Nombres

Théorie

Définition

L'ensemble des nombres naturels est l'ensemble des entiers positifs, noté \(\mathbb{N}\) et défini en extension ainsi:

\[ \mathbb{N} = \{0; 1; 2; 3; 4; \dots\}\]

\(\mathbb{N^*} = \mathbb{N} \setminus \{0\} = \{1; 2; 3; 4; \dots\}\)\par L'ensemble des nombres entiers relatifs est l'ensemble des entiers positifs et négatifs, noté \(\mathbb{Z}\) et défini en extension ainsi:

\[ \mathbb{Z} = \{\dots; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; \dots\}\]

\par L'ensemble des nombres rationnels est l'ensemble des nombres qui peuvent être écrit sous forme de fraction, noté \(\mathbb{Q}\) et défini en compréhension ainsi:

\[ \mathbb{Q} = \{\frac{a}{b} \, \mid \, a \text{ et } b \in \mathbb{Z} \text{ et } b \ne 0\}\]

\par L'ensemble des nombres réels est l'ensemble des nombres à virgule (périodique, fini ou infini), noté \(\mathbb{R}\).\par L'ensemble des nombres irrationnels est l'ensemble des nombres réels qui ne sont pas rationnels, c'est-à-dire l'ensemble \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\).

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\)

L'ensemble grisé représente l'ensemble des nombres irrationnels dans lequel se trouvent les nombres tels que \(\pi\), \(\sqrt{2}\), \(1.010010001\ldots\).

Exemple 7

1. \(\dfrac{4}{3} = 1. \overline{3} = 1.333333\ldots \in \mathbb{Q}\)

2. \(\pi = 3.14159\ldots \text{ et } \sqrt{2} = 1.4142\ldots \in \mathbb{R}\) sont des nombres irrationnels.

3. \(-\sqrt{3} \in \mathbb{R}\), mais \(\sqrt{-3} \notin \mathbb{R}\), car la racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans \(\mathbb{R}\).

4. \(6 \in \mathbb{N}\) et \(\mathbb{Z} \quad\) \(6 = \dfrac{6}{1} \in \mathbb{Q} \quad\) et \(\quad 6 = 6.0 \in \mathbb{R}\)

Théorème

Toute fraction est un nombre décimal fini ou périodique. Réciproquement, tout nombre décimal fini ou périodique est une fraction.

Exemple 8

1. \(0.75=\dfrac{3}{4}\)

2. \(\dfrac{7}{3}=2.\overline{3}\)

3. \(2.\overline{714285}=\dfrac{19}{7}\)

4. \(\dfrac{9}{22}=0.40\overline{90}\)

Exemple 9

Pour transformer une fraction en nombre décimal, il faut effectuer la division et s'arrêter:

1. quand le reste vaut \(0\).

2. quand le reste est identique à un reste précédent, cela signifie que le nombre est périodique.

\(\begin{array}{r|l} 264\phantom{0000000000} & \underline{\phantom{0}7\phantom{00000000}} \\ \underline{-21}\phantom{00000000000} & 37.\overline{714285} \\ 54\phantom{0000000000} & \\ \underline{-49}\phantom{0000000000} & \\ \color{red}50 \phantom{000000000}& \\ \underline{-49}\phantom{000000000} & \\ 10\phantom{00000000}& \\ \underline{-7}\phantom{00000000} & \\ 30\phantom{0000000}& \\ \underline{-28}\phantom{0000000} & \\ 20\phantom{000000}& \\ \underline{-14}\phantom{000000} & \\ 60\phantom{00000}& \\ \underline{-56}\phantom{00000} & \\ 40\phantom{0000}& \\ \underline{-35}\phantom{0000} & \\ \color{red}50 \phantom{000}& \\ \ldots\phantom{000} & \\ \end{array}\)

\(\dfrac{264}{7} = 37.\overline{714285}\)

Exemple 10

Pour transformer un nombre décimal en fraction, il y a deux situations:

1. Le nombre décimal est fini:
   Le numérateur et le dénominateur doivent être des nombres entiers.
   \(5.0862 = \dfrac{5.0862}{1} \overset{\color{red}\cdot10\,000}{=} \dfrac{50\,862}{10\,000} \overset{\color{red}simplifier}{=} \dfrac{25\,432}{5\,000}\)

2. Le nombre est périodique:
   Idée: soutraire deux multiples de ce nombre pour faire disparaître la période.

   1. \(x = 0.\overline{2} \qquad \qquad\) Multipliez par \(10\), car la période est de 1 chiffre.

      \[\begin{split} 10x &= 2.\overline{2}\\ -x &= 0.\overline{2}\\ 9x &= 2\\ x &= \dfrac{2}{9}\end{split}\]
      \(0.\overline{2} = \dfrac{2}{9}\)

   2. \(x = 5.\overline{412} \qquad \qquad\) Multipliez par \(1000\), car la période est de 3 chiffres.

      \[\begin{split} 1000x &= 5412.\overline{412}\\ -x &= \phantom{000}5.\overline{412}\\ 999x &= 5407\\ x &= \dfrac{5407}{999}\end{split}\]
      \(5.\overline{412} = \dfrac{5407}{999}\)

   3. Si la période n'est pas directement après la virgule, il faut se ramenez au cas a).
      \(x = 1.79\overline{54} \qquad \qquad\) Multipliez la première valeur par \(10\,000\), car il y a 4 chiffres après la virgule et la seconde par \(100\) afin de ramener la période directement après la virgule.

      \[\begin{split} 10000x &= 17954.\overline{54}\\ -100x &= \phantom{00}179.\overline{54}\\ 9\,900x &= 17\,775\\ x &= \dfrac{17\,775}{9\,900}\end{split}\]
      \(1.79\overline{54} = \dfrac{17\,775}{9\,900} \overset{\color{red}:25}{=} \dfrac{711}{396} \overset{\color{red}:9}{=} \dfrac{79}{44}\)

Rappel - Critères de divisibilité

Un nombre entier naturel est divisible par:

• 2, s'il se termine par \(0\), \(2\), \(4\), \(6\) ou \(8\).

• 3, si la somme de ses chiffes est divisible par 3.

• 5, s'il se termine par \(0\) ou \(5\).

• 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

• 10, s'il se termine par \(0\).

• 25, s'il se termine par \(00\), \(25\), \(50\) ou \(75\).

Propriétés

• Commutativité

  \[a+b=b+a \text{ et } a \cdot b = b\cdot a\]

• Associativité

  \[(a+b)+c=a+(b+c) \text{ et } (a\cdot b) \cdot c=a \cdot (b \cdot c) \]

• Distributivité}

  \[a\cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \]

• Éléments neutres

  \[a+0=a \qquad \text{ et } \qquad a\cdot 1=a \]

• Éléments symétriques

  \[a+(-a)=0 \qquad \text{ et } \qquad a\cdot \frac{1}{a}=1 \]
  Le nombre \(-a\) est appelé l'opposé de \(a\) et \(\dfrac{1}{a}\) est appelé l'inverse de \(a\).

• Hiérarchie des opérations

  1. Parenthèses

  2. Puissances et racines

  3. Multiplications et divisions

  4. Additions et soustractions

Exemple 11

1. \(5 + 3 = 5 + 3 = 8\)

2. \(5 \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15\)

3. \((3 + 5) + 4 = 3 + (5 + 4) = 12\)

4. \((3 \cdot 5) \cdot 4 = 3 \cdot (5 \cdot 4) = 60\)

5. \(3 \cdot (5 + 4) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 27\)

6. \(3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1\)

Exemple 12

1. \(1 + 2\cdot {\color{red}(5+3)}^2 = 1 + 2\cdot {\color{red}8}^2=1 + {\color{red}2\cdot64}= 1 + 128=129\)

2. Une double fraction n'est rien d'autre qu'une division de fraction.

   \(\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{6}{5}}=\dfrac{7}{2} : \dfrac{6}{5} = \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{5}{6} =\dfrac{7 \cdot 5}{2 \cdot 6} =\dfrac{35}{12}\)

3. La puissance d'une fraction n'est rien d'autre que la fraction de puissances.
   \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 =\dfrac{3^2}{2^2}=\dfrac{9}{4}\)

   \(\left(\dfrac{4}{3}\right)^3 =\dfrac{4^3}{3^3}=\dfrac{64}{27}\)

4. \(\dfrac{1}{1 + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{\dfrac{4}{4} + \dfrac{3}{4}} = \dfrac{1}{\dfrac{7}{4}} = 1 : \dfrac{7}{4} = 1 \cdot \dfrac{4}{7} = \dfrac{4}{7}\)

Exercices

Exercice 16

Complétez le tableau par vrai ou faux.

	\(x=-\frac{2}{3}\)	\(x=\sqrt{9}\)	\(x=\sqrt{3}\)	\(x=0.45324\)	\(x=-7\)
\(x \in \mathbb{N}\)
\(x \in \mathbb{Z}\)
\(x \in \mathbb{Q}\)
\(x \in \mathbb{R}\)

Solutions

Exercice 16

	\(x=-\frac{2}{3}\)	\(x=\sqrt{9}\)	\(x=\sqrt{3}\)	\(x=0.45324\)	\(x=-7\)
\(x \in \mathbb{N}\)	Faux	Vrai	Faux	Faux	Faux
\(x \in \mathbb{Z}\)	Faux	Vrai	Faux	Faux	Vrai
\(x \in \mathbb{Q}\)	Vrai	Vrai	Faux	Vrai	Vrai
\(x \in \mathbb{R}\)	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai	Vrai