Indicateurs de dispersion

Exemple 11

Bob et Alice comparent les diamètres des arbres sur leur terrain. Ils décident de mesurer en centimètres les diamètres des différents arbres. Bob recueille les données suivantes: \(\left\{ 10, 12, 14, 52, 56, 60 \right\}\) alors qu'Alice obtient \(\left\{ 28, 29, 33, 35, 38, 41 \right\}\).

Les deux ensembles de données ont la même moyenne \( \overline{x} = 34\).

Toutefois les deux populations sont bien différentes, car les données recueillies par Bob sont beaucoup plus dispersées que celles d'Alice.

Définitions

Définition

L'étendue d'une variable statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite modalité.

L'étendue ne tient pas compte de toutes les observations. De plus, elle n'est pas un indicateur robuste, car elle dépend fortement de la présence de valeurs extrêmes.

Définition

L'écart interquartile d'une variable statistique, noté \(EI\), est la différence entre le troisième et le premier quartiles:

\[EI = Q_3 - Q_1\]

L'écart interquartile correspond à l'étendue de la variable statistique après élimination de \(25 \%\) des valeurs les plus petites et de \(25 \%\) des valeurs les plus élevées. Cet indicateur est plus robuste que l'étendue, car il ne contient pas d'éventuelles valeurs extrêmes.

Exemple 12

Reprenons l'exemple 9 du chapitre "Indicateurs de position".

Les notes obtenues à l'examen écrit de maturité en mathématiques ordonnées.

\[\begin{split}\begin{array} {cccccccccc} \hline 2 & 3 & 3 & 3.5 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4.5 & 4.5 & 4.5 & 4.5 & 4.5 & 4.5 & 5 & 5 & 5 \\ 5 & 5 & 5 & 5.5 & 5.5 & 5.5 & 5.5 & 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

La moyenne et la médiane ont déjà été calculées: \(\overline{x} = 4.55\) et \(\tilde{x} = Q_2 = 4.5\).

Reprenons le tableau des effectifs cumulés:

\[\begin{split}\begin{array} {cccc} \hline x_i & n_i & f_i & F_i \\ \hline 2 & 1 & 0.033 & 0.033\\ 2.5 & 0 & 0 & 0.033 \\ 3 & 2 & 0.067 & 0.1 \\ 3.5 & 1 & 0.033 & 0.133 \\ \rowcolor{cyan}4 & 7 & 0.233 & 0.367 \\ 4.5 & 6 & 0.2 & 0.567 \\ \rowcolor{yellow}5 & 6 & 0.2 & 0.767 \\ 5.5 & 4 & 0.133 & 0.9 \\ 6 & 3 & 0.1 & 1 \\ \hline \text{Total} & 30 & 1 & \\ \hline \end{array}\end{split}\]

L'étendue vaut: \(x_9 - x_1 = 6-2 = 4\).

Le premier quartile est la plus petite valeur telle qu'au moins \(25\%\) des valeurs de l'échantillon lui soient inférieures ou égales. Cela correspond à \(Q_1 = x_5 = 4\).

Cela signifie qu'un quart des élèves ont une note inférieure ou égale à 4.

Le troisième quartile est la plus petite valeur telle qu'au moins \(75\%\) des valeurs de l'échantillon lui soient inférieures ou égales. Cela correspond à \(Q_3 = x_7 = 5\).

Cela signifie que trois quarts des élèves ont une note inférieur ou égale à 5.

L'écart interquartile vaut \(EI = Q_3 - Q_1 = 5 - 4 = 1\).

Définition

La boîte à moustaches d'une variable statistique discrète ou continue est un graphique qui représente l'étendue et les différents quartiles: \(Q_0 = 9\), \(Q_1 = 18\), \(Q_2 = 22\), \(Q_3 = 27\) et \(Q_4 = 33\).

Exemple 13

Reprenons l'exemple 12 concernant les notes obtenues à l'examen écrit de maturité en mathématiques.

\(Q_2 = \tilde{x} = 4.5\), \(Q_1 = 4\), \(Q_3 = 5\) (calculés précédemment)

\(Q_0 = 2\) est la note la plus basse obtenue et \(Q_4 = 6\) est la note la plus haute obtenue.

Les quartiles permettent de représenter la boîte à moustache de cet exemple:

Cette représentation montre clairement que 50% des élèves ont une note entre 4 et 5.

Définition

La variance d'une variable statistique, notée \(v\), est la moyenne du carré des écarts à la moyenne.

\[v = \frac{\sum_{i=1}^k n_i (x_i - \overline{x})^2}{N} = \sum_{i=1}^k f_i (x_i - \overline{x})^2\]

Définition

L'écart type d'une variable statistique, noté \(s\), est la racine carrée de sa variance \(v\).

\[s = \sqrt{v}\]

L'écart type mesure l'éloignement des valeurs de l'échantillon par rapport à la moyenne.

Théorème

\[v = \sum_{i=1}^k f_ix_i^2 - \overline{x}^2\]

Exemple 14

Reprenons l'exemple 12 concernant les notes obtenues à l'examen écrit de maturité en mathématiques.

\[\begin{split}\begin{array} {cccc} \hline x_i & n_i & f_i & F_i \\ \hline 2 & 1 & 0.033 & 0.033\\ 2.5 & 0 & 0 & 0.033 \\ 3 & 2 & 0.067 & 0.1 \\ 3.5 & 1 & 0.033 & 0.133 \\ 4 & 7 & 0.233 & 0.367 \\ 4.5 & 6 & 0.2 & 0.567 \\ 5 & 6 & 0.2 & 0.767 \\ 5.5 & 4 & 0.133 & 0.9 \\ 6 & 3 & 0.1 & 1 \\ \hline \text{Total} & 30 & 1 & \\ \hline \end{array}\end{split}\]

La moyenne a déjà été calculée: \(\overline{x} = 4.55\)

Calcul de la variance:

\[\begin{split}v &= 0.033 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2.5^2 + 0.067 \cdot 3^2 + 0.033 \cdot 3.5^2 + 0.233 \cdot 4^2 + 0.2 \cdot 4.5^2 + 0.2 \cdot 5^2 + 0.133 \cdot 5.5^2 + 0.1 \cdot 6^2 - 4.55^2\\ &= 0.86\end{split}\]

Calcul de l'écart type:

\(s = \sqrt{v} = \sqrt{0.86} = 0.93\)

Exercices

Exercice 19

Lors de la Coupe du Monde de football 2022, le nombre buts marqués lors de chaque rencontre a été répertorié.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccccccc} \hline \text{Buts} & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \text{Matchs} & 7 & 10 & 17 & 14 & 4 & 6 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Déterminez l'étendue, l'écart interquartile, la variance et l'écart type de cette variable statistique.

Exercice 20

Reprenez l'exercice 14 du chapitre "Indicateurs de position".

Voici les notes obtenues à une évaluation par une classe durant l'année 2021-2022.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccccc} \hline 2.5 & 2.5 & 2.5 & 2.5 & 2.5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 3 & 3.5 & 3.5 & 3.5 \\ 3.5 & 4 & 4.5 & 5 & 5 & 5 & 5.5 \\ 5.5 & 5.5 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

La même année, une autre classe a obtenu les notes suivantes à une évaluation de difficulté comparable.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccccc} \hline 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 6 & 5 \\ 5 & 4.5 & 4.5 & 4.5 & 4.5 & 4 & 4 \\ 4 & 3.5 & 3.5 & 3.5 & 3.5 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 2.5 & 2.5 & 2.5 & 2.5 & 2.5 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

1. Déterminez l'étendue, l'écart interquartile, la variance et l'écart type de ces deux variables statistiques.

2. Dessinez la boîte à moustache de ces deux variables statistiques.

Exercice 21

Reprenez l'exercice 15 du chapitre "Indicateurs de position".

Lors d'une journée sportive, des élèves ont participé à une course de \(800\) m, dont voici les résultats, en secondes.

\[\begin{split}\begin{array} {ccccccccccccccc} \hline 152 & 153 & 175 & 175 & 175 & 180 & 185 & 185 & 188 & 188 & 190 & 190 & 190 & 191 & 194 \\ 194 & 195 & 197 & 199 & 200 & 200 & 200 & 200 & 208 & 208 & 208 & 210 & 215 & 215 & 215 \\ 215 & 217 & 217 & 217 & 218 & 218 & 218 & 220 & 220 & 222 & 228 & 235 & 245 & 245 & 245 \\ 252 & 253 & 260 & 260 & 260 & 261 & 265 & 265 & 268 & 278 & 292 & 292 & 292 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

Déterminez l'étendue, l'écart interquartile, la variance et l'écart type de cette variable statistique.

Exercice 22

Après une évaluation où la moyenne de classe était mauvaise, bien qu'un élève ait obtenu la note de \(5.5\), un professeur décide d'ajouter un demi-point à la note de chaque élève. Déterminez l'influence de cette opération sur

1. la médiane

2. la moyenne

3. l'étendue

4. l'écart interquartile

5. la variance

6. l'écart type

Exercice 23

1. Une série de données A représente l'âge d'une famille de cinq personnes (2 parents et 3 enfants) et une série B l'âge des étudiants d'une classe du Collège Sainte-Croix. Laquelle de ces deux séries a le plus grand écart type?

2. Un professeur fait passer la même évaluation dans deux de ses classes. Il obtient la même moyenne, mais l'écart type de la classe A est nettement plus grand que celui de la classe B. Laquelle de ces deux classes est la plus homogène?

3. Entre le 1^er février 2022 et le 17 mars de la même année, on a enregistré les précipitations quotidiennes d'une localité. La moyenne est égale à \(0\) mm. Que vaut l'écart type?

4. Au même endroit, on a enregistré les températures moyennes quotidiennes sur les 60 premiers jours de l'année 2022. La moyenne des températures moyennes est égale à \(0\,\celsius\). Que vaut l'écart type?

5. L'âge moyen des joueurs de football présents à la Coupe du monde 1998 était de 27 ans et 8 mois et l'écart type était de 4 ans et 1 mois. Quel était l'âge moyen et l'écart type de ces mêmes joueurs en 2010, en imaginant qu'aucun d'entre eux ne soit décédé.

Exercice 24

L'illustration ci-dessous présente les boîtes à moustaches des salaires payés dans une université.

1. Que vaut le salaire minimal en statistiques?

2. Que vaut le premier quartile en physique?

3. Que vaut le salaire médian en droit?

4. Que vaut le troisième quartile en chimie?

5. Que vaut le salaire maximal en droit?

6. Que vaut le salaire aberrant en histoire?

7. Combien y a-t-il de salariés en histoire?

8. Combien y a-t-il de salariés gagnant moins de \(74\,000\) en anglais?

9. Combien y a-t-il de salariés gagnant plus de \(72\,000\) en mathématiques?

10. Combien y a-t-il de salariés gagnant moins de \(30\,000\) en statistiques?

Exercice 25

À l'aide d'un compteur Geiger, le nombre de désintégrations radioactives d'un échantillon de \(^{226}\text{Ra}\) est mesuré durant une minute. L'expérience est répétée 30 fois. Les résultats sont donnés ci-dessous, triés par ordre croissant.

\[\begin{split}\begin{array} {cccccccccc} \hline 275 & 283 & 284 & 284 & 286 & 287 & 287 & 289 & 292 & 292 \\ 293 & 295 & 296 & 298 & 303 & 303 & 304 & 305 & 309 & 309 \\ 310 & 310 & 313 & 313 & 314 & 315 & 320 & 324 & 329 & 329 \\ \hline \end{array}\end{split}\]

1. Calculez la médiane, le premier quartile, le troisième quartile, le premier décile et le neuvième décile de cette distribution.

2. Déterminez sa moyenne, sa variance et son écart type.

3. Dessinez la boîte à moustache correspondante.

Solutions

Exercice 19

Étendue = \(8\); \(EI = 2\); \(\overline{x} = 2.685\), \(v = 3.53\); \(s = 1.88\)

Exercice 20

1. Classe 1: étendue = \(3.5\); \(EI = 2.5\); \(\overline{x} = 4.09\), \(v = 1.72\); \(s = 1.31\)
   Classe 2: étendue = \(3.5\); \(EI = 2\); \(\overline{x} = 4.09\), \(v = 1.54\); \(s = 1.24\)

Exercice 21

Étendue = \(140\); \(EI = 51\); \(\overline{x} = 218.16\), \(v = 1135.86\); \(s = 33.7\)

Exercice 22

1. La médiane augmente de \(0.5\).

2. La moyenne augmente de \(0.5\).

3. L'étendue reste inchangée.

4. L'écart interquartile reste inchangé.

5. La variance reste inchangée.

6. L'écart type reste inchangé.

Exercice 23

1. La série A, car les âges sont certainement plus dispersés par rapport à la moyenne.

2. La classe B, car les données sont plus proches de la moyenne.

3. L'écart type vaut \(0\) mm, car les modalités ne peuvent pas être négatives.

4. On ne peut rien dire de l'écart type, si ce n'est qu'il est positif ou nul si la température moyenne était chaque jour de \(0\,\celsius\); en effet les modalités peuvent ici être négatives.

5. L'âge moyen a augmenté de 12 ans (39 ans et 8 mois) alors que l'écart type n'a pas changé (4 ans et 1 mois).

Exercice 24

1. \(30\,000\)

2. \(46\,000\)

3. \(55\,000\)

4. \(93\,500\)

5. \(300\,000\)

6. \(170\,000\)

7. \(51\)

8. \(78\)

9. \(49\)

10. \(0\)

Exercice 25

1. \(\tilde{x} = Q_2 = 303\); \(Q_1 = 289\); \(Q_3 = 313\); \(D_1 = 284\); \(D_9 = 320\).

2. \(\overline{x} = 301.7\), \(v = 201.81\); \(s = 14.206\).