Équations quadratiques

Équations quadratiques#

Corrigés détaillés

Théorie#

Définition

Une équation du deuxième degré à une inconnue \(x\) est une équation du type

\[ax^2 + bx + c = 0\]

avec \(a \text{, }b \text{ et c } \in \mathbb{R} \text{ et } a \ne 0\)

Théorème

Toute équation quadratique donnée sous la forme \(ax^2+bx+c=0\) peut être résolue à l'aide de la formule suivante

\[\underbrace{x_{1,2}}_{x_1 \text{ et }x_2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

\({x_1}\) et \({x_2}\) sont appelées les racines du trinôme.

L'expression sous la racine

\[\Delta=b^2-4ac\]

est appelée le discriminant et détermine le nombre de solutions d'une équation quadratique:

\(\Delta>0\):

L'équation a deux solutions réelles
Le polynôme factorisé est de la forme: \( a(x - x_{1})(x - x_{2})\)

\(\Delta=0\):

L'équation a une solution réelle (solution double)
Le polynôme factorisé est de la forme: \( a(x - x_{1})^2\)

\(\Delta<0\):

L'équation n'a pas de solution réelle
Le polynôme ne peut pas être factorisé.

Exemple 15

Déterminez le nombre de solutions, les solutions et la forme factorisée des équations suivantes:

  1. \(2x^2 + 6x - 8 = 0\)
    \(a=2\), \(b=6\) et \(c=-8\)
    \( \Delta = b^2-4ac = 6^2-4 \cdot 2 \cdot (-8) = 36 + 64 = 100 \implies \sqrt{\Delta} = \sqrt{100} = 10\)

    \(x_{1,2}=\dfrac{-6 \pm 10}{2 \cdot 2} = \dfrac{-6 \pm 10}{4}\)

    \(x_1 = \dfrac{-6 + 10}{4} = \dfrac{4}{4} = {\color{orange}1}\)
    \(x_2 = \dfrac{-6 - 10}{4} = -\dfrac{16}{4} = {\color{magenta}-4}\)

    Cette équation possède deux solutions: \(S = \{{\color{magenta}-4}; {\color{orange}1}\}\).

    Forme factorisée: \({\color{green}2}x^2 + 6x - 8 = {\color{green}2}(x -{\color{orange}1})(x-({\color{magenta}-4}))=2(x-1)(x+4)\)

  2. \(4x^2 + 2 = 4x\)
    Il faut d'abord tout mettre l'équation sous la bonne forme: \(4x^2 -4x + 2 = 0\)

    \(a=4\), \(b=-4\) et \(c=2\)
    \( \Delta = b^2-4ac = (-4)^2-4 \cdot 4 \cdot 2 = 16 - 32 = -16 < 0\).

    Cette équation n'a pas de solution: \(S = \varnothing\)

    La factorisation n'est pas possible.

  3. \(\frac{3}{2}x^2 + 6x + 6 = 0\)
    Pour résoudre l'équation, il est préférable de se débarasser du dénominateur en multipliant les deux membres par \(2\): \(3x^2 + 12x + 12 = 0\)

    \(a=3\), \(b=12\) et \(c=12\)
    \( \Delta = b^2-4ac = 12^2-4 \cdot 3 \cdot 12 = 144 - 144 = 0\)

    \(x_{1}=-\dfrac{b}{2a} =-\dfrac{12}{2 \cdot 3} = -\dfrac{12}{6} = {\color{magenta}-2}\)

    Cette équation possède une seule solution: \(S = \{{\color{magenta}-2}\}\).

    Forme factorisée: \({\color{green}\frac{3}{2}}x^2 + 6x + 6 = {\color{green}\frac{3}{2}}(x -({\color{magenta}-2)})^2=\frac{3}{2}(x+2)^2\)

    Remarque:

    Pour la forme factorisée, il faut toujours prendre l'équation de départ.

-> exercice 26, exercice 27, exercice 28, exercice 29, exercice 30 et exercice 31.

Exercices#

Exercice 26#

Résolvez les équations suivantes et écrivez le polynôme sous forme factorisée.

  1. \(2x^2=50\)

  2. \(4x^2-9x=0\)

  3. \(x^2+6x=-9\)

  4. \(-\frac{3}{4}x^2+\frac{5}{2}x=4\)

  5. \(3x^2-48=0\)

  6. \(4x^2+\frac{1}{4}x=5x-3\)

  7. \(6x^2-x=2\)

  8. \(4x^2+81=36x\)

  9. \(6x^2-13x-5 = 0\)

Exercice 27#

Résolvez les équations suivantes.

  1. \(5x^2+13x=6\)

  2. \(14x^2+28x+21=0\)

  3. \(6x^2+10x+2=0\)

  4. \(\frac{3}{2}x^2-4x-1=0\)

  5. \(\frac{5}{3}x^2+3x+1=0\)

  6. \(225x^2+210x+49=0\)

  7. \(6x^2-8x-10=0\)

  8. \(\frac{1}{2}x+2x^2=3x^2-\frac{5}{6}\)

  9. \(100x^2+25x-200=0\)

Exercice 28#

En diminuant deux côtés parallèles d'un carré de \(2\,cm\) et en prolongeant les deux autres côtés de \(5\,cm\), on obtient un rectangle dont l'aire vaut \(11\,cm^2\) de plus que celle du carré original.

Quelle est la longueur du côté du carré?

Exercice 29#

Quel nombre positif est de \(48.75\) inférieur à son carré?

Exercice 30#

Si on augmente de \(30\,cm\) le rayon d'un cercle, son aire est triplée.

Que vaut le rayon initial?

Exercice 31#

Résolvez les système suivants en utilisant la méthode de substitution.

  1. \(\begin{cases}x+y &= 7 \\ x \cdot y &= 12\end{cases}\)

  2. \(\begin{cases}x-y &= 5 \\ x \cdot y &= -4\end{cases}\)

  3. \(\begin{cases}x^2+y^2 &= 146 \\ x-y &= 6\end{cases}\)

  4. \(\begin{cases}x^2+y^2 &= 13 \\ x^2-y^2 &= -5\end{cases}\)

Challenge#

La figure ci-dessous est composée d'un rectangle et d'un triangle équilatéral. Le périmètre vaut \(20\,cm\) et l'aire \(15.732\,cm^2\).

Que valent la longueur \(l\) et la largeur \(b\) du rectangle?

../../_images/figure1.png

Solution

La longeur vaut \(l = 7\,cm\) et la largeur \(b = 2\,cm\).

Solutions#

Exercice 26#

  1. \(S=\{5;-5\}\) et \(P(x) = 2(x-5)(x+5)\)

  2. \(S= \{0;\frac{9}{4}\}\) et \(P(x) = 4x (x-\frac{9}{4})= x(4x-9)\)

  3. \(S=\{-3\}\) et \(P(x) = (x+3)^2\)

  4. \(S=\varnothing\) et P(x) ne peut pas être factorisé.

  5. \(S=\{4;-4\}\) et \(P(x) = 3(x-4)(x+4)\)

  6. \(S=\varnothing\) et P(x) ne peut pas être factorisé.

  7. \(S= \{-\frac{1}{2};\frac{2}{3} \}\) et \(P(x) = 6(x+\frac{1}{2})(x-\frac{2}{3}) = (2x+1)(3x-2)\)

  8. \(S= \{\frac{9}{2} \}\) et \(P(x) = 4(x-\frac{9}{2})^2= (2x-9)^2\)

  9. \(S= \{-\frac{1}{3}; \frac{5}{2} \}\) et \(P(x) = 6(x+\frac{1}{3})(x-\frac{5}{2}) = (3x+1)(2x-5)\)

Exercice 27#

  1. \(S=\{-3;\frac{2}{5}\}\)

  2. \(S=\varnothing\)

  3. \(S=\{\frac{-5 - \sqrt{13}}{6};\frac{-5 + \sqrt{13}}{6}\}\)

  4. \(S=\{\frac{4 - \sqrt{22}}{3};\frac{4 + \sqrt{22}}{3}\}\)

  5. \(S=\{\frac{-9 - \sqrt{21}}{10};\frac{-9 + \sqrt{21}}{10}\}\)

  6. \(S=\{-\frac{7}{15}\}\)

  7. \(S=\{\frac{2-\sqrt{19}}{3}; \frac{2+\sqrt{19}}{3}\}\)

  8. \(S=\{\frac{3-\sqrt{129}}{12};\frac{3+\sqrt{129}}{12}\}\)

  9. \(S=\{\frac{-1-\sqrt{129}}{8};\frac{-1+\sqrt{129}}{8}\}\)

Exercice 28#

La longueur du côté du carré mesure \(7\,cm\).

Exercice 29#

Le nombre est \(7.5\).

Exercice 30#

Le rayon inital mesure \(40.981\,cm\).

Exercice 31#

  1. \(S=\{(3;4);(4;3)\}\)

  2. \(S=\{(1;-4);(4;-1)\}\)

  3. \(S=\{(-5;-11);(11;5)\}\)

  4. \(S=\{(2;3);(2;-3);(-2;3);(-2;-3)\}\)