Puissances

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Puissances#

Théorie#

Définition

La n^ième puissance d'un nombre \(a\) est le produit de \(n\) facteurs \(a\):

\[a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ facteurs}} \text{ avec } a \in \mathbb{R} \text{ et } n \in \mathbb{N}.\]

Le nombre \(a\) est appelé base et \(n\) est appelé exposant de la puissance. L'expression \(a^n\) se lit \(a\) puissance \(n\).\ De plus

\[a^0=1 \text{ pour tout }a \neq 0.\]

Remarques

L'expression \(0^0\) n'est pas définie!
La définition des puissances donne le résultat suivant

\[\begin{split}(-a)^n=\left\{ \begin{array}{ll} a^n & \text{ si } n \text{ est pair} \\ -a^n & \text{ si } n \text{ est impair} \end{array}\right.\end{split}\]
Les puissances sont à calculer avant les multiplications. C'est pour cela que le signe \(-\) ne doit pas être pris en considération pour une puissance s'il n'y a pas de parenthèses.

\[-a^n=(-1) \cdot a^n\]

Exemple 1

\((-2)^4=2^4=16\)
\((-3)^3=-3^3=-27\)
\(-2^4=-16\)

Théorème - Règles de calcul pour les puissances

Soient \(a, b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) et \(n,m \in\mathbb{Z}\), alors

Formules

\(a^n \cdot a^m =a^{n+m}\)

Exemples numériques

\(a^3 \cdot a^4 =a^{3+4}=a^7\)

\(\dfrac{a^n}{a^m} =a^{n-m}\)

\(\dfrac{x^6}{x^3}=x^{6-3}=x^3\)

\(\left(a^n\right)^m=a^{n \cdot m}\)

\(\left(b^4\right)^5=b^{4 \cdot 5}=b^{20}\)

\((a \cdot b)^n =a^n \cdot b^n\)

\((x^2y^3)^5=x^{2 \cdot 5}y^{3 \cdot 5}=x^{10}y^{15}\)

\(\left( \dfrac{a}{b} \right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\)

\(\left( \dfrac{a^4}{b^2}\right)^3=\dfrac{a^{4 \cdot 3}}{b^{ 2 \cdot 3}}=\dfrac{a^{12}}{b^{6}}\)

Démonstration

\[a^n \cdot a^m = \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ fois}} \cdot \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m\text{ fois}}= \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n+m\text{ fois}}=a^{n+m}\]
\[\dfrac{a^n}{a^m} = \dfrac{\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}}}{\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m\text{ fois}}} \overset{\color{red}\text{simpl. des a}}{=} \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n-m\text{ fois}}=a^{n-m}\]
\[\left(a^n\right)^m = (\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}})^m = \underbrace{(\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}}) \cdot \ldots \cdot (\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}})}_{m\text{ fois}} =a^{n \cdot m}\]
\[(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot \ldots \cdot (a \cdot b)}_{n\text{ fois}} \overset{\color{red}\text{commutativité}}{=} \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ fois}} \cdot \underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n\text{ fois}}=a^n \cdot b^n\]
\[\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \underbrace{\dfrac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \dfrac{a}{b}}_{n\text{ fois}} = \dfrac{\overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{n\text{ fois}}}{\underbrace{b \cdot \ldots \cdot b}_{n\text{ fois}}}=\dfrac{a^n}{b^n}\]

Définition

Une puissance avec exposant négatif \(a^{-n}\) est l'inverse de la puissance \(a^n\), c'est-à-dire

\[a^{-n}=\frac{1}{a^n} \quad \text{ et } \quad \frac{1}{a^{-n}}=a^n\]

Démonstration

\(a^n \cdot a^{-n} = a^{n+(-n)}=a^0=1\)

\[\begin{split}\implies a^n \cdot a^{-n} &= 1 \qquad | :a^n\\ a^{-n} &= \frac{1}{a^n}\end{split}\]
\[\begin{split}\implies a^n \cdot a^{-n} &= 1 \qquad | :a^{-n}\\ a^{n} &= \frac{1}{a^{-n}}\end{split}\]

Exemple 2

\(2^{-2}=\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}\)
\(5 \cdot b^{-3}= 5 \cdot \dfrac{1}{b^3} = \dfrac{5}{b^3}\)
\(\left( \dfrac{3}{x} \right)^{-1}= \dfrac{x}{3}\) (inverse d'une fraction)
\(\dfrac{2}{6^{-2}}= 2 \cdot \dfrac{1}{6^{-2}} = 2 \cdot 6^2=72\)

-> exercice 1, exercice 2, exercice 3 et exercice 4.

Définition - Notation scientifique

Tout nombre \(x\) peut être écrit comme le produit d'un nombre \(a\) entre \(1\) et \(10\) (ou entre \(-10\) et \(-1\) si le nombre \(x\) est négatif) et une puissance de \(10\), c'est-à-dire

\[x=a \cdot 10^n \text{ avec } 1\leq|a|<10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}\]

Exemple 3

\(1\,000\,000=1 \cdot 10^6=10^6\)
\(1\,236=1.236 \cdot 10^3\)
\(-27\,720\,000\,000=-2.772 \cdot 10^{10}\)
\(0.0000021 =2.1 \cdot 10^{-6}\)

Exemple 4

\(5\,200\,000 \cdot 0.0006=5.2 \cdot 10^6 \cdot 6\cdot 10^{-4}=5.2 \cdot 6 \cdot 10^6 \cdot 10^{-4}=31.2 \cdot 10^2=3\,120\)
\(\dfrac{20\,000^2}{0.01^3}=\dfrac{(2 \cdot 10^4)^2}{(1 \cdot 10^{-2})^3}= \dfrac{4 \cdot 10^8}{1 \cdot 10^{-6}}=\dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{10^8}{10^{-6}}=4 \cdot 10^{8-(-6)}=4 \cdot 10^{14}\)

-> exercice 5, exercice 6, exercice 7 et exercice 8.

Exercices#

Exercice 1#

Simplifiez à l'aide des règles de calcul pour les puissances et écrivez le résultat comme une seule puissance.

\(x^2 \cdot x^6=\)
\(b^7 \cdot b^5=\)
\(\left(a^{3n}\right)^{-2}=\)
\(a^2 \cdot a^5 \cdot a^3=\)
\(\left(x^{4n}\right)^{-5}=\)
\(\dfrac{a^2}{a^5}=\)
\((b^6)^3=\)
\(\left( \dfrac{6^6}{6^4}\right) \cdot 6^2=\)
\(a^{n+1} \cdot a^{n-1}=\)
\(x^{3m+3} \cdot x^{-m+2}=\)
\(\dfrac{x^4}{x^4}=\)
\(c^4 \cdot c^3 \cdot c^{-5}=\)
\(\left( (-5)^4\right)^5=\)
\(2^n \cdot 5^n=\)
\(4^{-2} \cdot a^{-2}=\)
\((-4)^n \cdot (-3)^n=\)
\(10^x \cdot 0.5^x=\)
\(9^{-n} : 3^{-n}=\)
\(10^m :5^m=\)
\((4c)^5:(2c)^5=\)
\(\left( \dfrac{x}{2}\right)^4 : \left( \dfrac{x}{6} \right)^4=\)

Exercice 2#

Transformez pour supprimer les exposants négatifs et les parenthèses.

\(a^{-3}=\)
\(\dfrac{1}{b^{-1}}=\)
\(4 \cdot c^{-5}=\)
\(\dfrac{2}{x^{-3}}=\)
\(a^{-2} \cdot c^{3} =\)
\(\left( \dfrac{2}{3} \right)^{-1}=\)
\(\left( \dfrac{1}{5} \right)^{-2}=\)
\(\left( \dfrac{x}{y} \right)^{-4}=\)
\(\left( \dfrac{a^2b^3}{n^4m} \right)^{-3}=\)

Exercice 3#

Calculez (sans calculatrice).

\((-2)^3 - 5 \cdot 6 + (-3)^2 =\)
\((3+6)-5-2 \cdot (2+1)^2=\)
\(\dfrac{1}{5 \cdot 4^0} + \left( \dfrac{15}{14} \right)^{-1} \cdot \dfrac{1}{7}=\)
\(3+2 \cdot 2^2 +4 \cdot 3 -(6-1)^2=\)
\(\dfrac{1}{12}+ \left( \dfrac{2}{3}\right)^{-1}:(-6)^2=\)
\(2^2 \cdot (2-4)^5 -2^2 \cdot 4=\)
\(1-2^2:\dfrac{3^{-1}+6^{-1}}{2}=\)

Exercice 4#

Simplifiez le plus possible.

\(a^4 a^{28}=\)
\(x^{-25}x^{14}=\)
\(u^{-4}u^{-7}u=\)
\(t^{x-4} : t^{x-6}=\)
\(\left( -x^6 \right)^2=\)
\(\left(b^{4n-1}\right)^2 \cdot b^{-n-1}=\)
\(\left( m^xn^y \right)^3=\)
\(\left( k^3 \right)^5 \cdot k^5=\)
\(\left( a^x b\right)^3 \cdot a^x=\)
\(\dfrac{h^{-4}}{h^{-7}}=\)
\(\dfrac{n^{0}}{n^{-4}}=\)
\(\dfrac{z^{5}}{z^{3-6n}}=\)
\(\left( \dfrac{\pi}{2} \right)^{-1}=\)
\(\dfrac{54a^3y^2}{18a^{-4}y^8}=\)
\(\dfrac{16u^{-3}w^{-2}}{128u^{-5}w^{0}}=\)
\(\dfrac{(-a)^6}{(-a)^3}=\)
\(\left( a^{-3} b^5\right)^3=\)
\(\left( u^5 v^{-8} x\right)^{-4}=\)
\(\left( \dfrac{3}{4}\right)^{-5} : \left( \dfrac{3}{4}\right)^{-3}=\)
\(\left( \dfrac{-2}{5}\right)^{3} : \left( \dfrac{-2}{5}\right)^{-1}=\)

Exercice 5#

Calculez à l'aide de la notation scientifique et des règles de calcul des puissances (réponse en notation scientifique).

\(0.004 \cdot 500=\)
\(60\,000\,000\,000 : 2\,000=\)
\(4 \cdot 10^{10} \cdot 4 \cdot 10^{-19}=\)
\(6 \cdot 10^1 \cdot 7 \cdot 10^{12} \cdot 4 \cdot 10^{-5}=\)
\(3\,000 \cdot 0.00000005 \cdot 20\,000=\)
\(1 \cdot 10^{-5} \cdot 9 \cdot 10^5 \cdot 2=\)
\(10 \cdot 10^{-5} \cdot 10^3 \cdot 10^5 \cdot 19 =\)
\(\left(2 \cdot 10^3\right)^4 \cdot \left(9 \cdot 10^5\right)^2=\)
\(200^4 \cdot 1\,000^2=\)
\(0.0003^4 : 0.0001^5=\)

Exercice 6#

Transformez dans l'unité demandée (réponse en notation scientifique).

\(400 \, dm^2\) en \(mm^2\).
\(6 \, mm^3\) en \(km^3\).
\(78\,000\,000\) litres en \(km^3\).
\(9\,000\,cm^2\) en \(m^2\).

Exercice 7#

Vitesse de la lumière: \(2.998 \cdot 10^8\,m/s\)
Distance moyenne entre la terre et le soleil: \(1.495 \cdot 10^8 km\)

Combien de temps faut-il aux rayons du soleil pour atteindre la terre?
Vue de la Terre, Sirius est l'étoile la plus brillante du ciel après le Soleil. La lumière de cette étoile voyage pendant 9 ans pour atteindre la terre. Quelle est la distance entre Sirius et la terre?
Le centre de notre Voie Lactée se trouve à une distance de \(3 \cdot 10^{17}km\) de la terre. Combien de temps prendrait une navette spatiale (d'un film de science-fiction) pour atteindre le centre de la Voie Lactée si elle pouvait voyager trois fois plus vite que la lumière?

Exercice 8#

Le corps humain contient environ 5 litres de sang. Il y a 5 millions de globules rouges et \(7\,000\) globules blancs par \(mm^3\) de sang.

Combien notre corps contient-il de globules rougeset combien de globules blancs?
La forme d'un globule rouge est assimilée à celle d'un cylindre de hauteur \(3\mu m\). Si tous ces globules rouges sont empilé pour former une colonne, quelle est la hauteur de la colonne obtenue?

Solutions#