Factorisation

Factorisation#

Théorie#

La factorisation est l'opération réciproque de la distribution d'un produit de polynômes.

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Pour contrôler si une factorisation est correcte, il suffit de distribuer le résultat obtenu et de comparer avec la donnée initiale!

Mise en évidence#

Mise en évidence

Pour la mise en évidence, il faut:

  1. trouver le facteur commun à chaque monôme qui compose le polynôme,

  2. mettre en évidence ce facteur commun.

Exemple 8

  1. \(x^2y+xy^5-x^2y^2=xy(x+y^4 - xy)\)

  2. \(4a^2b+12az^6-8a=4a(ab+3z^6-2)\)

  3. \(5nm^2-25n^2m^3+20m^5=5m^2(n-5n^2m+4m^3)\)

  4. \(−6x^2y+18xy^2−12y^4=−6y(x^2−3xy+2y^3)\)

Vidéo - Théorie

Vidéo - Exercices résolus

La mise en évidence simultanée de tous les termes est parfois impossible, mais cela devient faisable en les regroupant judicieusement.

Exemple 9

  1. \(3(x+1)+y(x+1)=(3+y)(x+1)\)

  2. \(a(x-y)-2(x-y)=(a-2)(x-y)\)

  3. \(x(x-3)+(x-3)=(x-3)(x+1)\)

  4. Regroupez les termes deux à deux:

    \[\begin{split} x^2y-xy^2+x-y &=(x^2y-xy^2)+(x-y)\\ &=xy(x-y)+1(x-y)\\ &=(xy+1)(x-y) \end{split}\]

  5. Regroupez les termes deux à deux:

    \[\begin{split} 3y+6+xy+2x &=(3y+6)+(xy+2x)\\ &=3(y+2)+x(y+2)\\ &=(3+x)(y+2) \end{split}\]

Vidéo - Théorie

Vidéo - Exercices résolus

-> ex 9 et ex 10

Identités remarquables#

Identités remarquables

Il faut connaître les identités remarquables suivantes par coeur et les appliquer. Certaines sont très faciles à reconnaître.

\[\begin{split}a^2+2ab+b^2 &= (a+b)^2 \\ a^2-2ab+b^2 &= (a-b)^2\\ a^2-b^2 &= (a+b)(a-b)\\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 &= (a+b)^3\\ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 &= (a-b)^3\end{split}\]

Remarque: \(a^2+b^2\) n'est pas factorisable.

Exemple 10

a) \(\; a^2+8a+16=(a+4)^2\)

utilisez

\(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\)

b) \(\;4x^2-12x+9=(2x-3)^2\)

utilisez

\(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\)

c) \(\;25x^2-y^2=(5x+y)(5x-y)\)

utilisez

\(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)

d) \(\;x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\)

utilisez

\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Vidéo - Théorie

-> ex 11 et ex 12

Décomposition du trinôme de deuxième degré#

Définition

Un trinôme est un polynôme composé de trois monômes. Des trinômes du type \(x^2+ax+b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers, peuvent souvent être factorisés grâce à une simple astuce.

Trinômes avec \(a=1\)

\(x^2+bx+c\)
Il faut trouver les deux nombres tel que:

\[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= c\\ \dots \: + \: \dots &= b\end{split}\]

Si \(c > 0\) et \(b > 0\), alors les deux nombres cherchés sont positifs. Si \(c > 0\) et \(b < 0\), alors les deux nombres cherchés sont négatifs. Si \(c < 0\), alors les deux nombres cherchés sont de signes différents.

Exemple 11

  1. Pour factoriser \(x^2+7x+12\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= 12\\ \dots \: + \: \dots &= 7\end{split}\]
    \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\)

  2. Pour factoriser \(x^2-8x+15\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= 15\\ \dots \: + \: \dots &= -8\end{split}\]
    \(x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\)

  3. Pour factoriser \(x^2+3x-18\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= -18\\ \dots \: + \: \dots &= 3\end{split}\]
    \(x^2+3x-18=(x+6)(x-3)\)

Exercices supplémentaires

Série d'exercices de factorisation de trinômes 1

source: (https://gomaths.edu-vd.ch/alg_calc_litt.php)

Trinômes avec \(a \neq 1\)

\(ax^2+bx+c\)
Si \(a \neq 1\), la méthode est la suivante:

  1. Trouvez les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= a \cdot c\\ \dots \: + \: \dots &= b\end{split}\]

  2. Décomposez le terme du x en 2 termes en utilisant les nombres trouvés en 1.

  3. Mettez en évidence en regroupant les termes deux par deux.

Exemple 12

  1. Pour factoriser \(2x^2 + 13x - 7\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= -14\\ \dots \: + \: \dots &= 13\end{split}\]
    Comme \(c < 0\), alors les deux nombres cherchés sont de signes différents.
    Les deux nombres sont \(-1\) et \(14\).
    Remplacez \(13x\) par \(-x + 14x\), ensuite mettez en évidence en regroupant les termes deux par deux.
    \[\begin{split} 2x^2 + 13x - 7 &=2x^2-x+14x-7\\ &=(2x^2-x)+(14x-7)\\ &=x(2x-1)+7(2x-1)\\ &=(x+7)(2x-1) \end{split}\]

  2. Pour factoriser \(3x^2 - 2x - 8\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= -24\\ \dots \: + \: \dots &= -2\end{split}\]
    Comme \(c < 0\), alors les deux nombres cherchés sont de signes différents.
    Les deux nombres sont \(-6\) et \(4\).
    Remplacez \(-2x\) par \(-6x + 4x\), ensuite mettez en évidence en regroupant les termes deux par deux.
    \[\begin{split}3x^2 - 2x - 8 &=3x^2-6x+4x-8\\ &=(3x^2-6x)+(4x-8)\\ &=3x(x-2)+4(x-2)\\ &=(3x+4)(x-2) \end{split}\]

Exercices supplémentaires

Série d'exercices de factorisation de trinômes 2

source: (https://gomaths.edu-vd.ch/alg_calc_litt.php)

Substitution#

Substitution

  1. Remplacez \(x^2\) (ou \(x^3\)) par \(y\).

  2. Factorisez avec une autre méthode.

  3. Remplacez \(y\) par \(x^2\) (ou \(x^3\)).

Exemple 13

  1. Posez \(x^2 = y\).

    \[\begin{split} x^4-5x^2-6 &= y^2-5y-6 \qquad && \textrm{remplacez } x^2 \textrm{ par } y\\ &=(y+1)(y-6) \qquad && \textrm{factorisez}\\ &=(x^2+1)(x^2-6) \qquad && \textrm{remplacez } y \textrm{ par } x^2 \end{split}\]

  2. Posez \(x^3 = y\).

    \[\begin{split} x^6-7x^3+12 &=y^2-7y+12 \qquad && \textrm{remplacez } x^3 \textrm{ par } y\\ &=(y-3)(y-4) \qquad && \textrm{factorisez}\\ &=(x^3-3)(x^3-4) \qquad && \textrm{remplacez } y \textrm{ par } x^3 \end{split}\]

-> ex 13 et ex 14

Combinaison de méthodes#

Marche à suivre

Pour factoriser complètement un polynôme, il faut parfois appliquer plusieurs méthodes à la suite.

  1. Mettez en évidence au maximum en regroupant éventuellement des termes.

  2. Utilisez les identités remarquables.

  3. Utilisez les trinômes.

  4. Retournez à 1.

Exemple 14

  1. Appliquez plusieurs méthodes en commençant par la mise en évidence.

    \[\begin{split} 5x^2 - 10x + 5 &= 5(x^2-2x+1) \qquad && \textrm{mise en évidence}\\ &= 5(x-1)^2 && \textrm{identités algébriques} \end{split}\]

  2. Appliquez plusieurs méthodes en commençant par la mise en évidence.

    \[\begin{split} -x^2 + 5x - 6 &= -(x^2-5x+6) \qquad && \textrm{mise en évidence}\\ &= -(x-2)(x-3) && \textrm{décomposition du trinôme} \end{split}\]

  3. Appliquez plusieurs méthodes en commençant par le regroupement de termes.

    \[\begin{split} 3x^3+6x^2+3x-(x+1)^2 &=(3x^3+6x^2+3x)-(x+1)^2 \qquad && \textrm{regroupement}\\ &= 3x(x^2+2x+1)-(x+1)^2 && \textrm{mise en évidence}\\ &= 3x(x+1)^2-(x+1)^2 && \textrm{identités algébriques}\\ &= (3x-1)(x+1)^2 && \textrm{mise en évidence} \end{split}\]

-> ex 15 et ex 16

Exercices#

Exercice 9#

Utilisez la mise en évidence pour factoriser le plus possible.

  1. \(10xy-20x^{2}y+30xy^{2}=\)

  2. \(9x^{3}-12x^{2}-15x=\)

  3. \(9xy+6yz+3xz=\)

  4. \(24b^{3}c^{5}-36bc^{2}=\)

  5. \(3a^{3}b^{4}-12a^{2}b^{5}=\)

  6. \(4x(x-y)+5y(x-y)=\)

  7. \(35x^{2}y-28xy^{2}+7xy=\)

  8. \((x+2)^{2}-5(x+2)=\)

  9. \(14x^{5}-7x^{4}+21x^{3}-35x^{2}=\)

Exercice 10#

Mettez en évidence par regroupement.

  1. \(3(a+b)+x(a+b)=\)

  2. \((x+1)x+2(x+1)=\)

  3. \(a(x-y)-(x-y)=\)

  4. \((x-y)(b-a)+a(x-y)=\)

  5. \(4a(x-2y)-2a(x-2y)=\)

  6. \(3y+6+xy+2x=\)

  7. \(ay-by+az-bz=\)

  8. \(x^2+ax+bx+ab=\)

  9. \(2ax+2ay-bx-by=\)

  10. \(x^3-x^2+2x-2=\)

Exercice 11#

Factorisez à l'aide des identités remarquables.

  1. \(x^{2}+2x+1=\)

  2. \(x^{2}-2xy+y^{2}=\)

  3. \(9y^{2}+6y+1=\)

  4. \(4x^{2}-9y^{2}=\)

  5. \(1-16z^{4}=\)

  6. \(49x^{2}-28x+4=\)

  7. \(0.01x^{2}-4=\)

  8. \(z^{2}-8z+16=\)

  9. \(4x^{2}y^{2}-9=\)

  10. \(y^{4}-2y^{2}+1=\)

  11. \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=\)

  12. \(8x^3+12x^2+6x+1=\)

  13. \(x^3-3x^2+3x-1=\)

  14. \(27y^3-27y^2x+9yx^2-x^3=\)

Exercice 12#

Complétez le tableau ci-dessous.

\(x^2-64\)
\((x+5)(x-5)\)
\((x+1)^2\)
\(x^2+12x+36\)
\(x^2+4x+4\)
\((x-2)^2\)
\(x^2-6x+9\)
\(x^2-169\)
\(x^2-100\)
\((x+8)^2\)
\(x^2+6x+9\)
\((x+9)(x-9)\)
\((x+10)^2\)
\(x^2+10x+25\)
\(x^2-49\)
\((x+7)^2\)

Exercice 13#

Complétez le tableau ci-dessous.

\(x^2+7x-8\)
\((x-9)(x+10)\)
\((x-3)(x+6)\)
\(x^2-x-12\)
\(x^2-x-20\)
\((x-9)(x-8)\)
\(x^2+14x+45\)
\(x^2+3x-28\)
\(x^2+3x-10\)
\((x-1)(x-2)\)
\(x^2-12x+35\)
\((x-4)(x-5)\)
\((x-3)(x+9)\)
\(x^2-11x+24\)
\(x^2+10x+16\)
\((x-8)(x+5)\)

Exercice 14#

Factorisez les trinômes suivants.

  1. \(x^2-7x+6=\)

  2. \(x^2+7x+6=\)

  3. \(x^2-14x-15=\)

  4. \(x^2+8x+15=\)

  5. \(x^2-9x+20=\)

  6. \(x^2+7x+12=\)

  7. \(x^2-13x+12=\)

  8. \(2x^2+14x+20=\)

  9. \(44+x^2-15x=\)

  10. \(x^{4}-13x^2+36=\)

  11. \(x^{6}+11x^{3}+18=\)

  12. \(2x^2-5x-3=\)

  13. \(3x^2+14x+8=\)

  14. \(2x^2+x-15=\)

Exercice 15#

Factorisez le plus possible.

  1. \(12uv^3+18u^2v=\)

  2. \(9m^4n^2-3m^2n-m^3n^2=\)

  3. \(abc^2-ab^3c+a^4bc=\)

  4. \(18ab^2c^4-24a^3b^2c=\)

  5. \(x^2-1=\)

  6. \(4a^2+4a+1=\)

  7. \(9y^2+6y+1=\)

  8. \(25z^2+20yz+4y^2=\)

  9. \(16t^2-1=\)

  10. \(x^2+6x+8=\)

  11. \(m^2-2m-15=\)

  12. \(4c^2-14c+10=\)

  13. \(3x^2+7x+2=\)

Exercice 16#

Factorisez le plus possible en utilisant plusieurs méthodes.

  1. \(-16x^5+x=\)

  2. \(-3z^4+6z^3+24z^2=\)

  3. \(3x^3-18x^2+24x=\)

  4. \(x^{4}-x^{6}=\)

  5. \(x^{4}-1=\)

  6. \(2x^{3}y-18xy=\)

  7. \(3x^{2}+2x-8=\)

  8. \(6x^{2}+13x+6=\)

  9. \(36x^{4}-13x^{2}+1=\)

  10. \(2a^2x-15abx+18b^2x=\)

Solutions#

Exercice 9#

  1. \(10xy(1-2x+3y)\)

  2. \(3x(3x^{2}-4x-5)\)

  3. \(3(3xy+2yz+xz)\)

  4. \(12bc^{2}(2b^{2}c^{3}-3)\)

  5. \(3a^{2}b^{4}(a-4b)\)

  6. \((x-y)(4x+5y)\)

  7. \(7xy(5x-4y+1)\)

  8. \((x+2)(x-3)\)

  9. \(7x^{2}(2x^{3}-x^{2}+3x-5)\)

Exercice 10#

  1. \((a+b)(3+x)\)

  2. \((x+1)(x+2)\)

  3. \((x-y)(a-1)\)

  4. \(b(x-y)\)

  5. \(2a(x-2y)\)

  6. \((y+2)(x+3)\)

  7. \((a-b)(y+z)\)

  8. \((x+a)(x+b)\)

  9. \((x+y)(2a-b)\)

  10. \((x-1)(x^2+2)\)

Exercice 11#

  1. \((x+1)^{2}\)

  2. \((x-y)^{2}\)

  3. \((3y+1)^{2}\)

  4. \((2x-3y)(2x+3y)\)

  5. \((1+4z^{2})(1+2z)(1-2z)\)

  6. \((7x-2)^{2}\)

  7. \((0.1x-2)(0.1x+2)\)

  8. \((z-4)^{2}\)

  9. \((2xy-3)(2xy+3)\)

  10. \((y^{2}-1)^{2}=(y-1)^{2}(y+1)^{2}\)

  11. \((x+y)^3\)

  12. \((2x+1)^3\)

  13. \((x-1)^3\)

  14. \((3y-x)^3\)

Exercice 12#

\((x+8)(x-8)\) \(x^2-64\)
\((x+5)(x-5)\) \(x^2-25\)
\((x+1)^2\) \(x^2 +2x +1\)
\((x+6)^2\) \(x^2+12x+36\)
\((x+2)^2\) \(x^2+4x+4\)
\((x-2)^2\) \(x^2-4x+4\)
\((x-3)^2\) \(x^2-6x+9\)
\((x+13)(x-13)\) \(x^2-169\)
\((x+10)(x-10)\) \(x^2-100\)
\((x+8)^2\) \(x^2+16x+64\)
\((x+3)^2\) \(x^2+6x+9\)
\((x+9)(x-9)\) \(x^2-81\)
\((x+10)^2\) \(x^2+20x+100\)
\((x+5)^2\) \(x^2+10x+25\)
\((x+7)(x-7)\) \(x^2-49\)
\((x+7)^2\) \(x^2+14x+49\)

Exercice 13#

\((x+8)(x-1)\) \(x^2+7x-8\)
\((x-9)(x+10)\) \(x^2+x-90\)
\((x-3)(x+6)\) \(x^2+3x-18\)
\((x-4)(x+3)\) \(x^2-x-12\)
\((x-5)(x+4)\) \(x^2-x-20\)
\((x-9)(x-8)\) \(x^2-17x+72\)
\((x+9)(x+5)\) \(x^2+14x+45\)
\((x+7)(x-4)\) \(x^2+3x-28\)
\((x+5)(x-2)\) \(x^2+3x-10\)
\((x-1)(x-2)\) \(x^2-3x+2\)
\((x-7)(x-5)\) \(x^2-12x+35\)
\((x-4)(x-5)\) \(x^2-9x+20\)
\((x-3)(x+9)\) \(x^2+6x-27\)
\((x-3)(x-8)\) \(x^2-11x+24\)
\((x+2)(x+8)\) \(x^2+10x+16\)
\((x-8)(x+5)\) \(x^2-3x-40\)

Exercice 14#

  1. \( (x-1)(x-6)\)

  2. \( (x+1)(x+6)\)

  3. \( (x-15)(x+1)\)

  4. \( (x+3)(x+5)\)

  5. \( (x-4)(x-5)\)

  6. \( (x+3)(x+4)\)

  7. \( (x-1)(x-12)\)

  8. \( 2(x+2)(x+5)\)

  9. \( (x-4)(x-11)\)

  10. \( (x-2)(x+2)(x-3)(x+3)\)

  11. \( (x^3+9)(x^3+2)\)

  12. \( (2x+1)(x-3)\)

  13. \( (3x+2)(x+4)\)

  14. \( (2x-5)(x+3)\)

Exercice 15#

  1. \(6uv(2v^2+3u)\)

  2. \(m^2n(9m^2n-3-mn)\)

  3. \(abc(c-b^2+a^3)\)

  4. \(6ab^2c(3c^3-4a^2)\)

  5. \((x+1)(x-1)\)

  6. \((2a+1)^2\)

  7. \((3y+1)^2\)

  8. \((5z+2y)^2\)

  9. \((4t-1)(4t+1)\)

  10. \((x+2)(x+4)\)

  11. \((m-5)(m+3)\)

  12. \(2(2c-5)(c-1)\)

  13. \((3x+1)(x+2)\)

Exercice 16#

  1. \(-x(4x^2+1)(2x+1)(2x-1)\)

  2. \(-3z^2(z-4)(z+2)\)

  3. \(3x(x-2)(x-4)\)

  4. \( x^{4}(1+x)(1-x)\)

  5. \( (x^{2}+1)(x+1)(x-1)\)

  6. \( 2xy(x-3)(x+3)\)

  7. \( (3x-4)(x+2)\)

  8. \( (3x+2)(2x+3)\)

  9. \( (3x+1)(3x-1)(2x+1)(2x-1)\)

  10. \(x(2a-3b)(a-6b)\)