Puissances

Puissances#

Théorie#

Définition

La nième puissance d'un nombre \(a\) est le produit de \(n\) facteurs \(a\):

\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ facteurs}} \text{ avec } a \in \mathbb{R} \text{ et } n \in \mathbb{N}.\]

Le nombre \(a\) est appelé base et \(n\) est appelé exposant de la puissance. L'expression \(a^n\) se lit \(a\) puissance \(n\).\ De plus

\[a^0=1 \text{ pour tout }a \neq 0.\]

Remarques#

  1. L'expression \(0^0\) n'est pas définie!

  2. La définition des puissances donne le résultat suivant

    \[\begin{split}(-a)^n=\left\{ \begin{array}{ll} a^n & \text{ si } n \text{ est pair} \\ -a^n & \text{ si } n \text{ est impair} \end{array}\right.\end{split}\]

  3. Les puissances sont à calculer avant les multiplications. C'est pour cela que le signe \(-\) ne doit pas être pris en considération pour une puissance s'il n'y a pas de parenthèses.

    \[-a^n=(-1) \cdot a^n\]

Exemple 13

  1. \((-2)^4=2^4=16\)

  2. \((-3)^3=-3^3=-27\)

  3. \(-2^4=-16\)

Théorème - Règles de calcul pour les puissances

Soient \(a, b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) et \(n,m \in\mathbb{Z}\), alors

Formules

  1. \(a^n \cdot a^m =a^{n+m}\)

Exemples numériques

\(a^3 \cdot a^4 =a^{3+4}=a^7\)

  1. \(\dfrac{a^n}{a^m} =a^{n-m}\)

\(\dfrac{x^6}{x^3}=x^{6-3}=x^3\)

  1. \(\left(a^n\right)^m=a^{n \cdot m}\)

\(\left(b^4\right)^5=b^{4 \cdot 5}=b^{20}\)

  1. \((a \cdot b)^n =a^n \cdot b^n\)

\((x^2y^3)^5=x^{2 \cdot 5}y^{3 \cdot 5}=x^{10}y^{15}\)

  1. \(\left( \dfrac{a}{b} \right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)

\(\left( \dfrac{a^4}{b^2}\right)^3=\dfrac{a^{4 \cdot 3}}{b^{ 2 \cdot 3}}=\dfrac{a^{12}}{b^{6}}\)

Démonstration

  1. \[a^n \cdot a^m = \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ fois}} \cdot \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m\text{ fois}}= \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n+m\text{ fois}}=a^{n+m}\]
  2. \[\dfrac{a^n}{a^m} = \dfrac{\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}}}{\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m\text{ fois}}} \overset{\color{red}\text{simpl. des a}}{=} \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-m\text{ fois}}=a^{n-m}\]
  3. \[\left(a^n\right)^m = (\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}})^m = \underbrace{(\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}}) \cdot \ldots \cdot (\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}})}_{m\text{ fois}} =a^{n \cdot m}\]
  4. \[(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b)}_{n\text{ fois}} \overset{\color{red}\text{commutativité}}{=} \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ fois}} \cdot \underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n\text{ fois}}=a^n \cdot b^n\]
  5. \[\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a}{b}}_{n\text{ fois}} = \dfrac{\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}}}{\underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n\text{ fois}}}=\dfrac{a^n}{b^n}\]

Définition

Une puissance avec exposant négatif \(a^{-n}\) est l'inverse de la puissance \(a^n\), c'est-à-dire

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n} \quad \text{ et } \quad \frac{1}{a^{-n}}=a^n\]

Démonstration

\(a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)}=a^0=1\)

  1. \[\begin{split}\implies a^n \cdot a^{-n} &= 1 \qquad | :a^n\\ a^{-n} &= \frac{1}{a^n}\end{split}\]
  2. \[\begin{split}\implies a^n \cdot a^{-n} &= 1 \qquad | :a^{-n}\\ a^{n} &= \frac{1}{a^{-n}}\end{split}\]

Exemple 14

  1. \(2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}\)

  2. \(5 \cdot b^{-3}= 5 \cdot \dfrac{1}{b^3} = \dfrac{5}{b^3}\)

  3. \(\left( \dfrac{3}{x} \right)^{-1}= \dfrac{x}{3}\) (inverse d'une fraction)

  4. \(\dfrac{2}{6^{-2}}= 2 \cdot \dfrac{1}{6^{-2}} = 2 \cdot 6^2=72\)

Définition - Notation scientifique

Tout nombre \(x\) peut être écrit comme le produit d'un nombre \(a\) entre \(1\) et \(10\) (ou entre \(-10\) et \(-1\) si le nombre \(x\) est négatif) et une puissance de \(10\), c'est-à-dire

\[x=a \cdot 10^n \text{ avec } 1\leq|a|<10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}\]

Exemple 15

  1. \(1\,000\,000=1 \cdot 10^6=10^6\)

  2. \(1\,236=1.236 \cdot 10^3\)

  3. \(-27\,720\,000\,000=-2.772 \cdot 10^{10}\)

  4. \(0.0000021 =2.1 \cdot 10^{-6}\)

Exemple 16

  1. \(5\,200\,000 \cdot 0.0006=5.2 \cdot 10^6 \cdot 6\cdot 10^{-4}=5.2 \cdot 6 \cdot 10^6 \cdot 10^{-4}=31.2 \cdot 10^2=3\,120\)

  2. \(\dfrac{20\,000^2}{0.01^3}=\dfrac{(2 \cdot 10^4)^2}{(1 \cdot 10^{-2})^3}= \dfrac{4 \cdot 10^8}{1 \cdot 10^{-6}}=\dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{10^8}{10^{-6}}=4 \cdot 10^{8-(-6)}=4 \cdot 10^{14}\)

Exercices#

Exercice 32#

Simplifiez à l'aide des règles de calcul pour les puissances et écrivez le résultat comme une seule puissance.

  1. \(x^2 \cdot x^6=\)

  2. \(b^7 \cdot b^5=\)

  3. \(\left(a^{3n}\right)^{-2}=\)

  4. \(a^2 \cdot a^5 \cdot a^3=\)

  5. \(\left(x^{4n}\right)^{-5}=\)

  6. \(\dfrac{a^2}{a^5}=\)

  7. \((b^6)^3=\)

  8. \(\left( \dfrac{6^6}{6^4}\right) \cdot 6^2=\)

  9. \(a^{n+1} \cdot a^{n-1}=\)

  10. \(x^{3m+3} \cdot x^{-m+2}=\)

  11. \(\dfrac{x^4}{x^4}=\)

  12. \(c^4 \cdot c^3 \cdot c^{-5}=\)

  13. \(\left( (-5)^4\right)^5=\)

  14. \(2^n \cdot 5^n=\)

  15. \(4^{-2} \cdot a^{-2}=\)

  16. \((-4)^n \cdot (-3)^n=\)

  17. \(10^x \cdot 0.5^x=\)

  18. \(9^{-n} : 3^{-n}=\)

  19. \(10^m :5^m=\)

  20. \((4c)^5:(2c)^5=\)

  21. \(\left( \dfrac{x}{2}\right)^4 : \left( \dfrac{x}{6} \right)^4=\)

Exercice 33#

Transformez pour supprimer les exposants négatifs et les parenthèses.

  1. \(a^{-3}=\)

  2. \(\dfrac{1}{b^{-1}}=\)

  3. \(4 \cdot c^{-5}=\)

  4. \(\dfrac{2}{x^{-3}}=\)

  5. \(a^{-2} \cdot c^{3} =\)

  6. \(\left( \dfrac{2}{3} \right)^{-1}=\)

  7. \(\left( \dfrac{1}{5} \right)^{-2}=\)

  8. \(\left( \dfrac{x}{y} \right)^{-4}=\)

  9. \(\left( \dfrac{a^2b^3}{n^4m} \right)^{-3}=\)

Exercice 34#

Calculez (sans calculatrice).

  1. \((-2)^3 - 5 \cdot 6 + (-3)^2 =\)

  2. \((3+6)-5-2 \cdot (2+1)^2=\)

  3. \(\dfrac{1}{5 \cdot 4^0} + \left( \dfrac{15}{14} \right)^{-1} \cdot \dfrac{1}{7}=\)

  4. \(3+2 \cdot 2^2 +4 \cdot 3 -(6-1)^2=\)

  5. \(\dfrac{1}{12}+ \left( \dfrac{2}{3}\right)^{-1}:(-6)^2=\)

  6. \(2^2 \cdot (2-4)^5 -2^2 \cdot 4=\)

  7. \(1-2^2:\dfrac{3^{-1}+6^{-1}}{2}=\)

Exercice 35#

Calculez à l'aide de la notation scientifique et des règles de calcul des puissances (réponse en notation scientifique).

  1. \(0.004 \cdot 500=\)

  2. \(60\,000\,000\,000 : 2\,000=\)

  3. \(4 \cdot 10^{10} \cdot 4 \cdot 10^{-19}=\)

  4. \(6 \cdot 10^1 \cdot 7 \cdot 10^{12} \cdot 4 \cdot 10^{-5}=\)

  5. \(3\,000 \cdot 0.00000005 \cdot 20\,000=\)

  6. \(1 \cdot 10^{-5} \cdot 9 \cdot 10^5 \cdot 2=\)

  7. \(10 \cdot 10^{-5} \cdot 10^3 \cdot 10^5 \cdot 19 =\)

  8. \(\left(2 \cdot 10^3\right)^4 \cdot \left(9 \cdot 10^5\right)^2=\)

  9. \(200^4 \cdot 1\,000^2=\)

  10. \(0.0003^4 : 0.0001^5=\)

Exercice 36#

Transformez dans l'unité demandée (réponse en notation scientifique).

  1. \(400 \, dm^2\) en \(mm^2\).

  2. \(6 \, mm^3\) en \(km^3\).

  3. \(78\,000\,000\) litres en \(km^3\).

  4. \(9\,000\,cm^2\) en \(m^2\).

Exercice 37#

Simplifiez le plus possible.

  1. \(a^4 a^{28}=\)

  2. \(x^{-25}x^{14}=\)

  3. \(u^{-4}u^{-7}u=\)

  4. \(t^{x-4} : t^{x-6}=\)

  5. \(\left( -x^6 \right)^2=\)

  6. \(\left(b^{4n-1}\right)^2 \cdot b^{-n-1}=\)

  7. \(\left( m^xn^y \right)^3=\)

  8. \(\left( k^3 \right)^5 \cdot k^5=\)

  9. \(\left( a^x b\right)^3 \cdot a^x=\)

  10. \(\dfrac{h^{-4}}{h^{-7}}=\)

  11. \(\dfrac{n^{0}}{n^{-4}}=\)

  12. \(\dfrac{z^{5}}{z^{3-6n}}=\)

  13. \(\left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{-1}=\)

  14. \(\dfrac{54a^3y^2}{18a^{-4}y^8}=\)

  15. \(\dfrac{16u^{-3}w^{-2}}{128u^{-5}w^{0}}=\)

  16. \(\dfrac{(-a)^6}{(-a)^3}=\)

  17. \(\left( a^{-3} b^5\right)^3=\)

  18. \(\left( u^5 v^{-8} x\right)^{-4}=\)

  19. \(\left( \dfrac{3}{4}\right)^{-5} : \left( \dfrac{3}{4}\right)^{-3}=\)

  20. \(\left( \dfrac{-2}{5}\right)^{3} : \left( \dfrac{-2}{5}\right)^{-1}=\)

Exercice 38#

Vitesse de la lumière: \(2.998 \cdot 10^8\,m/s\)
Distance moyenne entre la terre et le soleil: \(1.495 \cdot 10^8 km\)

  1. Combien de temps faut-il aux rayons du soleil pour atteindre la terre?

  2. Vue de la Terre, Sirius est l'étoile la plus brillante du ciel après le Soleil. La lumière de cette étoile voyage pendant 9 ans pour atteindre la terre. Quelle est la distance entre Sirius et la terre?

  3. Le centre de notre Voie Lactée se trouve à une distance de \(3 \cdot 10^{17}km\) de la terre. Combien de temps prendrait une navette spatiale (d'un film de science-fiction) pour atteindre le centre de la Voie Lactée si elle pouvait voyager trois fois plus vite que la lumière?

Exercice 39#

Le corps humain contient environ 5 litres de sang. Il y a 5 millions de globules rouges et \(7\,000\) globules blancs par \(mm^3\) de sang.

  1. Combien notre corps contient-il de globules rougeset combien de globules blancs?

  2. La forme d'un globule rouge est assimilée à celle d'un cylindre de hauteur \(3\mu m\). Si tous ces globules rouges sont empilé pour former une colonne, quelle est la hauteur de la colonne obtenue?

Solutions#

Exercice 32#

  1. \(x^8\)

  2. \(b^{12}\)

  3. \(a^{-6n}\)

  4. \(a^{10} \)

  5. \(x^{-20n}\)

  6. \(a^{-3}\)

  7. \(b^{18}\)

  8. \(6^4=1296\)

  9. \(a^{2n}\)

  10. \(x^{2m+5}\)

  11. \(1\)

  12. \(c^2\)

  13. \(5^{20}\)

  14. \(10^n\)

  15. \((4a)^{-2}\)

  16. \(12^n\)

  17. \(5^x\)

  18. \(3^{-n}\)

  19. \(2^m\)

  20. \(2^5=32\)

  21. \(3^4=81\)

Exercice 33#

  1. \(\dfrac{1}{a^3}\)

  2. \(b\)

  3. \(\dfrac{4}{c^5}\)

  4. \(2x^3\)

  5. \(\dfrac{c^3}{a^2}\)

  6. \(\dfrac{3}{2}\)

  7. \(5^2 = 25\)

  8. \(\dfrac{y^4}{x^4}\)

  9. \(\dfrac{n^{12}m^3}{a^6b^9}\)

Exercice 34#

  1. \(-29\)

  2. \(-14\)

  3. \(\dfrac{1}{3}\)

  4. \(-2\)

  5. \(\dfrac{1}{8}\)

  6. \(-144\)

  7. \(-15\)

Exercice 35#

  1. \(2\)

  2. \(3 \cdot 10^7\)

  3. \(1.6 \cdot 10^{-8}\)

  4. \(1.68 \cdot 10^{10}\)

  5. \(3\)

  6. \(1.8 \cdot 10^1\)

  7. \(1.9 \cdot 10^{5}\)

  8. \(1.296 \cdot 10^{25}\)

  9. \(1.6 \cdot 10^{15}\)

  10. \(8.1 \cdot 10^{5}\)

Exercice 36#

  1. \(4 \cdot 10^6\,mm^2\)

  2. \(6 \cdot 10^{-18}\,km^3\)

  3. \(7.8 \cdot 10^{-5}\,km^3\)

  4. \(9 \cdot 10^{-1}\,m^2\)

Exercice 37#

  1. \(a^{32}\)

  2. \(x^{-11}\)

  3. \(u^{-10}\)

  4. \(t^{2} \)

  5. \(x^{12} \)

  6. \(b^{7n-3}\)

  7. \(m^{3x} n^{3y} \)

  8. \(k^{20}\)

  9. \(a^{4x} b^3\)

  10. \(h^{3}\)

  11. \(n^{4}\)

  12. \(z^{2+6n}\)

  13. \(\dfrac{2}{\pi}\)

  14. \(3a^7y^{-6}\)

  15. \(\dfrac{1}{8} u^{2}w^{-2} \)

  16. \(-a^{3}\)

  17. \(a^{-9} b^{15}\)

  18. \( u^{-20} v^{32} x^{-4}\)

  19. \(\dfrac{16}{9}\)

  20. \(\dfrac{16}{625}\)

Exercice 38#

  1. env. 8 min. 19 sec.

  2. env. \(8.5 \cdot 10^{13}km\).

  3. env. \(10\,577\) années.

Exercice 39#

  1. \(2.5 \cdot 10^{13}\) globules rouges et \(3.5 \cdot 10^{10}\) globules blancs.

  2. \(7.5 \cdot 10^4\,km\)