Équations

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Équations#

Théorie#

Définition

Une équation du premier degré à une inconnue $x$ est une équation du type

\[ax + b = 0\]

avec $a \text{, }b \in \mathbb{R} \text{ et } a \ne 0

La ou les valeurs qui vérifient l'égalité sont appelées solutions de l'équation.
Résoudre une équation, c'est trouver l'ensemble des solutions, noté $S$.

Exemple 18

$2x-5=6$ est une équation du premier degré et possède une seule solution: $x=\frac{11}{2}$. On écrit $S=\{\frac{11}{2}\}$
$x^2-5x+6=0$ est une équation du deuxième degré et possède deux solutions: $x_1=2$ et $x_2=3$. On écrit $S=\{2;3\}$
$\sqrt{3x+4}=5$ est une équation avec racine et possède une seule solution: $x=7$. On écrit $S=\{7\}$

Propriétés

Pour résoudre une équation, on utilise les règles d'équivalence, celles-ci transforment l'équation sans modifier son ensemble de solutions. Les trois règles d'équivalence sont:

Effectuer du calcul littéral dans ses membres.
Additionner (ou soustraire) un même nombre, un même monôme ou un même polynôme aux deux membres de l'équation.
Multiplier (ou diviser) les deux membres de l'équation par un même nombre non nul.

Exemple 19

\[\begin{split} 3x-7 &= -2x+8 \qquad &|& +2x \quad &\text{(addition du même monôme)}& \\ 5x-7 &= 8 &|& +7 &\text{(addition du même nombre)}&\\ 5x &= 15 &|& :5 &\text{(division par le même nombre)}&\\ x &= 3 && &\\ S &= \{3\} && &\text{ (noter l'ensemble des solutions)}& \end{split}\]

Remarques

Les équations du premier degré peuvent toujours être résolues grâce aux règles d'équivalence et possèdent en général qu'une seule solution. Il existe néanmoins deux cas particuliers:

Si on obtient l'équation $0=0$, alors l'équation est indéterminée. Dans ce cas, tout nombre est solution de l'équation et on écrit $S=\mathbb{R}$.
\[\begin{split} 2(x+15) &= 8x-6(x-5) \qquad &|& \text{CL (Calcul littéral)} &\\ 2x+30 &= 8x-6x+30 &|& \text{CL (Calcul littéral)} &\\ 2x+30 &= 2x+30 &|& -2x &\\ 30 &= 30 && \text{Cette équation est toujours vraie}& \end{split}\]
$S = \mathbb{R}$
Si on obtient l'équation $0=a \text{, où }a \neq 0$, alors l'équation est impossible, on écrit $S=\varnothing$.
\[\begin{split} 4(1-9x) &= -3(12x+1) \qquad &|& \text{CL (Calcul littéral)} &\\ 4-36x &= -36x-3 &|& +36x &\\ 4 &= -3 && \text{Cette équation est toujours fausse} & \end{split}\]
$S = \varnothing$

Exemple 20

Résolvez l'équation suivante:

\[\begin{split} \frac{x}{4}+\frac{1}{2} &= \frac{x-1}{2}-\frac{3x}{2} \qquad \qquad &|& \text{même dénominateur}\\ \frac{x}{4}+\frac{2}{4} &= \frac{2(x-1)}{4}-\frac{6x}{4} &|& \cdot 4\\ x + 2 &= 2(x-1) - 6x &|& \text{CL}\\ x + 2 &= 2x -2 - 6x &|& \text{CL}\\ x + 2 &= -4x - 2 &|& +4x\\ 5x + 2 &= - 2 &|& -2\\ 5x &= - 4 &|& : 5\\ x &= -\dfrac{4}{5} && \\ \end{split}\]

$S = \left\{-\dfrac{4}{5}\right\}$

-> exercice 26, exercice 27, exercice 28, exercice 29 et exercice 30

Exercices#

Exercice 26#

Déterminez l'ensemble des solutions des équations suivantes.

$8x-34=5x-13$
$-x+2(x+9)=5x-4(x-\frac{9}{2})$
$12x-(4(42-x)-9(5-x))=7x$
$(9-2x)^2=(4x-1)(5+x)-24$
$x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x=\frac{5}{6}-\frac{1}{12}x$
$\frac{7x}{3}+\frac{3x-5}{6}=\frac{23x-15}{6}-\frac{9x}{10}+\frac{3}{2}$
$5-(2x+3)=-2(x+1)$
$x+5=2x+3-(x-2)$

Exercice 27#

Résolvez les équations suivantes.

$13-(y+3)=7$
$3x-(8-x)=0$
$5+(d-3)=2-(d+2)$
$0=14+2x-(3x+6)-8x$
$7u+(4-u)=-2-(u+8)$
$(5m+3)+(2m-4)=9-(2-3m)$
$110-(9y-15)+2y=15-18y$
$x-\left((3-6x)-(12x-9)\right)=x+15$
$3x+100=\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{2}-4$
$\dfrac{5x-11}{4}-\dfrac{x-1}{10}=\dfrac{11x-1}{12}$
$\dfrac{x+1}{2}-\dfrac{6x+7}{8}=\dfrac{4-3x}{5}-\dfrac{1}{8}$
$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=10$
$\dfrac{2x}{7}+\dfrac{x}{11}=4+\dfrac{1}{7}$
$\dfrac{1}{2}\left(3x-1\right)-\dfrac{1}{4}\left(4-x\right)=0$
$\dfrac{12-3x}{4}-\dfrac{3x-11}{3}=1$
$\dfrac{x}{4}+\dfrac{943}{1000}=\dfrac{19x}{10}-\dfrac{1703}{250}$
$\dfrac{5}{6}(3x-7)=\dfrac{3}{4}x+4+\dfrac{2}{3}$

Exercice 28#

Résolvez les problèmes suivants à l'aide d'équations du premier degré.

Si on multiplie un nombre par dix et qu'on lui soustrait dix, on obtient le même résultat que si on multiplie ce même nombre par six et qu'on lui additionne deux. Que vaut ce nombre?
Un père a 38 ans et son fils a 11 ans. Après combien d'années le père aura exactement le double de l'âge de son fils?
Un cycliste fait un parcours sur deux jours: - le 1^er jour il fait $\frac{1}{5}$ du parcours et encore $70$ km de plus. - le 2^e jour il fait $\frac{1}{4}$ du parcours et encore $62$ km de plus. Quelle est la longueur totale du parcours?
Si on augmente le côté d'un carré de $5$ cm, alors son aire augmente de $225$ cm$^2$. Quelle est la longueur du côté du carré initial?
Un parcours à vélo de $4000\,m$ passe par un pré, par une colline et par un pont. La colline est 28 fois plus longue que le pont et le pré 11 fois plus long que le pont. Quelle est la longueur du pont?
La somme de trois nombres est 30. Le deuxième nombre est obtenu en ajoutant 3 au premier et le troisième en ajoutant 3 au deuxième. Quels sont ces trois nombres?
La différence entre le quadruple et le quart d'un nombre est 30. Quel est ce nombre?
Jean dépense un cinquième, un quart et un tiers de ce montant. À la fin, il lui reste CHF 520.-. Quel était le montant initial?
On demande son âge à une personne. Elle répond: "Si je double mon âge, que j'y ajoute la moitié et un quart de mon âge et que j'ajoute encore une année, alors j'ai 100 ans." Quel est son âge réel?
Le périmètre d'un triangle vaut $43$ cm. Le côté $b$ vaut $2$ cm de plus que le côté $a$ et le côté $c$ vaut $6$ cm de plus que le côté $b$. Déterminez la longueur de chaque côté.
Dans un triangle, l'angle $\beta$ vaut $15^\circ$ de plus que l'angle $\alpha$ et l'angle $\gamma$ vaut $15^\circ$ de plus que l'angle $\beta$. Déterminez les angles de ce triangle.
Un sapin pousse d'environ 12 cm par année et un chêne d'environ 45 cm. On plante un sapin de 2.5 m et un chêne de 85 cm. Après combien d'années les deux arbres ont-ils la même taille?
Un homme lègue à sa femme, sa fille et ses deux fils 3600 pièces d'or. Dans son testament, il est écrit que sa fille doit recevoir deux fois plus que sa femme et sa femme deux fois plus que chacun des fils. Déterminez le montant que chaque membre de la famille reçoit.

Exercice 29#

Un cycliste s'entraîne progressivement. Il fait une petite sortie le lundi, puis, du mardi au vendredi, il double chaque jour la distance parcourue la veille. Le samedi, il réduit de moitié la distance parcourue le vendredi et se repose le dimanche. En une semaine, le cycliste fait au total 195 km. Quelle distance a-t-il parcourue le mercredi?

Exercice 30#

Résolvez les équations suivantes.

$z+(z-5)=3$
$4x-(2-x)=x-8$
$5t+(7-t)=-1$
$8t-(9+4t)-5=7t-6$
$-9z=(7z+15)-(10z-8+5z)$
$(5x+3)-(2x-2)=23$
$(x+1)+(x-2)-(x+3)=0$
$-(10-8u)-(6-12u)=2-4u$
$-\left(-(12x-9)+8x-60\right)=-(9+x)$
$(7x-6)+(6x-4)-(2-3x)=-4$
$3x-\dfrac{1}{2}(4-x)=x-\dfrac{1}{3}$
$\dfrac{2x}{5}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{5x}{4}-4\right)=x+\dfrac{27}{5}$
$\dfrac{x-2}{3}-\dfrac{12-x}{2}=\dfrac{5x-36}{4}-1$
$\dfrac{5x-1}{7}-\dfrac{9x-7}{5}+\dfrac{9x-5}{11}=0$
$x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=11$
$\dfrac{x}{2}-2-\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{5}=1$
$\dfrac{3x-1}{2}+\dfrac{1-4x}{8}=x-\dfrac{3}{8}$

Challenge#

Résolvez les équations suivantes.

$b+\dfrac{3b}{2}-2=\dfrac{3b}{4}-\dfrac{1}{4}$
$\dfrac{3t}{8}-18-\dfrac{5t}{6}-\dfrac{4t}{5}+\dfrac{3t}{7}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{13t}{14}$
$\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{x}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{x}{5}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{x}{6}$
$18x+\dfrac{x}{4}+\dfrac{5x}{6}-36-8x=360+\dfrac{x}{12}$
$\dfrac{2}{3}x-\dfrac{7}{4}x-5=\dfrac{5}{6}x+\dfrac{x}{2}-\dfrac{39}{2}$
$x+\dfrac{3x}{4}+\dfrac{9x}{16}+\dfrac{27x}{64}+\dfrac{81x}{256}=8591$
$\dfrac{2x+1}{3}+\dfrac{3x+1}{4}=28-\dfrac{5x-2}{7}$
$\dfrac{1}{8}=\dfrac{6x+7}{8}-\dfrac{x+1}{2}+\dfrac{4-3x}{5}$
$\dfrac{10x+11}{6}-\dfrac{14x-13}{3}-4=\dfrac{7-6x}{4}$
$\dfrac{9(134-25x)}{40}+\dfrac{71}{10}=\dfrac{317}{8}-\dfrac{7x}{8}$

Solution

$S=\{1\}$
$S=\left\{ -\frac{2080}{211}\right\} $
$S=\{1\}$
$S=\{36\}$
$S=\{6\}$
$S=\{2816\}$
$S=\{13\}$
$S=\{3\}$
$S=\left\{ \frac{5}{18}\right\} $
$S=\left\{ -\frac{1}{2}\right\} $

Solutions#

Exercice 26#

$S=\{7\}$
$S=\mathbb{R}$
$S=\varnothing$
$S=\{2\}$
$S=\varnothing$
$S=\{\frac{5}{3}\}$
$S=\varnothing$
$S=\mathbb{R}$

Exercice 27#

$S=\left\{ 3\right\} $
$S=\left\{ 2\right\} $
$S=\left\{ -1\right\} $
$S=\left\{ \frac{8}{9}\right\} $
$S=\left\{ -2\right\} $
$S=\left\{ 2\right\} $
$S=\left\{ -10\right\} $
$S=\left\{ \frac{3}{2}\right\} $
$S=\{-48\}$
$S=\{11\}$
$S=\{3\}$
$S=\{12\}$
$S=\{11\}$
$S=\{\frac{6}{7}\}$
$S=\{\frac{68}{21}\}$
$S=\{4.7\} $
$S=\{6\}$

Exercice 28#

Le nombre est 3.
Dans 16 ans.
$240\,km$
$20\,cm$
$100\,m$
7, 10 et 13.
Le nombre est 8.
Il avait CHF 2400.-
La personne a 36 ans.
Les côtés valent $11\,cm$, $13\,cm$ et $19\,cm$.
Les angles mesurent $45^\circ$, $60^\circ$ et $75^\circ$.
Après 5 ans.
La femme reçoit 900, la fille 1800 et les fils chacun 450 pièces d'or.

Exercice 29#

$20\,km$

Exercice 30#

$S=\left\{ 4\right\} $
$S=\left\{ -\frac{3}{2}\right\} $
$S=\left\{ -2\right\} $
$S=\left\{ -\frac{8}{3}\right\} $
$S=\left\{ -23\right\} $
$S=\left\{ 6\right\} $
$S=\left\{ 4\right\} $
$S=\left\{ \frac{3}{4}\right\} $
$S=\left\{ -12\right\} $
$S=\left\{ \frac{1}{2}\right\} $
$S=\left\{ \frac{2}{3}\right\} $
$S=\{-4\}$
$S=\{8\}$
$S=\{3\}$
$S=\{6\}$
$S=\left\{ \frac{20}{3}\right\} $
$S=\mathbb{R}$