Géométrie dans le plan 2

Géométrie dans le plan 2#

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Question 1 2 3 Total
Points 5 5 5 15
Obtenus

Détails des calculs obligatoires. Attention au soin.
Réponse sous forme de valeur exacte simplifiée.
Calculatrice et formulaires et tables autorisés.

Question 1 (5 pts)#

Soient le point \(P(4; -3)\) et une droite dont les équations paramétriques sont \(d: \left\{ \begin{aligned} x &= 2 - 3\lambda \\ y &= 1 + 2\lambda \end{aligned} \right.\)

Calculez la distance du point \(P\) à la droite \(d\). Arrondissez au centième.

Solution

\(d: 2x + 3y - 7 = 0\)

\(\delta(P, d) = \dfrac{|2 \cdot 4 + 3 \cdot (-3) - 7|}{\sqrt{2^2 + 3^3}} = \dfrac{|-8|}{\sqrt{13}} = \dfrac{8\sqrt{13}}{13} \simeq 2.22\)

Question 2 (5 pts)#

Soient les droites \(d_1: y = -\dfrac{4}{3}x + 4\) et \(d_2: \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5\\ 7 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5\\ -12 \end{pmatrix}\) avec \(\lambda \in \mathbb{R^*}\).

Déterminez les équations des bissectrices de \(d_1\) et \(d_2\).

Solution

\(d_1: 4x + 3y - 12 = 0\) et \(d_2: 12x + 5y + 25 = 0\)

\[\begin{split}b1: \dfrac{4x + 3y - 12}{\sqrt{4^2+3^2}} &= \dfrac{12x + 5y + 25}{\sqrt{12^2+5^2}}\\ \dfrac{4x + 3y - 12}{5} &= \dfrac{12x + 5y + 25}{13}\\ 13(4x + 3y - 12) &= 5(12x + 5y + 25)\\ 52x + 39y - 156 &= 60x + 25y + 125\\ -8x + 14y - 281 &= 0\\ 8x - 14y + 281 &= 0\end{split}\]
\[\begin{split}b2: 52x + 39y - 156 &= -(60x + 25y + 125)\\ 52x + 39y - 156 &= -60x - 25y - 125\\ 112x + 64y - 31 &= 0\end{split}\]

Question 3 (5 pts)#

Soient un cercle d'équation \(\Gamma: x^2 + y^2 + 2x - 4y - 8 = 0\), une droite d'équation \(d: x + y = 0\) et un point \(T(2;4)\).

  1. Déterminez le centre et le rayon du cercle.

  2. Déterminez le(s) point(s) d'intersection de la droite \(d\) et du cercle \(\Gamma\).

  3. Montrez que le point \(T\) appartient au cerlce \(\Gamma\).

  4. Déterminez l'équation de la tangente au cercle en \(T\).

Solution

  1. \( \)

    \[\begin{split} x^2 + y^2 + 2x - 4y - 8 &= 0\\ (x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) -4 - 8 &= 0\\ (x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 - 8 &= 0\\ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 13 &= 0\\ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 &= 13\\ \end{split}\]
    Centre: \(C(-1;2)\) Rayon: \(r = \sqrt{13}\)

  2. \( \) \(\left\{ \begin{aligned} x + y &= 0 \\ x^2 + y^2 + 2x - 4y - 8 &= 0 \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} y &= -x \\ x^2 + (-x)^2 + 2x - 4 \cdot (-x) - 8 &= 0 \end{aligned} \right.\)\( \)\(\implies \left\{ \begin{aligned} y &= -x \\ 2x^2 + 6x - 8 &= 0 \end{aligned} \right. \implies \left\{ \begin{aligned} y &= -x \\ 2(x^2 + 3x - 4) &= 0 \end{aligned} \right.\)\( \)\( \implies \left\{ \begin{aligned} y &= -x \\ 2(x + 4)(x -1) &= 0 \end{aligned} \right.\) \(I_1(-4; 4)\) et \(I_2(1; -1)\)

  3. \(2^2 + 4^2 + 2 \cdot 2 - 4 \cdot 4 - 8 = 4 + 16 + 4 - 16 - 8 = 0\)
    L'équation est vérifiée, le point \(T(2; 4)\) appartient bien au cercle.

  4. \( \)

    \[\begin{split}(2 + 1)(x + 1) + (4 - 2)(y - 2) &=13 \\ 3(x + 1) + 2(y - 2) &=13 \\ 3x + 3 + 2y - 4 &=13 \\ 3x + 2y - 14 &= 0 \end{split}\]
    \(t: 3x + 2y - 14 = 0\)