Représentation des données#
Introduction#
Définition
Une population est un ensemble fini d'objets appelés individus sur lesquels une étude se porte et dont les éléments répondent à une ou plusieurs caractéristiques communes.
Un échantillon est un sous-ensemble d'une population.
Définition
La taille ou l'effectif d'une population, notée généralement \(N\) (majuscule), est le nombre d'éléments de cette population.
Définition
Une variable statistique est une qualité, un attribut ou une caractéristique que possède chacun des individus observés. Une variable statistique se dénote au moyen d'une lettre majuscule, par exemple \(X\), \(Y\), etc.
Les différents états ou valeurs que peut prendre une variable statistique sont appelés les modalités ou simplement les valeurs de cette variable. Les différentes modalités d'une variable statistique sont notées au moyen de la même lettre que la variable correspondante, mais minuscule, et avec un indice: \(x_1\), \(x_2\), \(\dots{}\), \(x_n\) désignent les \(n\) modalités de la variable \(X\).
Définition
Une variable statistique est quantitative, si ses modalités sont des nombres.
Dans le cas contraire, elle est qualitative.
Définition
Une variable statistique quantitative est discrète ou discontinue si chacune de ses modalités est une valeur isolée, réduite à un seul nombre.
Définition
Une variable statistique quantitative est continue, lorsque l'ensemble ses modalités est un intervalle de l'ensemble des nombres réels.
Variables statistiques discrètes ou qualitatives#
Définition
Soit une variable statistique discrète ou qualitative \(X\). L'effectif d'une modalité \(x_i\) de \(X\) est le nombre d'individus \(n_i\) qui ont cette modalité.
Définition
La fréquence d'une modalité \(x_i\), notée \(f_i\), le rapport de son effectif \(n_i\) avec l'effectif de la population ou de l'échantillon.
Définition
Un diagramme en barres ou à bâtons est un diagramme dans lequel sont représentés les effectifs ou les fréquences des modalités.
Définition
Un diagramme circulaire ou à secteurs est un diagramme dans lequel sont représentés les fréquences des modalités d'une variable statistique.
Définition
La fréquence cumulée d'une modalité d'une variable statistique discrète est la somme des fréquences de cette modalité et des fréquences de toutes les modalités inférieures. La fréquence cumulée de la modalité \(x_i\) est notée \(F_i\).
Définition
Une fonction de répartition est une fonction discontinue, en escalier, qui représente les fréquences cumulées d'une variable statistique discrète.
Variables statistiques continues#
Pour représenter les données de variables statistiques continues avec un histogramme, il faut les regrouper en classes.
Définition
Une classe est un intervalle semi-ouvert de la forme \(\left[b_{i-1} ; b_i \right[\) où \(b_{i-1}\) s'appelle la borne inférieure de cette \(i\)-ème classe et \(b_i\) la borne supérieure.
La largeur, étendue ou amplitude d'une classe est la différence de ses bornes:
Le centre ou milieu d'une classe est la moyenne arithmétique de ses bornes:
Définition
Un histogramme est un diagramme dans lequel sont représentés les effectifs ou les fréquences des classes d'une variable statistique continue.
Exercices#
Exercice 1#
Dans un sondage réalisé auprès de 200 élèves du Collège Sainte-Croix âgés de moins de 18 ans, on a demandé avec quel moyen de transport ils parcouraient le plus de kilomètres pour venir au Collège. 72 ont répondu le train, 45 le bus, 15 la voiture, 31 un 2 roues à moteur, 21 le vélo et 16 aucun (à pied).
Déterminez la population.
Déterminez la variable statistique.
Déterminez l'ensemble des modalités de cette dernière.
Cette variable statistique est-elle qualitative, discrète ou continue?
Exercice 2#
Dans l'entreprise ABO, on a demandé aux employés leur groupe sanguin. Le tableau ci-dessous présente les données récoltées.
Déterminez la population.
Déterminez la variable statistique.
Déterminez l'ensemble des modalités de cette dernière.
Cette variable statistique est-elle qualitative, discrète ou continue?
Exercice 3#
Soit un échantillon de \(n\) oeufs.
Pour chacune des situations suivantes, dire s'il s'agit d'une variable
statistique qualitative, discrète ou continue.
La masse de chaque oeuf est mesurée, arrondie au gramme.
Les oeufs sont classés en trois catégories: les grands, les moyens et les petits.
Les oeufs sont classés en trois catégories:
ceux dont la masse est inférieure à \(53\) g;
parmi les restants, ceux dont la masse est inférieure à \(63\) g;
les autres.
Les oeufs sont classés en trois catégories:
classe C = ceux dont la masse appartient à l'intervalle \(\left[ 33 \text{ g}; 53\text{ g} \right[\);
classe B = ceux dont la masse appartient à l'intervalle \(\left[ 53\text{ g}; 63\text{ g} \right[\);
classe A = ceux dont la masse appartient à l'intervalle \(\left[ 63\text{ g}; 83\text{ g} \right[\).
Exercice 4#
Soit l'ensemble de toutes les personnes qui ont obtenu la maturité au Collège
Sainte-Croix.
Pour chacune des situations suivantes, dire s'il s'agit d'une variable
statistique qualitative, discrète ou continue.
L'année de naissance de chaque élève qui a obtenu la maturité est analysée.
L'âge auquel chaque élève a obtenu la maturité est analysé.
L'année où chaque élève a obtenu la maturité est analysé.
La mention obtenue par chaque élève à sa maturité est analysé.
La note moyenne obtenue par chaque élève à sa maturité est analysée.
La note moyenne obtenue par chaque élève à sa maturité est analysée. Elles sont groupées par intervalle: \(\left[4;4.5 \right[\), \(\left[4.5;5 \right[\), \(\left[5;5.5 \right[\) et \(\left[5.5;6 \right[\).
Exercice 5#
Reprenez la donnée de l'exercice 1.
Calculez la fréquence de chaque modalité et établissez de tableau des fréquences.
Représentez les effectifs dans un diagramme à barres.
Construisez un diagramme circulaire de la situation.
Exercice 6#
Reprenez la donnée de l'exercice 2.
Calculez l'effectif de chaque modalité et établissez le tableau des fréquences.
Représentez les effectifs dans un diagramme à barres.
Exercice 7#
Voici les notes de la dernière évaluation de mathématiques de la classe 3F8 de Sainte-Croix en 2021-2022.
Déterminez la population.
Déterminez la variable statistique.
Est-elle continue ou discrète?
Calculez l'effectif de chaque modalité et établissez le tableau des fréquences et fréquences cumulées.
Construisez la représentation graphique des fréquences cumulées.
Exercice 8#
Un groupe d'élèves sont classés selon la pointure de leurs pieds.
Déterminez la population.
Déterminez la variable statistique.
Est-elle continue ou discrète?
Établissez le tableau des fréquences et fréquences cumulées.
Représentez les fréquences au moyen d'un diagramme.
Construisez la représentation graphique des fréquences cumulées.
Exercice 9#
Lors d'un festival de cinéma, les films ont été classés selon leur durée en minutes.
Déterminez la population.
Déterminez la variable statistique.
Est-elle continue ou discrète?
Construisez le tableau de distribution des fréquences de cette variables en choisissant de regrouper les valeurs avec des classes de largeur \(10\) en partant de \(60\) min.
Représentez les fréquences au moyen d'un diagramme.
Solutions#
Exercice 1#
200 élèves du Collège Sainte-Croix âgés de moins de 18 ans
Le moyen de transport avec lequel l'élève parcourt le plus de kilomètres
\(\{ \text{train}, \text{bus}, \text{voiture}, \text{2 roues à moteur}, \text{vélo}, \text{aucun} \}\)
Qualitative
Exercice 2#
Les 60 employés de l'entreprise ABO
Leur groupe sanguin
\(\{ \text{A} ; \text{B} ; \text{AB} ; \text{O} \}\)
Qualitative
Exercice 3#
Discrète
Qualitative
Continue
Continue
Exercice 4#
Discrète
Continue
Discrète
Qualitative
Discrète
Continue
Exercice 5#
- \[\begin{split}\begin{array} {cccc} \hline x_i & n_i & f_i & \varphi \\ \hline \text{Train} & 72 & 0.36 & 129.6^\circ \\ \text{Bus} & 45 & 0.225 & 81^\circ \\ \text{Voiture} & 15 & 0.075 & 27^\circ \\ \text{2 roues} & 31 & 0.155 & 55.8^\circ \\ \text{Vélo} & 21 & 0.105 & 37.8^\circ \\ \text{Aucun} & 16 & 0.08 & 28.8^\circ \\ \hline \text{Total} & 200 & 1 & 360^\circ\\ \hline \end{array}\end{split}\]
Exercice 6#
- \[\begin{split}\begin{array} {ccc} \hline x_i & n_i & f_i \\ \hline \text{A} & 24 & 0.40 \\ \text{B} & 8 & 0.133 \\ \text{AB} & 6 & 0.1 \\ \text{O} & 22 & 0.367 \\ \hline \text{Total} & 60 & 1 \\ \hline \end{array}\end{split}\]
Exercice 7#
Les élèves de la classe 3F8 de l'année 2021-2022.
La note de ces élèves lors de la dernière évaluation de mathématiques.
Discrète, car les notes sont arrondies à la demie.
- \[\begin{split}\begin{array} {cccc} \hline x_i & n_i & f_i & F_i \\ \hline 2 & 1 & 0.033 & 0.033 \\ 2.5 & 2 & 0.067 & 0.1 \\ 3 & 5 & 0.167 & 0.267 \\ 3.5 & 2 & 0.067 & 0.333 \\ 4 & 6 & 0.2 & 0.533 \\ 4.5 & 3 & 0.1 & 0.633 \\ 5 & 6 & 0.2 & 0.833 \\ 5.5 & 2 & 0.067 & 0.9 \\ 6 & 3 & 0.1 & 1 \\ \hline \text{Total} & 30 & 1 & \\ \hline \end{array}\end{split}\]
Exercice 8#
Un groupe d'élèves.
La pointure des pieds de ces élèves.
Discrète, car la pointure est arrondie.
- \[\begin{split}\begin{array} {cccc} \hline x_i & n_i & f_i & F_i \\ \hline 32 & 3 & 0.035 & 0.035 \\ 33 & 5 & 0.059 & 0.094 \\ 34 & 7 & 0.082 & 0.176 \\ 35 & 10 & 0.118 & 0.294 \\ 36 & 9 & 0.106 & 0.4 \\ 37 & 14 & 0.165 & 0.565 \\ 38 & 16 & 0.188 & 0.753 \\ 39 & 12 & 0.141 & 0.894 \\ 40 & 7 & 0.082 & 0.976 \\ 41 & 2 & 0.024 & 1 \\ \hline \text{Total} & 85 & 1 & \\ \hline \end{array}\end{split}\]
Exercice 9#
Des films lors d'un festival.
La durée des films en minutes.
Continue.
- \[\begin{split}\begin{array} {ccccc} \hline x_i & c_i & n_i & f_i & F_i \\ \hline [60; 70[ & 65 & 3 & 0.081 & 0.081 \\ [70; 80[ & 75 & 6 & 0.162 & 0.243 \\ [80; 90[ & 85 & 9 & 0.243 & 0.486 \\ [90; 100[ & 95 & 10 & 0.27 & 0.757 \\ [100; 110[ & 105 & 7 & 0.189 & 0.946 \\ [110; 120[ & 115 & 2 & 0.054 & 1 \\ \hline \text{Total} & & 37 & 1 \\ \hline \end{array}\end{split}\]