Racines

Racines#

Corrigés détaillés

Théorie#

Définition

La racine carré d'un nombre positif \(a\) est défini comme étant le nombre positif \(x\), qui élevé au carré, donne \(a\):

\[\sqrt{a}=x \Longleftrightarrow x^2=a \text{ où } a,x \geq 0\]

Définition

La racine nième d'un nombre \(a \geq 0\) est le nombre \(x \geq 0\), qui, élevé à la nième puissance, donne \(a\):

\[\sqrt[n]{a}=x \Longleftrightarrow x^n=a \text{ avec } a,x \geq 0\]

Le nombre \(n\) est appelé indice.

Exemple 5

  1. \(\sqrt{16}=4\), car \(4^2=16\)

  2. \(\sqrt[4]{81}=3\), car \(3^4=81\)

  3. \(\sqrt[5]{32}=2\), car \(2^5=32\)

  4. \(\sqrt[6]{x^{12}}=x^2\), car \(\left(x^2\right)^6=x^{12}\)

Remarques

  1. Dans le cas de la racine carrée, l'indice n'est pas noté: \(\sqrt{\phantom{0}}=\sqrt[2]{\phantom{0}}\)

  2. Les racines sont les opérations réciproques des puissances:
    \(a \geq 0\), \(\sqrt[2]{a^2} = (\sqrt[2]{a})^2 = a\) ou \(\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a\)

  3. La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans \(\mathbb{R}\). Dans le cas des racines nième:

    • Si \(a < 0\) et \(n\) est pair, alors \(\sqrt[n]{a}\) n'est pas définie dans \(\mathbb{R}\), car il n'est pas possible d'obtenir un nombre négatif en l'élevant à une puissance paire.

    • Si \(a < 0\) et \(n\) est impair, alors \(\sqrt[n]{a}\) est définie et elle est inférieure à 0.

Exemple 6

  1. \(\sqrt[4]{-16}=\varnothing\) aucun nombre élevé à la puissance 4 n'est négatif

  2. \(\sqrt[5]{-32}=-2\), car \((-2)^5=-32\)

  3. \(\sqrt[3]{-27}=-3\), car \((-3)^3=-27\)

Théorème - Règles de calcul pour les racines

Soient \(a, b > 0\) et \(m, n \in\mathbb{Z}\), alors

Formules

  1. \(\sqrt[n]{a\cdot b} =\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{ b}\)

Exemples numériques

\(\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{2 \cdot 4}=\sqrt[3]{8} = 2\)

  1. \(\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} =\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\)

\(\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}=\dfrac{4}{5}\)

  1. \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n \cdot m]{a}\)

\(\sqrt[3]{\sqrt[2]{a^6}}=\sqrt[3 \cdot 2]{a^6}=\sqrt[6]{a^6}=a\)

  1. \(\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m\)

\(\sqrt[3]{8^5}=\left( \sqrt[3]{8}\right)^5=2^5=32\)

Si \(a, b < 0\), ces règles de calcul ne pourront être appliquées que si m et n sont des nombres impairs.

-> exercice 9.

Exemple 7

Pour effectuez un extraction de racine, il faut écrire, si possible, la valeur sous la racine sous forme de carré.

  1. \(\sqrt{18}=\sqrt{9 \cdot 2}=\sqrt{3^2 \cdot 2}=\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}\)

  2. \(\sqrt{800}=\sqrt{100 \cdot 4 \cdot 2}=\sqrt{10^2 \cdot 2^2 \cdot 2}=\sqrt{10^2} \cdot \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{2}=10 \cdot 2 \cdot \sqrt{2} = 20\sqrt{2}\)

-> exercice 10.

Définition

Pour tout \(a >0\), \(m \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{Z}^*\) on a

\[a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}\]

Exemple 8

  1. \(5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}\)

  2. \(2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}\)

  3. \(3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}\)

  4. \(9^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{9}\)

Définition

Pour tout \(a >0\), \(m \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{Z}^*\) on a

\[a^{\frac{m}{n}}=\left( a^m\right)^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a^m} \text{ \quad ou \quad}a^{\frac{m}{n}}=\left( a^{\frac{1}{n}}\right)^m=\left( \sqrt[n]{a}\right)^m\]

Exemple 9

  1. \(27^{\frac{2}{3}}=\left( \sqrt[3]{27} \right)^2=3^2=9\)

  2. \(25^{\frac{3}{2}}=\left( \sqrt{25} \right)^3=5^3=125\)

  3. \(9^{0.5}=9^{\frac{1}{2}}= \sqrt{9}=3\)

  4. \(8^{-\frac{1}{3}}= \dfrac{1}{8^{\frac{1}{3}}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{8}}=\dfrac{1}{2}\)

-> exercice 11, exercice 12, exercice 13 et exercice 14.

Exemple 10

Dans un calcul avec des puissances et des racines, il faut commencer par convertir les racines en puissances, ensuite il est possible d'appliquer les règles de calcul.

  1. \[\begin{split}\left( x^{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[4]{x} \right) : \sqrt[3]{x^2}&=\left(x^{\frac{5}{6}} \cdot x^{\frac{1}{4}} \right):x^{\frac{2}{3}}\\ &=x^{\frac{10}{12}+\frac{3}{12}-\frac{8}{12}}\\ &=x^{\frac{5}{12}}\end{split}\]
  2. \[\begin{split}\left( \sqrt[4]{a \cdot \sqrt[3]{a}}\right)^3&= \left( \sqrt[4]{a \cdot a^{\frac{1}{3}}}\right)^3\\ &=\left( \sqrt[4]{a^{\frac{3}{3}+\frac{1}{3}}}\right)^3\\ &=\left( \sqrt[4]{a^{\frac{4}{3}}}\right)^3\\ &=\left( \left(a^{\frac{4}{3}} \right)^{\frac{1}{4}} \right)^3\\ &= a^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 3} = a^{\frac{12}{12}}=a\end{split}\]
  3. \[\begin{split}\left( \dfrac{x^{\frac{7}{4}} \cdot y^{\frac{2}{3}}}{\sqrt[4]{y} \cdot \sqrt[3]{x^5}} \right)^{24}&=\left( \dfrac{x^{\frac{7}{4}} \cdot y^{\frac{2}{3}}}{y^{\frac{1}{4}} \cdot x^{\frac{5}{3}}} \right)^{24}\\ &=\left( \dfrac{x^{\frac{7}{4}} \cdot y^{\frac{2}{3}}}{{x^{\frac{5}{3}} \cdot y^\frac{1}{4}}} \right)^{24}\\ &= \left( \dfrac{x^{\frac{7}{4}}}{x^{\frac{5}{3}}} \cdot \dfrac{y^{\frac{2}{3}}}{y^\frac{1}{4}} \right)^{24}\\ &=\left( x^{\frac{7}{4}-\frac{5}{3}} y^{\frac{2}{3}-\frac{1}{4}}\right)^{24}\\ &=\left( x^{\frac{21}{12}-\frac{20}{12}} y^{\frac{8}{12}-\frac{3}{12}}\right)^{24}\\ &= \left( x^{\frac{1}{12}} y^{\frac{5}{12}}\right)^{24}\\ &= x^{\frac{1}{12} \cdot 24} y^{\frac{5}{12} \cdot 24}=x^2y^{10}\end{split}\]

-> exercice 15 et exercice 16.

Définition

La rationalisation d'un dénominateur est un procédé qui permet d'éliminer les racines du dénominateur d'une fraction.

Exemple 11

Il suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par la racine.

  1. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot {\color{red}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

  2. \(\dfrac{36}{\sqrt{6}} = \dfrac{36}{\sqrt{6}} \cdot {\color{red}\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}} = \dfrac{36 \sqrt{6}}{6} = 6 \sqrt{6}\)

  3. \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot {\color{red}\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}\)

-> exercice 17.

Exercices#

Exercice 9#

Calculez et simplifiez les expressions suivantes à l'aide des règles de calcul pour les racines.

  1. \(\sqrt{12} \sqrt{3}=\)

  2. \(\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{4}=\)

  3. \(\sqrt{5} \sqrt{\dfrac{1}{35}}=\)

  4. \(\sqrt{345^2}=\)

  5. \(\sqrt{3^2+4^2}=\)

  6. \(\dfrac{3}{\sqrt{15}} \sqrt{\dfrac{5}{6}}=\)

  7. \(\sqrt{\sqrt{16}}=\)

  8. \(\sqrt[3]{\sqrt{8}}=\)

  9. \(-\sqrt{\dfrac{28}{5}} \sqrt{\dfrac{35}{4}}=\)

Exercice 10#

Effectuez l'extraction de racines.

  1. \(\sqrt{12}=\)

  2. \(\sqrt{80}=\)

  3. \(\sqrt{27}=\)

  4. \(\sqrt{72}=\)

  5. \(\sqrt{147}=\)

  6. \(\sqrt{216}=\)

  7. \(\sqrt{500}=\)

  8. \(\sqrt{108}=\)

  9. \(\sqrt{75}=\)

  10. \(\sqrt[3]{16}=\)

  11. \(\sqrt[3]{54}=\)

  12. \(\sqrt[3]{32}=\)

Exercice 11#

Effectuez les calculs sans calculatrice.

  1. \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{21}=\)

  2. \((\sqrt{3})^6=\)

  3. \(\sqrt{5} ( \sqrt{20} + \sqrt{5})=\)

  4. \(\sqrt{45} : \sqrt{5}=\)

  5. \(\sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}=\)

  6. \((\sqrt{2} )^8=\)

  7. \(\sqrt{6} \left(\sqrt{\dfrac{1}{3}} + \sqrt{\dfrac{1}{2}} \right)=\)

  8. \(\dfrac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{32}}{\sqrt{6}}=\)

  9. \(\dfrac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{12}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{27}} \cdot \sqrt{2 \cdot \dfrac{2}{3}}=\)

Exercice 12#

Effectuez les calculs. Répondre sous forme de nombre entier ou de fraction irréductible.

  1. \(9^{-2}=\)

  2. \(9^{0}=\)

  3. \(9^{-\frac{1}{2}}=\)

  4. \(8^{\frac{2}{3}}=\)

  5. \(10^{-5}=\)

  6. \(16^{-\frac{3}{2}}=\)

  7. \(49^{\frac{1}{2}}=\)

  8. \(100^{0}=\)

  9. \(25^{-\frac{1}{2}}=\)

  10. \(4^{\frac{5}{2}}=\)

  11. \(81^{\frac{1}{4}}=\)

  12. \(27^{-\frac{2}{3}}=\)

Exercice 13#

Transformez les puissances avec exposants rationnels en racines.

  1. \(a^{\frac{1}{2}}=\)

  2. \(m^{\frac{1}{3}}=\)

  3. \(f^{\frac{3}{4}}=\)

  4. \(x^{-\frac{1}{5}}=\)

  5. \(b^{0.5}=\)

  6. \(\left( a^2 b^3\right)^{\frac{3}{4}}=\)

Exercice 14#

Transformez les racines en puissances.

  1. \(\sqrt{a}=\)

  2. \(\sqrt{a^3}=\)

  3. \(\sqrt[4]{a^5}=\)

  4. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a}}=\)

  5. \(\sqrt[5]{a}=\)

  6. \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a^2}}=\)

  7. \(\left( \sqrt[4]{a} \right)^3=\)

  8. \(\dfrac{1}{\sqrt{a^7}}=\)

  9. \(\sqrt[3]{a^7}=\)

Exercice 15#

Écrivez le résultat comme une seule puissance ou une seule racine.

  1. \(\sqrt{a} \cdot a^5 \cdot a^{\frac{3}{4}}\)

  2. \(\sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x^5} \cdot x^{\frac{1}{4}}\)

  3. \(\left( \sqrt{b^7} \right)^3 \cdot b^{\frac{2}{7}}\)

  4. \(\dfrac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot x^{\frac{7}{3}}\)

  5. \(\sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt{a}\)

  6. \(\left( b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{4}} \cdot \sqrt{b^9} \right)^2\)

Exercice 16#

Écrivez le résultat comme une seule puissance ou une seule racine.

  1. \(\sqrt{\sqrt[3]{64}}\)

  2. \(\sqrt[7]{\sqrt[5]{a^{14}}}\)

  3. \(\sqrt[10]{\sqrt[5]{a^{50}}}\)

  4. \(\sqrt[8]{a^{-4}}\)

  5. \(\sqrt[3]{a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2}}\)

  6. \(\sqrt{x^4 \cdot \sqrt[3]{x^{\frac{1}{2}}}}\)

Exercice 17#

Rendez rationnel le dénominateur des fractions suivantes:

  1. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

  2. \(\dfrac{25}{\sqrt{5}}\)

  3. \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\)

  4. \(\dfrac{2}{\sqrt{7}}\)

  5. \(\dfrac{1}{3\sqrt{11}}\)

  6. \(\dfrac{12}{\sqrt{3}}\)

  7. \(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}}\)

  8. \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}}\)

  9. \(\dfrac{2}{3\sqrt{6}}\)

  10. \(\dfrac{4}{3\sqrt{7}}\)

  11. \(\dfrac{15}{2\sqrt{10}}\)

  12. \(\dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{6}}\)

Challenge#

Simplifiez le plus possible.

  1. \[\sqrt{\dfrac{\sqrt[4]{a^{\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt{a^{-8}}}{\sqrt[3]{a^{-5}}}} : \dfrac{\sqrt[6]{a^{\frac{3}{4}}}}{\sqrt[3]{a^2}}\]
  2. \[\dfrac{\sqrt{\sqrt[3]{\left( \dfrac{1}{b^2}\right)^{-4}}\cdot \sqrt{b \cdot \sqrt[3]{b^2}}}}{b \cdot \sqrt[6]{b \sqrt{b}}\cdot \sqrt{b^{-1} \cdot \sqrt[3]{b^2}} }\]

Solution

  1. \(a^{-\frac{7}{12}}\)

  2. \(b^{\frac{2}{3}}\)

Solutions#

Exercice 9#

  1. \(6\)

  2. \(2\)

  3. \(\dfrac{1}{\sqrt{7}}\)

  4. \(345\)

  5. \(5\)

  6. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

  7. \(2\)

  8. \(\sqrt{2}\)

  9. \(-7\)

Exercice 10#

  1. \(2 \sqrt{3}\)

  2. \(4 \sqrt{5}\)

  3. \(3 \sqrt{3}\)

  4. \(6 \sqrt{2}\)

  5. \(7 \sqrt{3}\)

  6. \(6 \sqrt{6}\)

  7. \(10 \sqrt{5}\)

  8. \(6 \sqrt{3}\)

  9. \(5 \sqrt{3}\)

  10. \(2\sqrt[3]{2}\)

  11. \(3\sqrt[3]{2}\)

  12. \(2\sqrt[3]{4}\)

Exercice 11#

  1. \(21\)

  2. \(27\)

  3. \(15\)

  4. \(3\)

  5. \(9\)

  6. \(16\)

  7. \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

  8. \(4\)

  9. \(\dfrac{4\sqrt{2}}{9}\)

Exercice 12#

  1. \(\dfrac{1}{81}\)

  2. \(1\)

  3. \(\dfrac{1}{3}\)

  4. \(4\)

  5. \(\dfrac{1}{100\,000}\)

  6. \(\dfrac{1}{64}\)

  7. \(7\)

  8. \(1\)

  9. \(\dfrac{1}{5}\)

  10. \(32\)

  11. \(3\)

  12. \(\dfrac{1}{9}\)

Exercice 13#

  1. \(\sqrt{a}\)

  2. \(\sqrt[3]{m}\)

  3. \(\sqrt[4]{f^3}\)

  4. \(\dfrac{1}{\sqrt[5]{x}}\)

  5. \(\sqrt{b}\)

  6. \(\sqrt[4]{a^6b^9}\)

Exercice 14#

  1. \(a^{\frac{1}{2}}\)

  2. \(a^{\frac{3}{2}}\)

  3. \(a^{\frac{5}{4}}\)

  4. \(a^{-\frac{1}{3}}\)

  5. \(a^{\frac{1}{5}}\)

  6. \(a^{-\frac{2}{3}}\)

  7. \(a^{\frac{3}{4}}\)

  8. \(a^{-\frac{7}{2}}\)

  9. \(a^{\frac{7}{3}}\)

Exercice 15#

  1. \(a^{\frac{25}{4}}=\sqrt[4]{a^{25}}\)

  2. \(x^{\frac{41}{12}}=\sqrt[12]{x^{41}}\)

  3. \(b^{\frac{151}{14}}=\sqrt[14]{b^{151}}\)

  4. \(x^{\frac{28}{15}}=\sqrt[15]{x^{28}}\)

  5. \(a^{\frac{77}{60}}=\sqrt[60]{a^{77}}\)

  6. \(b^{\frac{65}{6}}=\sqrt[6]{b^{65}}\)

Exercice 16#

  1. \(\sqrt[6]{64}=64^{\frac{1}{6}}=2\)

  2. \(\sqrt[5]{a^2}=a^{\frac{2}{5}}\)

  3. \(a\)

  4. \(a^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{a}}\)

  5. \(\sqrt[9]{a^8}=a^{\frac{8}{9}}\)

  6. \(\sqrt[12]{x^{25}}=x^{\frac{25}{12}}\)

Exercice 17#

  1. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

  2. \(\dfrac{25}{\sqrt{5}} = 5\sqrt{5}\)

  3. \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{15}}{5}\)

  4. \(\dfrac{2}{\sqrt{7}} = \dfrac{2\sqrt{7}}{7}\)

  5. \(\dfrac{1}{3\sqrt{11}} = \dfrac{\sqrt{11}}{33}\)

  6. \(\dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\)

  7. \(\dfrac{\sqrt{7}}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{42}}{6}\)

  8. \(\dfrac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{10}}{15}\)

  9. \(\dfrac{2}{3\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{6}}{9}\)

  10. \(\dfrac{4}{3\sqrt{7}} = \dfrac{4\sqrt{7}}{21}\)

  11. \(\dfrac{15}{2\sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{4}\)

  12. \(\dfrac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{30}}{9}\)