Théorèmes métriques#
Théorie#
Droites remarquables d'un triangle
Les médianes
Les médianes sont les segments qui relient un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.
Le point d'intersection des médianes d'un triangle est le centre de gravité.
Les médiatrices
Les médiatrices sont les droites perpendiculaires aux côtés qui passent par leur milieu.
Le point d'intersection des médiatrices d'un triangle est le centre du cercle circonscrit.
Les bissectrices
Les bissectrices sont les droites qui passent par les sommets et qui coupent les angles du triangle en deux angles isométriques.
Le point d'intersection des bissectrices d'un triangle est le centre du cercle inscrit.
Les hauteurs
Les hauteurs sont les segments qui relient un sommet au côté opposé, et qui sont perpendiculaires à ce côté opposé.
Définition
Soit un triangle, les sommets sont notés par des lettres majuscules \(A\), \(B\) et \(C\), les côtés correspondants par des lettres minuscules \(a\), \(b\) et \(c\) et les angles correspondants par les lettres grecques \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\).
Par rapport à l'angle \(\alpha\), \(a\) est le côté opposé, \(b\) et \(c\) sont les côtés adjacents.
Propriétés
La somme des angles d'un triangle vaut toujours \(180^{\circ}\):
\[\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}\]Dans un triangle, la somme des longueurs de deux côtés est toujours supérieure à la longueur du troisième côté.
Pour déterminer l'aire \(A\) d'un triangle, il faut connaître la longueur d'un côté ainsi que la hauteur correspondante:
\[A = \frac{a\cdot h_a}{2} = \frac{b \cdot h_b}{2} = \frac{c\cdot h_c}{2}\]Deux triangles qui ont des angles isométriques sont des triangles semblables.
Définition
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit et les cathètes sont les côtés adjacents à l'angle droit.
Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, la somme des carrés des cathètes est égal au carré de l'hypoténuse.