Racines

Racines#

Théorie#

Définition

La racine carré d'un nombre positif \(a\) est défini comme étant le nombre positif \(x\), qui élevé au carré, donne \(a\):

\[\sqrt{a}=x \Longleftrightarrow x^2=a \text{ où } a,x \geq 0\]

Définition

La racine nième d'un nombre \(a \geq 0\) est le nombre \(x \geq 0\), qui, élevé à la nième puissance, donne \(a\):

\[\sqrt[n]{a}=x \Longleftrightarrow x^n=a \text{ avec } a,x \geq 0\]

Le nombre \(n\) est appelé indice.

Exemple 17

  1. \(\sqrt{16}=4\), car \(4^2=16\)

  2. \(\sqrt[4]{81}=3\), car \(3^4=81\)

  3. \(\sqrt[5]{32}=2\), car \(2^5=32\)

  4. \(\sqrt[6]{x^{12}}=x^2\), car \(\left(x^2\right)^6=x^{12}\)

Remarques#

  1. Dans le cas de la racine carrée, l'indice n'est pas noté: \(\sqrt{\phantom{0}}=\sqrt[2]{\phantom{0}}\)

  2. Les racines sont les opérations réciproques des puissances:
    \(a \geq 0\), \(\sqrt[2]{a^2} = (\sqrt[2]{a})^2 = a\) ou \(\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a\)

  3. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans \(\mathbb{R}\). Dans le cas des racines nième:

    • Si \(a < 0\) et \(n\) est pair, alors \(\sqrt[n]{a}\) n'est pas définie dans \(\mathbb{R}\), car il n'est pas possible d'obtenir un nombre négatif en l'élevant à une puissance paire.

    • Si \(a < 0\) et \(n\) est impair, alors \(\sqrt[n]{a}\) est définie et elle est inférieure à 0.

Exemple 18

  1. \(\sqrt[4]{-16}=\varnothing\) aucun nombre élevé à la puissance 4 n'est négatif

  2. \(\sqrt[5]{-32}=-2\), car \((-2)^5=-32\)

  3. \(\sqrt[3]{-27}=-3\), car \((-3)^3=-27\)

Théorème - Règles de calcul pour les racines

Soient \(a, b > 0\) et \(m, n \in\mathbb{Z}\), alors

Formules

  1. \(\sqrt[n]{a\cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{ b}\)

Exemples numériques

\(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2 \cdot 4}=\sqrt[3]{8} = 2\)

  1. \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} =\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

\(\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\dfrac{4}{5}\)

  1. \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}\)

\(\sqrt[3]{\sqrt[2]{a^6}}=\sqrt[3 \cdot 2]{a^6}=\sqrt[6]{a^6}=a\)

  1. \(\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\)

\(\sqrt[3]{8^5}=\left( \sqrt[3]{8}\right)^5=2^5=32\)

Si \(a, b < 0\), ces règles de calcul ne pourront être appliquées que si m et n sont des nombres impairs.

Exemple 19

Pour effectuez un extraction de racine, il faut écrire, si possible, la valeur sous la racine sous forme de carré.

  1. \(\sqrt{18}=\sqrt{9 \cdot 2}=\sqrt{3^2 \cdot 2}=\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

  2. \(\sqrt{800}=\sqrt{100 \cdot 4 \cdot 2}=\sqrt{10^2 \cdot 2^2 \cdot 2}=\sqrt{10^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2}=10 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)

Définition

Pour tout \(a >0\), \(m \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{Z}^*\) on a

\[a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\]

Exemple 20

  1. \(5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}\)

  2. \(2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}\)

  3. \(3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}\)

  4. \(9^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{9}\)

Définition

Pour tout \(a >0\), \(m \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{Z}^*\) on a

\[a^{\frac{m}{n}}=\left( a^m\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{ \quad ou \quad}a^{\frac{m}{n}}=\left( a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left( \sqrt[n]{a}\right)^m\]

Exemple 21

  1. \(27^{\frac{2}{3}}=\left( \sqrt[3]{27} \right)^2=3^2=9\)

  2. \(25^{\frac{3}{2}}=\left( \sqrt{25} \right)^3=5^3=125\)

  3. \(9^{0.5}=9^{\frac{1}{2}}= \sqrt{9}=3\)

  4. \(8^{-\frac{1}{3}}= \dfrac{1}{8^{\frac{1}{3}}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{1}{2}\)

Exemple 22

Dans un calcul avec des puissances et des racines, il faut commencer par convertir les racines en puissances, ensuite il est possible d'appliquer les règles de calcul.

  1. \(\left( x^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[4]{x} \right) : \sqrt[3]{x^2}=\left(x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \right):x^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{10}{12}+\frac{3}{12}-\frac{8}{12}}=x^{\frac{5}{12}}\)

  2. \(\left( \sqrt[4]{a \cdot \sqrt[3]{a}}\right)^3= \left( \sqrt[4]{a \cdot a^{\frac{1}{3}}}\right)^3=\left( \sqrt[4]{a^{\frac{3}{3}+\frac{1}{3}}}\right)^3=\left( \sqrt[4]{a^{\frac{4}{3}}}\right)^3=\left( \left(a^{\frac{4}{3}} \right)^{\frac{1}{4}} \right)^3=a^{\frac{12}{12}}=a\)

  3. \(\left( \dfrac{x^{\frac{7}{4}} \cdot y^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[4]{y} \cdot \sqrt[3]{x^5}} \right)^{24}=\left( \dfrac{x^{\frac{7}{4}} \cdot y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{3}}} \right)^{24}=\left( \dfrac{x^{\frac{7}{4}} \cdot y^{\frac{2}{3}}}{{x^{\frac{5}{3}} \cdot y^\frac{1}{4}}} \right)^{24} = \left( \dfrac{x^{\frac{7}{4}}}{x^{\frac{5}{3}}} \cdot \dfrac{y^{\frac{2}{3}}}{y^\frac{1}{4}} \right)^{24}\) \(=\left( x^{\frac{7}{4}-\frac{5}{3}} y^{\frac{2}{3}-\frac{1}{4}}\right)^{24}=\left( x^{\frac{21}{12}-\frac{20}{12}} y^{\frac{8}{12}-\frac{3}{12}}\right)^{24}= \left( x^{\frac{1}{12}} y^{\frac{5}{12}}\right)^{24}=x^2y^{10}\)

Définition

La rationalisation d'un dénominateur est un procédé qui permet d'éliminer les racines du dénominateur d'une fraction.

Exemple 23

Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par la racine.

  1. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

  2. \(\dfrac{36}{\sqrt{6}} = \dfrac{36}{\sqrt{6}} \cdot \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \dfrac{36 \sqrt{6}}{6} = 6 \sqrt{6}\)

  3. \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\)

Exercices#

Exercice 40#

Calculez et simplifiez les expressions suivantes à l'aide des règles de calcul pour les racines.

  1. \(\sqrt{12} \sqrt{3}=\)

  2. \(\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}=\)

  3. \(\sqrt{5} \sqrt{\dfrac{1}{35}}=\)

  4. \(\sqrt{345^2}=\)

  5. \(\sqrt{3^2+4^2}=\)

  6. \(\dfrac{3}{\sqrt{15}} \sqrt{\dfrac{5}{6}}=\)

  7. \(\sqrt{\sqrt{16}}=\)

  8. \(\sqrt[3]{\sqrt{8}}=\)

  9. \(-\sqrt{\dfrac{28}{5}} \sqrt{\dfrac{35}{4}}=\)

Exercice 41#

Effectuez l'extraction de racines.

  1. \(\sqrt{12}=\)

  2. \(\sqrt{80}=\)

  3. \(\sqrt{27}=\)

  4. \(\sqrt{72}=\)

  5. \(\sqrt{147}=\)

  6. \(\sqrt{216}=\)

  7. \(\sqrt{500}=\)

  8. \(\sqrt{108}=\)

  9. \(\sqrt{75}=\)

  10. \(\sqrt[3]{16}=\)

  11. \(\sqrt[3]{54}=\)

  12. \(\sqrt[3]{32}=\)

Exercice 42#

Effectuez les calculs sans calculatrice.

  1. \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{21}=\)

  2. \((\sqrt{3})^6=\)

  3. \(\sqrt{5} ( \sqrt{20} + \sqrt{5})=\)

  4. \(\sqrt{45} : \sqrt{5}=\)

  5. \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}=\)

  6. \((\sqrt{2} )^8=\)

  7. \(\sqrt{6} \left(\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} \right)=\)

  8. \(\dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{32}}{\sqrt{6}}=\)

  9. \(\dfrac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{12}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{27}} \cdot \sqrt{2 \cdot \dfrac{2}{3}}=\)

Exercice 43#

Effectuez les calculs. Répondre sous forme de nombre entier ou de fraction irréductible.

  1. \(9^{-2}=\)

  2. \(9^{0}=\)

  3. \(9^{-\frac{1}{2}}=\)

  4. \(8^{\frac{2}{3}}=\)

  5. \(10^{-5}=\)

  6. \(16^{-\frac{3}{2}}=\)

  7. \(49^{\frac{1}{2}}=\)

  8. \(100^{0}=\)

  9. \(25^{-\frac{1}{2}}=\)

  10. \(4^{\frac{5}{2}}=\)

  11. \(81^{\frac{1}{4}}=\)

  12. \(27^{-\frac{2}{3}}=\)

Exercice 44#

Transformez les puissances avec exposants rationnels en racines.

  1. \(a^{\frac{1}{2}}=\)

  2. \(m^{\frac{1}{3}}=\)

  3. \(f^{\frac{3}{4}}=\)

  4. \(x^{-\frac{1}{5}}=\)

  5. \(b^{0.5}=\)

  6. \(\left( a^2 b^3\right)^{\frac{3}{4}}=\)

Exercice 45#

Transformez les racines en puissances.

  1. \(\sqrt{a}=\)

  2. \(\sqrt{a^3}=\)

  3. \(\sqrt[4]{a^5}=\)

  4. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}=\)

  5. \(\sqrt[5]{a}=\)

  6. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a^2}}=\)

  7. \(\left( \sqrt[4]{a} \right)^3=\)

  8. \(\dfrac{1}{\sqrt{a^7}}=\)

  9. \(\sqrt[3]{a^7}=\)

Exercice 46#

Écrivez le résultat comme une seule puissance ou une seule racine.

  1. \(\sqrt{a} \cdot a^5 \cdot a^{\frac{3}{4}}\)

  2. \(\sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x^5} \cdot x^{\frac{1}{4}}\)

  3. \(\left( \sqrt{b^7} \right)^3 \cdot b^{\frac{2}{7}}\)

  4. \(\dfrac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot x^{\frac{7}{3}}\)

  5. \(\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a}\)

  6. \(\left( b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{b^9} \right)^2\)

Exercice 47#

Écrivez le résultat comme une seule puissance ou une seule racine.

  1. \(\sqrt{\sqrt[3]{64}}\)

  2. \(\sqrt[7]{\sqrt[5]{a^{14}}}\)

  3. \(\sqrt[10]{\sqrt[5]{a^{50}}}\)

  4. \(\sqrt[8]{a^{-4}}\)

  5. \(\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2}}\)

  6. \(\sqrt{x^4 \cdot \sqrt[3]{x^{\frac{1}{2}}}}\)

Exercice 48#

Rendez rationnel le dénominateur des fractions suivantes:

  1. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

  2. \(\dfrac{25}{\sqrt{5}}\)

  3. \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)

  4. \(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\)

  5. \(\dfrac{1}{3\sqrt{11}}\)

  6. \(\dfrac{12}{\sqrt{3}}\)

  7. \(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}\)

  8. \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}\)

  9. \(\dfrac{2}{3\sqrt{6}}\)

  10. \(\dfrac{4}{3\sqrt{7}}\)

  11. \(\dfrac{15}{2\sqrt{10}}\)

  12. \(\dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{6}}\)

Challenge#

Simplifiez le plus possible.

  1. \(\sqrt{\dfrac{\sqrt[4]{a^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt{a^{-8}}}{\sqrt[3]{a^{-5}}}} : \dfrac{\sqrt[6]{a^{\frac{3}{4}}}}{\sqrt[3]{a^2}}=\)

  2. \(\dfrac{\sqrt{\sqrt[3]{\left( \dfrac{1}{b^2}\right)^{-4}}\cdot \sqrt{b \cdot \sqrt[3]{b^2}}}}{b \cdot \sqrt[6]{b \sqrt{b}}\cdot \sqrt{b^{-1} \cdot \sqrt[3]{b^2}} }=\)

Solution

  1. \(a^{-\frac{7}{12}}\)

  2. \(b^{\frac{2}{3}}\)

Solutions#

Exercice 40#

  1. \(6\)

  2. \(2\)

  3. \(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\)

  4. \(345\)

  5. \(5\)

  6. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

  7. \(2\)

  8. \(\sqrt{2}\)

  9. \(-7\)

Exercice 41#

  1. \(2 \sqrt{3}\)

  2. \(4 \sqrt{5}\)

  3. \(3 \sqrt{3}\)

  4. \(6 \sqrt{2}\)

  5. \(7 \sqrt{3}\)

  6. \(6 \sqrt{6}\)

  7. \(10 \sqrt{5}\)

  8. \(6 \sqrt{3}\)

  9. \(5 \sqrt{3}\)

  10. \(2\sqrt[3]{2}\)

  11. \(3\sqrt[3]{2}\)

  12. \(2\sqrt[3]{4}\)

Exercice 42#

  1. \(21\)

  2. \(27\)

  3. \(15\)

  4. \(3\)

  5. \(9\)

  6. \(16\)

  7. \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

  8. \(4\)

  9. \(\dfrac{4\sqrt{2}}{9}\)

Exercice 43#

  1. \(\dfrac{1}{81}\)

  2. \(1\)

  3. \(\dfrac{1}{3}\)

  4. \(4\)

  5. \(\dfrac{1}{100\,000}\)

  6. \(\dfrac{1}{64}\)

  7. \(7\)

  8. \(1\)

  9. \(\dfrac{1}{5}\)

  10. \(32\)

  11. \(3\)

  12. \(\dfrac{1}{9}\)

Exercice 44#

  1. \(\sqrt{a}\)

  2. \(\sqrt[3]{m}\)

  3. \(\sqrt[4]{f^3}\)

  4. \(\dfrac{1}{\sqrt[5]{x}}\)

  5. \(\sqrt{b}\)

  6. \(\sqrt[4]{a^6b^9}\)

Exercice 45#

  1. \(a^{\frac{1}{2}}\)

  2. \(a^{\frac{3}{2}}\)

  3. \(a^{\frac{5}{4}}\)

  4. \(a^{-\frac{1}{3}}\)

  5. \(a^{\frac{1}{5}}\)

  6. \(a^{-\frac{2}{3}}\)

  7. \(a^{\frac{3}{4}}\)

  8. \(a^{-\frac{7}{2}}\)

  9. \(a^{\frac{7}{3}}\)

Exercice 46#

  1. \(a^{\frac{25}{4}}=\sqrt[4]{a^{25}}\)

  2. \(x^{\frac{41}{12}}=\sqrt[12]{x^{41}}\)

  3. \(b^{\frac{151}{14}}=\sqrt[14]{b^{151}}\)

  4. \(x^{\frac{28}{15}}=\sqrt[15]{x^{28}}\)

  5. \(a^{\frac{77}{60}}=\sqrt[60]{a^{77}}\)

  6. \(b^{\frac{65}{6}}=\sqrt[6]{b^{65}}\)

Exercice 47#

  1. \(\sqrt[6]{64}=64^{\frac{1}{6}}=2\)

  2. \(\sqrt[5]{a^2}=a^{\frac{2}{5}}\)

  3. \(a\)

  4. \(a^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)

  5. \(\sqrt[9]{a^8}=a^{\frac{8}{9}}\)

  6. \(\sqrt[12]{x^{25}}=x^{\frac{25}{12}}\)

Exercice 48#

  1. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

  2. \(\dfrac{25}{\sqrt{5}} = 5\sqrt{5}\)

  3. \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}\)

  4. \(\dfrac{2}{\sqrt{7}} = \dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)

  5. \(\dfrac{1}{3\sqrt{11}} = \dfrac{\sqrt{11}}{33}\)

  6. \(\dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\)

  7. \(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{42}}{6}\)

  8. \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{10}}{15}\)

  9. \(\dfrac{2}{3\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{9}\)

  10. \(\dfrac{4}{3\sqrt{7}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{21}\)

  11. \(\dfrac{15}{2\sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{4}\)

  12. \(\dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{30}}{9}\)