\ 1 & 5 & 0.083 & 0.133 \\ 2 & 6 & 0.100 & 0.233 \\ 3 & 9 & 0.150 & 0.383 \\ 4 & 6 & 0.100 & 0.483 \\ 5 & 6 & 0.100 & 0.583 \\ 6 & 4 & 0.067 & 0.650 \\ 7 & 5 & 0.083 & 0.733 \\ 8 & 6 & 0.100 & 0.833 \\ 9 & 10 & 0.167 & 1.000 \\ \hline \text{Total} & 60 & 1 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

\(C_{77} = 8\); \(D_2 = 2\); \(Q_2 = \tilde{x} = 5\); \(\overline{x} = 4.917\).