Ensembles

Ensembles#

Théorie#

Définition

Un ensemble \(E\) est une collection d'objets. Ces objets sont appelés éléments de l'ensemble \(E\) et ne peuvent figurer qu'une seule fois dans l'ensemble.

Si \(x\) appartient à \(E\), nous notons \(x \in E\).

Si par contre \(x\) n'est pas un élément de \(E\), nous notons \(x \notin E\).

Exemple 1

  1. Soit \(P\) l'ensemble des nombres premiers, alors

    \[7 \in P \, \text{ et } \, 12 \notin P\]

  2. Soit \(A\) l'ensemble de tous les animaux à quatre pattes, alors

    \[\text{Le chien} \in A \, \text{ et } \, \text{La poule} \notin A\]

Définition

Un ensemble peut être défini en extension. Dans ce cas, les éléments de l'ensemble sont énumérés entre accolades. Si l'ensemble est infini, des points de suspension sont ajoutés au début ou à la fin de l'énumération.

Exemple 2

  1. L'ensemble des joueurs de tennis ayant gagné au moins 20 tournois du Grand Chelem: {Federer, Nadal, Djokovic}

  2. L'ensemble des nombres naturels impairs: {1;3;5;7;9;...}

Définition

Un ensemble peut être défini en compréhension, c'est-à-dire qu'il est défini par ses propriétés caractéristiques.

Exemple 3

  1. \(\{x \in \text{ Ensemble des animaux} \, \mid \, x \text{ a quatre pattes} \}\) représente l'ensemble des animaux à 4 pattes.

  2. \(\{x \in \mathbb{Z} \, \mid \, -4 \leqslant x \leqslant 4\}\) représente l'ensemble des nombres entiers entre \(-4\) et \(4\).

Définition

Un ensemble peut être défini par un intervalle, c'est-à-dire un ensemble de nombres réels délimité par deux bornes.

Exemple 4

  1. \([-3;10]\) représente l'ensemble des nombres de \(-3\) compris à \(10\) compris.

  2. \(]0;7]\) représente l'ensemble des nombres de \(0\) non compris à \(7\) compris.

  3. \(]-10;-4[\) représente l'ensemble des nombres de \(-10\) non compris à \(-4\) non compris.

Définition

L'ensemble vide est l'ensemble ne contenant aucun élément. Il est noté \(\varnothing\).

Définition

Un ensemble \(A\) est sous-ensemble d'un ensemble \(B\), si tout élément de \(A\) est également élément de \(B\), noté \(A \subset B\).

Exemple 5

  1. L'ensemble des élèves de la classe est un sous-ensemble de l'ensemble des élèves du collège.

  2. L'ensemble des nombres pairs est un sous-ensemble de l'ensemble de tous les nombres.

Quelques remarques#

  • L'ordre dans lequel les éléments d'un ensemble sont énumérés ne joue aucun rôle.

  • Un élément ne peut figurer qu'une seule fois dans un ensemble.

  • L'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble.

  • Un ensemble est toujours sous-ensemble de lui-même.

  • Les accolades sont réservées pour décrire les ensembles.

Définition

Soit \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(a < b\). Les intervalles d'extrémités a et b sont les sous-ensembles suivants de \(\mathbb{R}\):

  1. Intervalle fermé: \([a;b]=\{x \in \mathbb{R} \, \mid \, a \leq x \leq b\}\)
    L'ensemble de tous les nombres réels entre \(a\) et \(b\) avec \(a\) et \(b\) compris.

  2. Intervalle ouvert: \(]a;b[=\{x \in \mathbb{R} \, \mid \, a < x < b\}\)
    L'ensemble de tous les nombres réels entre \(a\) et \(b\) avec \(a\) et \(b\) non compris.

  3. Intervalles semi-ouverts:

    • \([a;b[=\{x \in \mathbb{R} \, \mid \, a \leq x < b\}\) (intervalle fermé à gauche)
      L'ensemble de tous les nombres réels entre \(a\) et \(b\) avec \(a\) compris et \(b\) non compris.

    • \(]a;b]=\{x \in \mathbb{R} \, \mid \, a < x \leq b\}\) (intervalle fermé à droite)
      L'ensemble de tous les nombres réels entre \(a\) et \(b\) avec \(a\) non compris et \(b\) compris.

Il existe quatre autres types de sous-ensembles de \(\mathbb{R}\):

  • \([a;+\infty[=\{x \in \mathbb{R} \, \mid \, x \geq a\}\)

  • \(]-\infty;a]=\{x \in \mathbb{R} \, \mid \, x \leq a\}\)

  • \(]a;+\infty[=\{x \in \mathbb{R} \, \mid \, x > a\}\)

  • \(]-\infty;a[=\{x \in \mathbb{R} \, \mid \, x < a\}\)

Les crochets sont toujours tournés vers l'extérieur pour \(+\infty\) et \(-\infty\).

Définition

Soient \(A\) et \(B\) deux sous-ensembles d'un ensemble plus grand \(M\).

  1. L'intersection \(A \cap B\) des ensembles \(A\) et \(B\) est l'ensemble de tous les éléments appartenant simultanément à \(A\) et \(B\).

    \[ A \cap B = \{x \in M \, \mid \, x \in A \text{ \textbf{et} } x \in B\}\]

  2. La réunion \(A \cup B\) des ensembles \(A\) et \(B\) est l'ensemble des éléments appartenant à \(A\) ou à \(B\) (ou aux deux).

    \[A \cup B = \{x \in M \, \mid \, x \in A \text{ \textbf{ou} } x \in B\}\]

  3. La différence \(A \setminus B\) est l'ensemble de tous les éléments de \(A\) n'appartenant pas à \(B\).

    \[A \setminus B = \{x \in M \, \mid \, x \in A \text{ et } x \notin B\}\]

  4. Le complémentaire \(\overline{A}\) par rapport à \(M\) est l'ensemble des éléments qui n'appartiennent pas à \(A\).

    \[\overline{A}=M \setminus A = \{x \in M \, \mid \, x \notin A \}\]

\(A \cap B\)

\(A \cup B\)

\(A \setminus B\)

\(\overline{A}\)

Exemple 6

Les diagrammes de Venn permettent de résoudre des problèmes:

Une classe est composée de 26 élèves. 17 font du foot, 12 du hockey et 9 du tennis. Un seul élève ne fait pas de sport et 2 pratiquent trois sports. 3 élèves jouent au moins au hockey et au tennis et 6 élèves font au moins du hockey et du foot. Combien d'élèves ne pratiquent qu'un seul sport?

  1. "2 pratiquent trois sports" \(\implies\) 3 sports: 2 élèves

  2. "Un seul élève ne fait pas de sport" \(\implies\) Aucun sport: 1 élève

  3. Hockey et tennis: \(3 - 2 = 1\) élève

  4. Hockey et foot: \(6 - 2 = 4\) élèves

  5. Que du Hockey: \(12 - (4 + 1 + 2) = 12 - 7 = 5\) élèves

  6. Foot mais pas du hockey: \(17 - (4 + 2) = 17 - 6 = 11\) élèves

  7. Tennis mais pas du hockey: \(9 - (2 + 1) = 9 - 3 = 6\) élèves

  8. Élèves qui restent à placer \(26 - (12 + 1) = 26 - 13 = 13\) élèves

  9. Foot et/ou tennis mais pas de hockey: \(11 + 6 = 17\) élèves

  10. Foot et tennis: \(17 - 13 = 4\) élèves

  11. Que du foot: \(17 - (4 + 4 + 2) = 17 - 10 = 7\) élèves

  12. Que du tennis: \(9 - (4 + 1 + 2) = 9 - 7 = 2\) élèves

  13. Un seul sport: \(5 + 7 + 2 = 14\) élèves

Réponse: 14 élèves ne pratiquent qu'un seul sport.

Exercices#

Exercice 1#

Écrivez les ensembles suivants en extension.

  1. L'ensemble des jours de la semaine.

  2. L'ensemble des mois de l'année qui ont 31 jours.

  3. L'ensemble des nombres entiers de 0 à 10.

  4. L'ensemble des multiples de 3, noté \(M_{3}\).

  5. L'ensemble des diviseurs de 24, noté \(D_{24}\).

Exercice 2#

Écrivez les ensembles suivants en compréhension.

  1. L'ensemble des garçons de la classe qui ont des lunettes.

  2. L'ensemble des filles de la classe qui ont 16 ans.

  3. L'ensemble des nombres entiers entre 6 et 12 compris.

  4. L'ensemble des nombres entiers entre -2 et 5 non compris.

  5. L'ensemble des nombres entiers entre -3 non compris et 3 compris.

Exercice 3#

Écrivez les ensembles de l'exercice précédent en extension.

Exercice 4#

Écrivez les ensembles suivants sous forme d'intervalle.

  1. \(\{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,0 \leq x \leq 5\}\)

  2. \(\{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,-3 \leq x \leq 2\}\)

  3. \(\{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,9 < x \leq 15\}\)

  4. \(\{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,-10 \leq x < -5\}\)

Exercice 5#

Écrivez les ensembles suivant en extension.

  1. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,0 \leq x \leq 7\}\)

  2. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-2 \leq x \leq 3\}\)

  3. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,10 < x \leq 14\}\)

  4. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-8 \leq x < -2\}\)

Exercice 6#

Écrivez les ensembles suivants en compréhension.

  1. \(\{0; 1; 2; 3\}\)

  2. \(\{0; 1; 2; 3; ...\}\)

  3. \(\{ -4; -3; -2; -1\}\)

  4. \(\{ ...; -4; -3; -2; -1\}\)

  5. \(\{ 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...\}\)

  6. \(\{ 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ...\}\)

  7. \(\{ 1; 2; 3; 6\}\)

  8. \(\{ 1; 4; 9; 16; 25; \dots \}\)

  9. \([4; 9]\)

  10. \(]-1; 6[\)

  11. \([-7; -2[\)

  12. \(]0; 7]\)

Exercice 7#

Soient les ensembles \(A = \{1;2;3;4;5;6;7;8\}\), \(B = \{1;3;5;7\}\) et \(C = \{2;4;8;12\}\).

  1. Énumérez les ensembles suivants.

    1. \(A\cup C\)

    2. \(A \setminus B\)

    3. \(A \cap B\)

    4. \(C \cap B\)

    5. \(C \cup B\)

    6. \(C \setminus A\)

  2. Répondez par vrai ou faux.

    1. \(C \subset A\)

    2. \(B \subset A\)

Exercice 8#

Soient \(D_n\) l'ensemble des diviseurs de \(n\) et \(M_n\) l'ensemble des multiples de \(n\). Énumérez les ensembles suivants (définis en extension).

  1. \(D_{12} \cap D_{18}\)

  2. \(D_{30} \setminus D_{15}\)

  3. \(M_2 \cap M_4\)

  4. \(M_6 \setminus M_9\)

  5. \(D_{10} \cup D_{35}\)

  6. \(M_3 \cup M_6\)

  7. \(D_{24} \cap M_3\)

  8. \(M_3 \setminus D_{36}\)

Exercice 9#

Écrivez comme un seul intervalle les ensembles suivants.

  1. \([2; 15] \cup [8; 20]\)

  2. \([2; 15] \cap [8; 20]\)

  3. \([1; 7[ \cup ]0; 8]\)

  4. \([1; 7[ \cap ]0; 8]\)

  5. \([7; 14[ \cap [14; 16]\)

  6. \([7; 14[ \cup [14; 16]\)

  7. \([7; 14[ \setminus [13; 16]\)

  8. \(]-\infty; 6[ \cap ]-2; 7]\)

  9. \(\mathbb{R} \setminus ]-5; \infty[\)

Exercice 10#

Écrivez les ensembles suivants sous forme (de réunion) d'intervalles.

  1. \([-10; 10] \setminus [0; 5]\)

  2. \([0; 19] \setminus ]6; 12[\)

  3. \([-5; 5] \setminus [-1; 8]\)

  4. \([12; 25[ \setminus [15; 20[\)

Exercice 11#

Soient \(A\), \(B\) et \(C\) des sous-ensembles de l'ensemble \(M\). Représentez les ensembles suivants au moyen d'un diagramme de Venn (un diagramme différent pour chaque exercice).

  1. \(A \cup (B \cap C)\)

  2. \(A \setminus (B \cap C)\)

  3. \(A \cap (B \cup C)\)

  4. \(\overline{B}\)

  5. \((B \setminus C) \setminus A\)

  6. \(\overline{A \cap B}\)

Exercice 12#

Écrivez les ensembles suivants à l'aide des opérations sur les ensembles.

Exercice 13#

Dans un hôpital, il y a 200 patients. 50 ont des problèmes respiratoires, 60 des problèmes cardiaques et 30 du rhumatisme. 15 patients ont des problèmes cardiaques et respiratoires, 10 patients ont du rhumatisme et des problèmes cardiaques. Parmi les patients avec du rhumatisme, 5 ont aussi un problème respiratoire. Aucune personne ne souffre des trois maladies. Résolvez le problème suivant à l'aide d'un diagramme de Venn et répondez aux questions suivantes.

  1. Combien de patients n'ont qu'une seule maladie? Laquelle?

  2. Combien de patients sont dans cet hôpital pour d'autres raisons?

Exercice 14#

Lors d'une étude sur les voyages des collégiens en Europe, 363 élèves ont été interrogés sur leurs voyages en Espagne, en Angleterre et en Italie.

180 élèves ont séjourné en Espagne, 192 en Angleterre et 199 en Italie. 103 élèves ont au moins séjourné en Espagne et en Angleterre, 105 au moins en Italie et en Angleterre et 123 au moins en Italie et en Espagne. 73 élèves ont déjà séjourné dans les 3 pays. Résolvez le problème suivant à l'aide d'un diagramme de Venn et répondez aux questions suivantes.

  1. Combien d'élèves ont séjourné uniquement en Espagne?

  2. Combien d'élèves ont séjourné uniquement en Italie et en Angleterre?

  3. Combien d'élèves n'ont séjourné dans aucun de ces 3 pays.

Exercice 15#

Dans une classe de 28 élèves, 12 élèves ont un chat, 11 élèves ont un chien et 6 élèves ont des poissons. 3 élèves ont au moins un chien et un chat. Aucun élève n'a qu'un chat et des poissons. 1 seul élève a un chat, un chien et des poissons. 5 élèves n'ont aucun des trois animaux.

  1. Combien d'élèves n'ont qu'un chat?

  2. Combien d'élèves ont qu'un chien et des poissons?

  3. Combien d'élèves n'ont qu'un chien?

Challenge#

Lors d'une exposition, des bijoux ont été volés. La police interroge 18 personnes et pose deux questions auxquelles les personnes doivent répondre par "Oui" ou par "Non". Les questions sont:

  1. Avez-vous entendu du verre se casser?

  2. Avez-vous vu fuir quelqu'un ?

Dix personnes ont répondu "Oui" à la première question, six personnes ont répondu "Non" à la deuxième question et 5 personnes ont répondu "Non" aux deux questions.

Dessinez un diagramme de Venn qui illustre cette situation et déterminez combien de personnes ont répondu "Oui" aux deux questions.

Solution

9 personnes ont répondu "oui" aux deux questions.

Solutions#

Exercice 1#

  1. \(\{\text{lundi; mardi; mercredi; jeudi; vendredi; samedi; dimanche}\}\)

  2. \(\{\text{janvier; mars; mai; juin; juillet; août; octobre; décembre}\}\)

  3. \(\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10\}\)

  4. \(M_{3} = \{3; 6; 9; 12; 15; 18; \dots\}\)

  5. \(D_{24} = \{1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24\}\)

Exercice 2#

  1. \(\{x \in \text{garçons de la classe} \, \mid \, x \text{ a des lunettes}\}\)

  2. \(\{x \in \text{filles de la classe} \, \mid \, x \text{ a 16 ans}\}\)

  3. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,6 \leq x \leq 12\}\)

  4. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-2 < x < 5\}\)

  5. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-3 < x \leq 3\}\)

Exercice 3#

  1. sans correction

  2. sans correction

  3. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,6 \leq x \leq 12\} = \{6; 7; 8; 9; 10; 11; 12\}\)

  4. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-2 < x < 5\} = \{-1; 0; 1; 2; 3; 4\}\)

  5. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-3 < x \leq 3\} = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}\)

Exercice 4#

  1. \(\{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,0 \leq x \leq 5\} = [0; 5]\)

  2. \(\{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,-3 \leq x \leq 2\} = [-3; 2]\)

  3. \(\{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,9 < x \leq 15\} = ]9; 15]\)

  4. \(\{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,-10 \leq x < -5\} = [-10; -5[\)

Exercice 5#

  1. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,0 \leq x \leq 7\} = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\}\)

  2. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-2 \leq x \leq 3\} = \{-2; -1; 0; 1; 2; 3\}\)

  3. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,10 < x \leq 14\} = \{11; 12; 13; 14\}\)

  4. \(\{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-8 \leq x < -2\} = \{-8; -7; -6; -5; -4; -3\}\)

Exercice 6#

  1. \(\{0; 1; 2; 3\} = \{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,0 \leq x \leq 3\}\)

  2. \(\{0; 1; 2; 3; ...\} = \{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,0 \leq x < \infty\}\)

  3. \(\{ -4; -3; -2; -1\} = \{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-4 \leq x \leq -1\}\)

  4. \(\{ ...; -4; -3; -2; -1\} = \{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \,-\infty < x \leq -1\}\)

  5. \(\{ 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...\} = \{ x \in \mathbb{N} \, \mid \, x \text{ est pair}\}\)

  6. \(\{ 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ...\} = \{ x \in \mathbb{N} \, \mid \, x \text{ est un nombre premier}\}\)

  7. \(\{ 1; 2; 3; 6\} = \{ x \in \mathbb{N} \, \mid \, x \text{ est un diviseur de 6}\}\)

  8. \(\{ 1; 4; 9; 16; 25; \dots\} = \{ x \in \mathbb{Z} \, \mid \, x \text{ est un carré}\}\)

  9. \([4; 9] = \{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,4 \leq x \leq 9\}\)

  10. \(]-1; 6[ = \{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,-1 < x < 6\}\)

  11. \([-7; -2[ = \{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,-7 \leq x < -2\}\)

  12. \(]0; 7] = \{ x \in \mathbb{R} \, \mid \,0 < x \leq 7\}\)

Exercice 7#

    1. \(A \cup C=\{1;2;3;4;5;6;7;8;12\}\)

    2. \(A\setminus B=\{2;4;6;8\}\)

    3. \( A \cap B=\{1;3;5;7\}\)

    4. \(C \cap B= \varnothing\)

    5. \(C \cup B=\{1;2;3;4;5;7;8;12\}\)

    6. \(C\setminus A=\{12\}\)

    1. Faux

    2. Vrai

Exercice 8#

  1. \(D_{12} \cap D_{18} = \{ 1; 2; 3; 6\}\)

  2. \(D_{30} \setminus D_{15} = \{ 2; 6; 10; 30\}\)

  3. \(M_2 \cap M_4 = \{ 4; 8 ; 12; 16; 20; \dots\}\)

  4. \(M_6 \setminus M_9 = \{ 6; 12; 24; 30; 42; 48; \dots\}\)

  5. \(D_{10} \cup D_{35} = \{ 1; 2; 5; 7; 10: 35\}\)

  6. \(M_3 \cup M_6 = \{ 3; 6; 9; 12; 15; \dots\}\)

  7. \(D_{24} \cap M_3 = \{ 3; 6; 12; 24;\}\)

  8. \(M_3 \setminus D_{36} = \{ 15; 21; 24; 27; 30; 33; 39; \dots\}\)

Exercice 9#

  1. \([2; 20]\)

  2. \([8; 15]\)

  3. \(]0; 8]\)

  4. \([1; 7[\)

  5. \(\varnothing\)

  6. \([7; 16]\)

  7. \([7; 13[\)

  8. \(]-2; 6[\)

  9. \(]-\infty; -5]\)

Exercice 10#

  1. \([-10; 0[ \cup ]5; 10]\)

  2. \([0; 6] \cup [12; 19]\)

  3. \([-5; -1[\)

  4. \([12; 15[ \cup [20; 25[\)

Exercice 11#

Exercice 12#

  1. \(A \cup B \cup C\)

  2. \((B \cup C) \setminus A\)

  3. \((A \cap B) \setminus C\)

  4. \((B \setminus C) \cup (A \cap C)\)

Exercice 13#

  1. Il y a 35 patients avec que des problèmes cardiaques, 30 patients avec que des problèmes respiratoires et 15 avec que du rhumatisme.

  2. 90 patients sont dans cet hôpital pour d'autres maladies.

Exercice 14#

  1. 27 élèves ont séjourné uniquement en Espagne.

  2. 32 élèves ont séjourné uniquement en Italie et en Angleterre.

  3. 50 élèves n'ont séjourné dans aucun de ces 3 pays.

Exercice 15#

  1. 9 élèves n'ont qu'un chat.

  2. 2 élèves n'ont qu'un chien et des poissons.

  3. 6 élèves n'ont qu'un chien.