Challenges sur les nombres

Challenges sur les nombres#

Exercice 1#

Effectuez, sans calculatrice, ces calculs de fractions provenant d'un manuel de 1990.

  1. \(\dfrac{\left(\dfrac{2}{5} + 1 \right) : \left(\dfrac{1}{3} + 1 + 4 : 6\right)}{\dfrac{\dfrac{2}{7} + \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4}} \cdot \left(\dfrac{2}{3} + 4 \right) : 2 - \dfrac{1}{3}} : \left[\dfrac{4}{3} : \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) \right] =\)

  2. \(\dfrac{\left[\dfrac{\dfrac{4}{3} + 3}{\dfrac{13}{9}} + \dfrac{7 \cdot \dfrac{1}{343} \cdot \dfrac{1089}{33} + \dfrac{16}{49}}{4 - \left(\dfrac{5}{2} + 1 \right)} \right] \cdot 2}{\left(\dfrac{1}{3} + 4 \right) \cdot \left(\dfrac{1}{13} + 2 \right) + 1} =\)

Solution

  1. \(\dfrac{1}{16}\)

  2. \(1\)

Exercice 2#

En vous aidant de ces trois formules, calculez.

\[1 + 2 + 3 + \dots + n = \dfrac{n \cdot (n + 1)}{2}\]
\[1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (2n + 1)}{6}\]
\[1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \dfrac{n^2 \cdot (n + 1)^2}{4}\]

  1. \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dots + 2008 =\)

  2. \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 100^2 =\)

  3. \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 100^3 =\)

  4. \((1^3 - 1^2) + (2^3 - 2^2) + (3^3 - 3^2) + \dots + (57^3 - 57^2) =\)

  5. \(56 + 56^2 + 57 + 57^2 + 58 + 58^2 + \dots + 101 + 101^2 =\)

  6. \(1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 77^3 - (1 + 2 + 3 + \dots + 77)^2 =\)

Solution

  1. \(2 \, 017 \, 036\)

  2. \(338 \, 350\)

  3. \(25 \, 502 \, 500\)

  4. \(2 \, 669 \, 044\)

  5. \(295 \, 182\)

  6. \(0\)

Exercice 3#

Une balle est lâchée d'une hauteur de \(12\,m\). Elle rebondit aux trois quarts de sa hauteur de chute.

  1. À quelle hauteur rebondit-elle au 1er rebond?

  2. Au 2e rebond?

  3. Au 3e rebond?

  4. Au 10e rebond?

  5. Au \(n\)ième rebond?

  6. La somme des rebonds est donnée par la formule \(S_n = 36 \cdot (1 - 0.75^n)\)

    1. Vérifiez cette formule pour \(n = 2\) et \(n = 3\).

    2. Calculez \(S_{10}\).

    3. Nous laissons rebondir la balle jusqu'à ce qu'elle ne rebondisse plus.
      Estimez la somme totale de tous les rebonds.

Solution

  1. \(9\,m\)

  2. \(6.75\,m\)

  3. \(5.0625\,m\)

  4. \(\sim 0.676\,m\)

  5. \(12 \cdot 0.75^n\,m\)

  6. \(S_2 = 15.75\,m\), \(S_3 = 20.8125\,m\), \(S_{10} \cong 33.973\,m\)
    Le total des rebonds est de \(36\,m\)

Exercice 4#

Calculez et répondez sous forme de fraction simplifiée.

  1. \(0.8 \overline{3} + 0. \overline{6} =\)

  2. \(0.\overline{7} - 0. 1\overline{2} =\)

  3. \(1.1 \overline{6} \cdot 1. \overline{3} =\)

  4. \(0.\overline{65} : 2. \overline{3} =\)

  5. \((0. \overline{4} + 2. \overline{1} - 1. \overline{2}) \cdot 1.8 \cdot 0. \overline{3} =\)

  6. \((1 - 0. \overline{6})^3 : (0. \overline{5} + 0.1 \overline{6}) =\)

Solution

  1. \(\dfrac{3}{2}\)

  2. \(\dfrac{59}{90}\)

  3. \(\dfrac{14}{9}\)

  4. \(\dfrac{65}{231}\)

  5. \(\dfrac{4}{5}\)

  6. \(\dfrac{2}{39}\)

Exercice 5#

Tout nombre rationnel peut s'écrire comme la somme de fractions du type \(\dfrac{1}{k}\) toutes différentes.

Par exemple:

\[ \dfrac{3}{7} = \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} = \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{56} + \dfrac{1}{8} +\dfrac{1}{56} = \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{56} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{57} + \dfrac{1}{3192}\]

En étudiant l'exemple ci-dessus, écrire la fraction \(\dfrac{3}{8}\) comme somme de fractions du type \(\dfrac{1}{k}\) toutes différentes

Solution

\(\dfrac{3}{8} = \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{72} + \dfrac{1}{73} + \dfrac{1}{90} + \dfrac{1}{5256}\)