Nombres

Origine des nombres

Nombres naturels

Les nombres naturels répondent au besoin de compter des animaux, des hommes ou des objets, mais aussi de comparer.

Histoire des nombres

Les premières traces écrites de la notion de nombre datent d'environ 30'000 avant J.-C notamment sur les os d'animaux: Os d'Ishango

Difficile de s'y retrouver sans regrouper les éléments -> notion de base.

Nous utilisons la base 10, car nous avons 10 doigts.

Les Mayas, les Aztèques, les Celtes ou les Basques comptaient en base 20. Ils utilisaient aussi leurs orteilles.

Les Babyloniens utilisaient la base 60 qui est encore bien présente chez nous pour le partage des heures, minutes, secondes ou les anges. Pourquoi 60 min dans 1h?

Chaque civilation a défini ses propres symboles pour représenter les chiffres:

• Les Babyloniens: clous et chevrons numération babylonienne

• Les Égyptiens: hiéroglyphes numération égyptienne

• Les Romains: les lettres majuscules I, V, X, L, C, D et M

• Les arabes et les indiens: 1, 2, 3, ...

Le chiffre 0 n'est apparu qu'au 7^e siècle grâce au mathématicien et astronome Brahmagypta. Il l'a défini comme la soustraction d'un nombre par lui-même. Il est devenu nécessaire des nombres tels que "804". Comment le différencier de 84 sans le 0?

Nombres entiers relatifs

Les nombres entiers relatifs sont apparus avec le commerce: les nombres positifs représentent les recettes (ce que j'ai) et les nombres régatifs les dettes (ce que je dois). Les premières idées de nombres relatifs apparaissent dans des écrits en Inde vers le 6^e siècle, mais ils n'apparaitront en Europe que vers le 16^e siècle.

Nombres rationnels

Au 5^e siècle, les Grecs connaissent déjà les fractions sous forme de rapport de longueurs, utilisés dans le théorème de Thalès par exemple.

Théorie

Définition

L'ensemble des nombres naturels est l'ensemble des entiers positifs, noté \(\mathbb{N}\) et défini en extension ainsi:

\[ \mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; 4; \dots\}\]

\(\mathbb{N^*} = \mathbb{N} \setminus \{0\} = \{1; 2; 3; 4; \dots\}\)

L'ensemble des nombres entiers relatifs est l'ensemble des entiers positifs et négatifs, noté \(\mathbb{Z}\) et défini en extension ainsi:

\[\mathbb{Z} = \{\dots; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; \dots\}\]

L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble des nombres qui peuvent être écrit sous forme de fraction, noté \(\mathbb{Q}\) et défini en compréhension ainsi:

\[\mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \, \mid \, a \text{ et } b \in \mathbb{Z} \text{ et } b \ne 0\}\]

L'ensemble des nombres réels est l'ensemble des nombres à virgule (périodique, fini ou infini), noté \(\mathbb{R}\).

L'ensemble des nombres irrationnels est l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas rationnels, c'est-à-dire l'ensemble \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

L'ensemble grisé représente l'ensemble des nombres irrationnels dans lequel se trouvent les nombres tels que \(\pi\), \(\sqrt{2}\), \(1.010010001\ldots\).

Exemple 10

1. \(\dfrac{4}{3} = 1. \overline{3} = 1.333333\ldots \in \mathbb{Q}\)

2. \(\pi = 3.14159\ldots \text{ et } \sqrt{2} = 1.4142\ldots \in \mathbb{R}\) sont des nombres irrationnels.

3. \(-\sqrt{3} \in \mathbb{R}\), mais \(\sqrt{-3} \notin \mathbb{R}\), car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans \(\mathbb{R}\).

4. \(6 \in \mathbb{N}\) et \(\mathbb{Z} \quad\) \(6 = \dfrac{6}{1} \in \mathbb{Q} \quad\) et \(\quad 6 = 6.0 \in \mathbb{R}\)

-> exercice 16, exercice 17, exercice 18, exercice 19, exercice 20 et exercice 21.

Théorème

Toute fraction est un nombre décimal fini ou périodique. Réciproquement, tout nombre décimal fini ou périodique est une fraction.

Exemple 11

1. \(0.75=\dfrac{3}{4}\)

2. \(\dfrac{7}{3}=2.\overline{3}\)

3. \(2.\overline{714285}=\dfrac{19}{7}\)

4. \(\dfrac{9}{22}=0.40\overline{90}\)

Exemple 12

Pour transformer une fraction en nombre décimal, il faut effectuer la division et s'arrêter:

1. quand le reste vaut \(0\).

2. quand le reste est identique à un reste précédent, cela signifie que le nombre est périodique.

\(\begin{array}{r|l} 264\phantom{0000000000} & \underline{\phantom{0}7\phantom{00000000}} \\ \underline{-21}\phantom{00000000000} & 37.\overline{714285} \\ 54\phantom{0000000000} & \\ \underline{-49}\phantom{0000000000} & \\ \color{red}50 \phantom{000000000}& \\ \underline{-49}\phantom{000000000} & \\ 10\phantom{00000000}& \\ \underline{-7}\phantom{00000000} & \\ 30\phantom{0000000}& \\ \underline{-28}\phantom{0000000} & \\ 20\phantom{000000}& \\ \underline{-14}\phantom{000000} & \\ 60\phantom{00000}& \\ \underline{-56}\phantom{00000} & \\ 40\phantom{0000}& \\ \underline{-35}\phantom{0000} & \\ \color{red}50 \phantom{000}& \\ \ldots\phantom{000} & \\ \end{array}\)

\(\dfrac{264}{7} = 37.\overline{714285}\)

-> exercice 22.

Exemple 13

Pour transformer un nombre décimal en fraction, il y a deux situations:

1. Le nombre décimal est fini:
   Le numérateur et le dénominateur doivent être des nombres entiers.
   \(5.0862 = \dfrac{5.0862}{1} \overset{\color{red}\cdot10\,000}{=} \dfrac{50\,862}{10\,000} \overset{\color{red}simplifier}{=} \dfrac{25\,432}{5\,000}\)

2. Le nombre est périodique:
   Idée: soutraire deux multiples de ce nombre pour faire disparaître la période.

   1. \(x = 0.\overline{2}\)
      Multipliez par \(10\), car la période est de 1 chiffre.

      \[\begin{split} 10x &= 2.\overline{2}\\ -x &= 0.\overline{2}\\ 9x &= 2\\ x &= \dfrac{2}{9}\end{split}\]
      \(0.\overline{2} = \dfrac{2}{9}\)

   2. \(x = 5.\overline{412}\)
      Multipliez par \(1000\), car la période est de 3 chiffres.

      \[\begin{split} 1000x &= 5412.\overline{412}\\ -x &= \phantom{000}5.\overline{412}\\ 999x &= 5407\\ x &= \dfrac{5407}{999}\end{split}\]
      \(5.\overline{412} = \dfrac{5407}{999}\)

   3. Si la période n'est pas directement après la virgule, il faut se ramenez au cas a).
      \(x = 1.79\overline{54}\)
      Multipliez la première valeur par \(10\,000\), car il y a 4 chiffres après la virgule et la seconde par \(100\) afin de ramener la période directement après la virgule.

      \[\begin{split} 10\,000x &= 17954.\overline{54}\\ -100x &= \phantom{00}179.\overline{54}\\ 9\,900x &= 17\,775\\ x &= \dfrac{17\,775}{9\,900}\end{split}\]
      \(1.79\overline{54} = \dfrac{17\,775}{9\,900} \overset{\color{red}:25}{=} \dfrac{711}{396} \overset{\color{red}:9}{=} \dfrac{79}{44}\)

-> exercice 23.

Rappel - Critères de divisibilité

Un nombre entier naturel est divisible par:

• 2, s'il se termine par \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\).

• 3, si la somme de ses chiffes est divisible par 3.

• 5, s'il se termine par \(0\) ou \(5\).

• 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

• 10, s'il se termine par \(0\).

• 25, s'il se termine par \(00\), \(25\), \(50\) ou \(75\).

Propriétés

• Commutativité

  \[a+b=b+a \text{ et } a \cdot b = b\cdot a\]

• Associativité

  \[(a+b)+c=a+(b+c) \text{ et } (a\cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c) \]

• Distributivité}

  \[a\cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \]

• Éléments neutres

  \[a+0=a \qquad \text{ et } \qquad a\cdot 1=a \]

• Éléments symétriques

  \[a+(-a)=0 \qquad \text{ et } \qquad a\cdot \frac{1}{a}=1 \]
  Le nombre \(-a\) est appelé l'opposé de \(a\) et \(\dfrac{1}{a}\) est appelé l'inverse de \(a\).

• Hiérarchie des opérations

  1. Parenthèses

  2. Puissances et racines

  3. Multiplications et divisions

  4. Additions et soustractions

Exemple 14

1. \(5 + 3 = 5 + 3 = 8\)

2. \(5 \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15\)

3. \((3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4) = 12\)

4. \((3 \cdot 5) \cdot 4 = 3 \cdot (5 \cdot 4) = 60\)

5. \(3 \cdot (5 + 4) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 27\)

6. \(3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1\)

Exemple 15

1. \(1 + 2\cdot {\color{red}(5+3)}^2 = 1 + 2\cdot {\color{red}8}^2=1 + {\color{red}2\cdot64}= 1 + 128=129\)

2. Une double fraction n'est rien d'autre qu'une division de fraction.

   \(\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{6}{5}}=\dfrac{7}{2} : \dfrac{6}{5} = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{5}{6} =\dfrac{7 \cdot 5}{2 \cdot 6} =\dfrac{35}{12}\)

3. La puissance d'une fraction n'est rien d'autre que la fraction de puissances.
   \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 =\dfrac{3^2}{2^2}=\dfrac{9}{4}\)

   \(\left(\dfrac{4}{3}\right)^3 =\dfrac{4^3}{3^3}=\dfrac{64}{27}\)

4. \(\dfrac{1}{1 + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{\dfrac{4}{4} + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{\dfrac{7}{4}} = 1 : \dfrac{7}{4} = 1 \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{4}{7}\)

-> exercice 24, exercice 25, exercice 26, exercice 27 et exercice 28.

Exercices

Exercice 16

Complétez le tableau par vrai ou faux.

	\(x=-\frac{2}{3}\)	\(x=\sqrt{9}\)	\(x=\sqrt{3}\)	\(x=0.45324\)	\(x=-7\)
\(x \in \mathbb{N}\)
\(x \in \mathbb{Z}\)
\(x \in \mathbb{Q}\)
\(x \in \mathbb{R}\)

Exercice 17

Corrigez les erreurs dans ce diagramme. (Il y en a 8)

Exercice 18

Répondez aux questions suivantes et justifiez.

1. Tous les nombres entiers sont rationnels. Vrai ou faux?

2. À quels ensembles de nombres appartient le nombre \(1.345\)?

3. Quels ensembles de nombres contiennent le nombre \(-2\)?

4. \(-11\) est un nombre entier naturel. Vrai ou faux?

5. \(\pi\) est un nombre rationnel. Vrai ou faux?

6. \(1.\overline{45}\) est un nombre réel? Vrai ou faux?

Exercice 19

Déterminez si le nombre \(\in\) ou \(\notin\) à l'ensemble donné.

1. \(-2\) \(\mathbb{N}\)

2. \(101\) \( \mathbb{N}\)

3. \(-7\) \( \mathbb{Z}\)

4. \(-\frac{3}{5}\) \( \mathbb{Z}\)

5. \(\sqrt{5}\) \( \mathbb{R}\)

6. \(\frac{3}{4}\) \( \mathbb{R}\)

7. \(1.345\) \( \mathbb{Q}\)

8. \(\sqrt{81}\) \( \mathbb{Z}\)

9. \(4.\overline{234}\) \(\mathbb{Q}\)

10. \(\sqrt{3}\) \(\mathbb{Q}\)

11. \(\pi\) \( \mathbb{R}\)

12. \(10009\) \( \mathbb{R}\)

Exercice 20

Écrivez les ensembles suivants en extension.

1. \(\{x \in \mathbb{Z} \, \mid \, -5 \leq x \leq 5\}\)

2. \(\{x \in \mathbb{N} \, \mid \, x \text{ est un multiple de } 6\}\)

3. \(\{x \in \mathbb{N} \, \mid \, x \text{ est un diviseur de } 24\}\)

4. \(\{x \in \mathbb{Z} \, \mid \, x^2 \leq 18\}\)

Exercice 21

Représentez les ensembles suivants en compréhension.

1. L'ensemble des nombres réels qui ne sont pas des nombres entiers.

2. L'ensemble des nombres entiers relatifs sans \(-3\).

3. L'ensemble des nombres réels qui sont strictement supérieur à \(5\).

4. L'ensemble des nombres réels dont la racine carrée est inférieure ou égale à \(20\).

5. L'ensemble des nombres réels entre \(-25\) et \(8\).

Exercice 22

Écrivez les fractions suivantes comme nombres décimaux (sans calculatrice).

1. \(\dfrac{13}{5}=\)

2. \(\dfrac{5}{6}=\)

3. \(\dfrac{7}{4}=\)

4. \(\dfrac{8}{3}=\)

5. \(\dfrac{7}{11}=\)

6. \(\dfrac{8}{13}=\)

7. \(\dfrac{9}{7}=\)

8. \(\dfrac{133}{20}=\)

9. \(\dfrac{785}{60}=\)

Exercice 23

Écrivez les nombres décimaux comme fractions simplifiées. (sans calculatrice)

1. \(0.62=\)

2. \(2.345=\)

3. \(0.\overline{7}=\)

4. \(1.0\overline{83}=\)

5. \(5.\overline{135}=\)

6. \(2.4\overline{2}=\)

Exercice 24

Calculez (sans calculatrice).

1. \(12+4 \cdot 3 +2=\)

2. \((12+4) \cdot 3 +2=\)

3. \(3 \cdot 5 + (2 \cdot 4 -2) \cdot 6=\)

4. \((7-2)^2 :5 \cdot 2^3=\)

5. \(3 \cdot (2-7) \cdot (-1) - (6-9)^3-2^3+1=\)

6. \(\dfrac{5-(2-8)\cdot 2}{2 \cdot (6+3) -1}=\)

7. \(9+3 \cdot (2 \cdot (9-5)-(5-7))=\)

8. \(\sqrt{36+64}=\)

9. \(\sqrt{36}+\sqrt{64}=\)

Exercice 25

Calculez et répondez sous forme simplifiée (sans calculatrice).

1. \(\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}=\)

2. \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{4}=\)

3. \(\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{1000}=\)

4. \(\dfrac{3}{2} \cdot \left( \dfrac{2}{5}+\dfrac{5}{2} \right)=\)

5. \(1+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{5}-3=\)

6. \(\left( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2} \right) : \left( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} \right)=\)

7. \(\left( \dfrac{1}{5} +\dfrac{5}{3}\right)^2 =\)

8. \(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\frac{1}{3}}} =\)

9. \(\dfrac{1}{4-\dfrac{1}{3+\frac{2}{5}}} =\)

Exercice 26

Calculez et répondez sous forme simplifiée (sans calculatrice).

1. \(\dfrac{18}{5} : \dfrac{14}{3} - \dfrac{8}{15}=\)

2. \(\dfrac{51}{4} : \dfrac{21}{2} - \dfrac{2}{15} \cdot \dfrac{20}{7}=\)

3. \(\left( \dfrac{4}{7} - \dfrac{3}{14} \right) \cdot \left( \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{5} \right)=\)

4. \(\dfrac{4}{5} : 2 - \dfrac{2}{5} : \dfrac{10}{3}=\)

5. \(\dfrac{11}{5} \cdot \left( \dfrac{11}{6} + \dfrac{2}{3} \right)=\)

6. \(\dfrac{5}{8} : \dfrac{1}{4} -\dfrac{5}{4}=\)

Exercice 27

Calculez et répondez sous forme simplifiée (sans calculatrice).

1. \(\dfrac{\dfrac{5}{2}+\dfrac{13}{4}}{\dfrac{1}{2}}=\)

2. \(\dfrac{\dfrac{7}{5}-\dfrac{5}{7}}{\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{3}}=\)

3. \(\dfrac{\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{6}}{\dfrac{5}{12}+1}=\)

4. \(\dfrac{\dfrac{42}{5}-\dfrac{2}{3}}{\dfrac{7}{4}+\dfrac{11}{2}}=\)

Exercice 28

Calculez et répondez sous forme simplifiée (sans calculatrice).

1. \(\left( 12+\dfrac{7}{4}-1 \right) \left( \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3} \right)\left( \dfrac{2}{5}-1 \right)- (-3) \left( \dfrac{5}{3}-\dfrac{9}{4} \right) \left( 2+\dfrac{6}{7} \right)=\)

2. \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{3} \left( -\dfrac{3}{4}- \left( \dfrac{1}{2}- \left( \dfrac{2}{3}-1 \right) \right) \right) =\)

3. \(\left( 4-\dfrac{2}{5}+\dfrac{4}{3}-\dfrac{2}{3} \right) : \left( -3-3 \cdot \dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{5} +2 \right)=\)

Solutions

Exercice 16

	\(x=-\frac{2}{3}\)	\(x=\sqrt{9}\)	\(x=\sqrt{3}\)	\(x=0.45324\)	\(x=-7\)
\(x \in \mathbb{N}\)	Faux	Vrai	Faux	Faux	Faux
\(x \in \mathbb{Z}\)	Faux	Vrai	Faux	Faux	Vrai
\(x \in \mathbb{Q}\)	Vrai	Vrai	Faux	Vrai	Vrai
\(x \in \mathbb{R}\)	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai

Exercice 17

Exercice 18

1. Vrai

2. \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\)

3. \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R}\)

4. Faux

5. Faux

6. Vrai

Exercice 19

1. \(-2 \notin \mathbb{N}\)

2. \(101 \in \mathbb{N}\)

3. \(-7 \in\mathbb{Z}\)

4. \(-\frac{3}{5}\notin \mathbb{Z}\)

5. \(\sqrt{5} \in \mathbb{R}\)

6. \(\frac{3}{4} \in \mathbb{R}\)

7. \(1.345 \in \mathbb{Q}\)

8. \(\sqrt{81} \in \mathbb{Z}\)

9. \(4.\overline{234} \in \mathbb{Q}\)

10. \(\sqrt{3} \notin\mathbb{Q}\)

11. \(\pi \in \mathbb{R}\)

12. \(10009 \in\mathbb{R}\)

Exercice 20

1. \(\{-5;-4;-3;-2,;-1;0;1;2;3;4;5\}\)

2. \(\{6;12;18;24;30; \dots \}\)

3. \(\{1;2;3;4;6;8;12;24\}\)

4. \(\{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\}\)

Exercice 21

1. \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Z}\)

2. \(\mathbb{Z} \setminus \{-3\}\)

3. \(\{ x \in \mathbb{R} \,\mid\, x > 5\}\)

4. \(\{ x \in \mathbb{R} \,\mid\, \sqrt{x} \leq 20\}\)

5. \(\{ x \in \mathbb{R} \,\mid\, -25 \leq x \leq 8\}\)

Exercice 22

1. \(2.6\)

2. \(0.8\overline{3}\)

3. \(1.75\)

4. \(2.\overline{6}\)

5. \(0.\overline{63}\)

6. \(0.\overline{615384}\)

7. \(1.\overline{285714}\)

8. \(6.65\)

9. \(13.08\overline{3}\)

Exercice 23

1. \(\dfrac{31}{50}\)

2. \(\dfrac{469}{200}\)

3. \(\dfrac{7}{9}\)

4. \(\dfrac{1073}{990}\)

5. \(\dfrac{190}{37}\)

6. \(\dfrac{109}{45}\)

Exercice 24

1. \(26\)

2. \(50\)

3. \(51\)

4. \(40\)

5. \(35\)

6. \(1\)

7. \(39\)

8. \(10\)

9. \(14\)

Exercice 25

1. \(\dfrac{31}{24}\)

2. \(\dfrac{23}{12}\)

3. \(\dfrac{111}{1000}\)

4. \(\dfrac{87}{20}\)

5. \(-\dfrac{26}{15}\)

6. \(\dfrac{50}{27}\)

7. \(\dfrac{784}{225}\)

8. \(\dfrac{7}{10}\)

9. \(\dfrac{17}{63}\)

Exercice 26

1. \(\dfrac{5}{21}\)

2. \(\dfrac{5}{6}\)

3. \(\dfrac{1}{3}\)

4. \(\dfrac{7}{25}\)

5. \(\dfrac{11}{2}\)

6. \(\dfrac{5}{4}\)

Exercice 27

1. \(\dfrac{23}{2}\)

2. \(\dfrac{144}{175}\)

3. \(1\)

4. \(\dfrac{16}{15}\)

Exercice 28

1. \(-\dfrac{251}{40}\)

2. \(\dfrac{23}{9}\)

3. \(-\dfrac{128}{99}\)