Polynômes

Polynômes#

Théorie#

Définition

Un monôme est une expression obtenue par multiplication d'un nombre réel et de lettres avec exposants naturels (entier et positif). Sous sa forme réduite, un monôme se compose de deux parties: son coefficient et sa partie littérale.

Un polynôme est un monôme ou une somme de monômes. Les monômes qui composent le polynôme sont les termes du polynôme. Un polynôme peut être réduit en additionnant les monômes semblables (de même partie littérale) qui le composent.

Exemple 1

  1. \(3x^3-2x^2+0.2x-4\) est un polynôme à une variable, \(x\).

  2. \(3a^2xy-2x^2y+4y\) est un polynôme à plusieurs variables: \(a\), \(x\) et \(y\).

  3. \(\sqrt{a^2-b^2}\), \(\dfrac{3}{x}+x^2-4x\) et \(3x^{\frac{2}{3}}+x^{0.5}\) ne sont pas des polynômes, car les exposants ne sont pas des entiers naturels.

  4. Tout nombre, comme par exemple \(-10.5\), est un polynôme, appelé polynôme constant.

Définition

L'exposant le plus élevé d'un polynôme à une variable est appelé degré du polynôme.

Exemple 2

  1. \(x^3+2x-3\) est un polynôme de degré 3.

  2. \(3x^6+4x^4-2x\) est un polynôme de degré 6.

  3. \(5\) est un polynôme de degré \(0\).

Exemple 3

  1. Supprimez les parenthèses en faisant attention au signe qui se trouve devant:

    • s'il est positif, la parenthèse peut être supprimée sans autre.

    • s'il est négatif, il faut inverser le signe de chaques monômes qui se trouvent dans la parenthèse.

  2. Reduisez en additionnant/soustrayant les mônomes semblables.

  1. \((x^3+6x^2+3x-10) {\color{green}+} (2x^3-6x^2+1)\)
    \(= {\color{blue}x^3} {\color{magenta}{+6x^2}} + 3x {\color{orange} - 10}{\color{blue}+2x^3} {\color{magenta}-6x^2}{\color{orange}+1}\)
    \(={\color{blue}3x^3}+3x{\color{orange}-9}\)

  2. \((x^3+6x^2+3x-10){\color{red}-}(x^3-3x^2+4x-7)\)
    \(=x^3+6x^2+3x-10{\color{red}-}x^3{\color{red}+}3x^2{\color{red}-}4x{\color{red}+}7\)
    &=9x^2-x-3$

Exemple 4

  1. Multipliez chaque terme du premier polynôme avec chaque terme du deuxième en utilisant les règles de calcul des puissances.

  2. Reduisez en additionnant/soustrayant les mônomes semblables.

  1. \((x^2+3x-7) \cdot (5x-2)\)
    \(=5x^3-2x^2+15x^2-6x-35x+14\)
    \(=5x^3+13x^2-41x+14\)

  2. \((ax+x) \cdot (a-x+1)\)
    \(=a^2x-ax^2+ax+ax-x^2+x\)
    \(=a^2x-ax^2+2ax-x^2+x\)

-> ex 1 à ex 4.

Définition

Les trois équations suivantes sont appelées identités remarquables.

\[\begin{split}(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2 \\ (a+b)(a-b) &= a^2-b^2\end{split}\]

Exemple 5

  1. \((2x-5)^2=(2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2-20x+25\)

  2. \((3b+a^2)^2=(3b)^2 + 2 \cdot 3b \cdot a^2 + (a^2)^2 = 9b^2+6a^2b+a^4\)

  3. \((4f+ \dfrac{1}{2})(4f-\dfrac{1}{2})= (4f)^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 16f^2-\dfrac{1}{4}\)

Définition

Les équations suivantes sont appelées identités remarquables de degré 3.

\[\begin{split}(a+b)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ (a-b)^3 &= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \\\end{split}\]

Exemple 6

  1. \[\begin{split}(x+1)^3 &= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 \qquad\qquad\qquad &|& \text{appliquez la bonne identité: } (a+b)^3\\ &= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1 + 1 &|& \text{effectuez les puissances}\\ &= x^3 + 3x^2 + 3x + 1 &|& \text{simplifiez}\end{split}\]
  2. \[\begin{split}(2b+5)^3 &= (2b)^3 + 3 \cdot (2b)^2 \cdot 5 + 3 \cdot 2b \cdot 5^2 + 5^3 \qquad\quad &|& \text{appliquez la bonne identité: } (a+b)^3\\ &= 8b^3 + 3 \cdot 4b^2 \cdot 5 + 3 \cdot 2b \cdot 25 + 125 &|& \text{effectuez les puissances}\\ &= 8b^3 + 60b^2 + 150b + 125 &|& \text{simplifiez}\end{split}\]
  3. \[\begin{split}(a-2)^3 &= a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 2^2 - 2^3 \qquad\qquad\qquad &|& \text{appliquez la bonne identité: } (a-b)^3\\ &= a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot 2 + 3 \cdot a \cdot 4 - 8 &|& \text{effectuez les puissances}\\ &= a^3 - 6a^2 + 12a - 8 &|& \text{simplifiez}\end{split}\]

-> ex 5 et ex 6.

Remarques

  1. La division polynomiale est très semblable à la division en colonne avec reste.

  2. Avant d'effectuer une division polynomiale, ordonnez le dividende et le diviseur de la plus grande à la plus petite puissance.

  3. Si une division polynomiale possède un reste, alors le degré de celui-ci doit être inférieur au degré du diviseur.

  4. Pour contrôler le résultat d'une division polynomiale, il suffit de multiplier le résultat (sans le reste) avec le diviseur et d'ajouter le reste. Le résultat obtenu doit être égal au dividende.

Exemple 7

  1. \(({\color{magenta}x^3+6x^2+3x-10}):({\color{red}x+5})=\)
    \(\begin{array}{r|l} {\color{magenta}x^3+6x^2+3x-10}\phantom{0} & \underline{\phantom{0}{\color{red}x+5}\phantom{00000}} \\ \underline{-(x^3 + 5x^2)}\phantom{000000000} & {\color{green}x^2 + x - 2} \\ x^2 + 3x\phantom{000000} & \\ \underline{-(x^2 + 5x)}\phantom{00000} & \\ -2x - 10 \phantom{0}& \\ \underline{-(-2x -10)} & \\ {\color{orange}0}\phantom{0}& \\ \end{array}\)
    \(({\color{magenta}x^3+6x^2+3x-10}):({\color{red}x+5})= {\color{green}x^2 + x - 2}\) reste: \({\color{orange}0}\)
    Vérification:
    \(({\color{red}x+5})({\color{green}x^2 + x - 2}) = x^3 + 5x^2+ x^2+ 5x -2x -10 = {\color{magenta}x^3+6x^2+3x-10}\)

  2. \(({\color{magenta}3x^3-5x+1}):({\color{red}x^2-x})=\)
    \(\begin{array}{r|l} {\color{magenta}3x^3+0x^2-5x+1}\phantom{0} & \underline{\phantom{0}{\color{red}x^2-x}\phantom{00000}} \\ \underline{-(3x^3 - 3x^2)}\phantom{00000000} & {\color{green}3x + 3} \\ 3x^2 - 5x\phantom{0000} & \\ \underline{-(3x^2 - 3x)}\phantom{000} & \\ {\color{orange}-2x + 1}& \text{Le degré de } {\color{orange}-2x + 1} \text{ est plus petit que celui de } {\color{red}x^2-x} \text{-> stop}\\ \end{array}\) \(({\color{magenta}3x^3-5x+1}):({\color{red}x^2-x})= {\color{green}3x + 3}\) reste: \({\color{orange}-2x + 1} \)
    Vérification:
    \(({\color{red}x^2-x})({\color{green}3x + 3}) + ({\color{orange}-2x + 1}) = 3x^3 + 3x^2 -3x^2 - 3x - 2x+1 = {\color{magenta}3x^3-5x+1}\)

  3. \(({\color{magenta}x^5+x^4-7x^3-x^2+10x+7}):({\color{red}x^3-2x})=\)
    \(\begin{array}{r|l} {\color{magenta}x^5+x^4-7x^3-x^2+10x+7}\phantom{0} & \underline{\phantom{0}{\color{red}x^3-2x}\phantom{00000}} \\ \underline{-(x^5 \phantom{0000} + 2x^3)}\phantom{00000000000000} & {\color{green}x^2 + x - 5} \\ x^4 - 5x^3 - x^2\phantom{0000000000} & \\ \underline{-(x^4 \phantom{00000} - 2x^2)}\phantom{000000000} & \\ -5x^3 + x^2 + 10x \phantom{00000}& \\ \underline{-(-5x^3 \phantom{00000} + 10x)}\phantom{0000} & \\ {\color{orange}x^2 + \phantom{0}0x + 7}\phantom{00}& \text{Le degré de } {\color{orange}x^2 + 7} \text{ est plus petit que celui de } {\color{red}x^3-2x} \text{-> stop}\\ \end{array}\)
    \(({\color{magenta}x^5+x^4-7x^3-x^2+10x+7}):({\color{red}x^3-2x})= {\color{green}x^2 + x - 5}\) reste: \({\color{orange}x^2 + 7}\)
    Vérification:
    \(({\color{red}x^3-2x})({\color{green}x^2 + x - 5}) + ({\color{orange}x^2 + 7}) = x^5 + x^4 - 5x^3 - 2x^3 - 2x^2 + 10x + x^2 + 7 = {\color{magenta}x^5+x^4-7x^3-x^2+10x+7}\)

-> ex 7 et ex 8.

Exercices#

Exercice 1#

Simplifiez.

  1. \(a^2+b^2-(a^2-b^2+3ab)-(b^2+a^2b)=\)

  2. \(5xy+y^2-(3xy-(-y^2-xy))=\)

  3. \(a+b-c-(-(b-3c))=\)

  4. \(3a^2+a^4-5a^2-3a^4+a^0\)=

Exercice 2#

Calculez

  1. \((a-x)(b-y)=\)

  2. \((a-x)b-y=\)

  3. \((x-y-z)(2x+3y)=\)

  4. \((4a-5x)(5c+4b)4n=\)

  5. \(\dfrac{2}{3}(x+1) - \dfrac{1}{2}(x-1)=\)

  6. \(\dfrac{1}{3}(x-3)+(x+3)-\dfrac{1}{4}(x+4)=\)

  7. \((4y+6x)(3a-5b)-(2x-6y)(2a+3b)=\)

  8. \((x-5)(3x-1)-(x-6)(x+5)=\)

  9. \((4+9a-3c)d^5-(d^3-6b)9ad^2=\)

  10. \(\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{3}\right)^2=\)

  11. \(\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{5}\right)\left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{2}{5}\right)=\)

  12. \(\left(x + \dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{x}{2} + 2 \right)=\)

Exercice 3#

Calculez et simplifiez.

  1. \(3a(a^{2}-1)-4a^{2}(a+2)-3a+4(a^{2}-1)=\)

  2. \(-3x^{2}(x^{3}-2x^{2}+4)+4x^{3}(1-2x)+x(x-1)+2x=\)

  3. \([x-(x^{2}+3)]2x^{2}+3(x-2)+4x^{2}=\)

  4. \(3x(x-[2x^{2}-(-x+4)]+3)-3x^{2}(x-2)=\)

  5. \(3a[ab-(b^{2}+a^{2})]-2b(2a^{2}-[3ab+b^{2}]+ab)=\)

Exercice 4#

Soient les polynômes suivants.

\[A=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+1, \hspace{1cm} B=x^{3}-\dfrac{4}{5}x, \hspace{1cm} C=\dfrac{5}{2}x-\dfrac{2}{5}\]

Calculez.

  1. \(P=AB\)

  2. \(Q=BC\)

  3. \(R=C(A+B)\)

  4. \(S=6A-5B\)

Exercice 5#

Calculez à l'aide des identités remarquables.

  1. \((x-y)^2=\)

  2. \((x-1)^2=\)

  3. \((2c+1)(2c-1)=\)

  4. \((x-2)(x+2)=\)

  5. \((2x+y)^2=\)

  6. \((qr-r)^2=\)

  7. \((ef^2-f^3)^2=\)

  8. \((z^3-1)(z^3+1)=\)

  9. \((x^3+x^2y)^2=\)

  10. \((5y+z)(5y-z)=\)

  11. \((x+y)^3=\)

  12. \((2x+y)^3=\)

  13. \((c-3d)^3=\)

  14. \((4a-5b)^3=\)

Exercice 6#

Une boîte rectangulaire avec couvercle peut être construite en coupant les parties grisées d'un carton carré comme dans la figure ci-contre et en pliant ensuite le long des lignes pointillées.

  1. Déterminer le polynôme donnant le volume de la boîte, si la longueur des côtés du carton vaut \(50\) cm.

  2. Quel est le volume de la boîte si \(x=2\) cm?

Exercice 7#

Effectuez la division polynomiale avec reste.

  1. \((6x^3-17x^2+14x-3):(2x-3)=\)

  2. \((135a^2+77-30a+26a^3):(7-4a+13a^2)=\)

  3. \((6x^5+5x^4-25x^3+31x^2-12x+5):(2x^2-3x+2)=\)

  4. \((3m^4+6-2m^2+m^3):(m^2+2m)=\)

  5. \(x^4:(x+1)=\)

Exercice 8#

Effectuez la division polynomiale avec reste.

  1. \((x^{3}-8x^{2}+16x+4):(x-5)=\)

  2. \((x^{5}-8x^{3}+8x^{2}-7x+6):(x^{2}+3x-2)=\)

  3. \((5x^{3}-2x^{2}+4x-4):(x-1)=\)

  4. \((2x^{3}+7x^{2}+10x+8):(2x^{3}+7x)=\)

  5. \((3x^{2}-4x+12):(3x^{2}-4x+1)=\)

  6. \((x^{12}-1):(x^{4}-1)=\)

Challenge#

Effectuez la division polynomiale avec reste.

  1. \(\left(\dfrac{5}{8}x^{2}-\dfrac{7}{12}x-\dfrac{1}{3}\right):\left(\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)=\)

  2. \(\left(-\dfrac{1}{3}x^{4}+2x^{2}-\dfrac{1}{2}\right):\left(\dfrac{3}{2}x^{2}+\dfrac{1}{3}\right)=\)

Solution

  1. \(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{3}\)

  2. \(-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{112}{81}\) reste: \(-\dfrac{467}{486}\)

Solutions#

Exercice 1#

  1. \(b^2-3ab-a^2b\)

  2. \(xy\)

  3. \(a+2b-4c\)

  4. \(-2a^4-2a^2+1\)

Exercice 2#

  1. \(ab-ay-bx+xy\)

  2. \(ab-bx-y\)

  3. \(2x^2-3y^2+xy-2xz-3yz\)

  4. \(80acn+64abn-100cnx-80bnx\)

  5. \(\dfrac{x}{6}+\dfrac{7}{6}\)

  6. \(\dfrac{13}{12}x+1\)

  7. \(-2by-36bx+14ax+24ay\)

  8. \(2x^2-15x+35\)

  9. \(4d^5-3cd^5+54abd^2\)

  10. \(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{9}\)

  11. \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{4}{25}\)

  12. \(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{17}{8}x +\dfrac{1}{2}\)

Exercice 3#

  1. \(-a^{3}-4a^{2}-6a-4\)

  2. \(-3x^{5}-2x^{4}+4x^{3}-11x^{2}+x\)

  3. \(-2x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+3x-6\)

  4. \(-9x^{3}+6x^{2}+21x\)

  5. \(-3a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+2b^{3}\)

Exercice 4#

  1. \(\dfrac{1}{2}x^{6}-\dfrac{2}{3}x^{5}-\dfrac{2}{5}x^{4}+\dfrac{23}{15}x^{3}-\dfrac{4}{5}x\)

  2. \(\dfrac{5}{2}x^{4}-\dfrac{2}{5}x^{3}-2x^{2}+\dfrac{8}{25}x\)

  3. \(\dfrac{15}{4}x^{4}-\dfrac{34}{15}x^{3}-\dfrac{26}{15}x^{2}+\dfrac{141}{50}x-\dfrac{2}{5}\)

  4. \(-2x^{3}-4x^{2}+4x+6\)

Exercice 5#

  1. \(x^2-2xy+y^2\)

  2. \(x^2-2x+1\)

  3. \(4c^2-1\)

  4. \(x^2-4\)

  5. \(4x^2+4xy+y^2\)

  6. \(q^2r^2-2qr^2+r^2\)

  7. \(e^2f^4-2ef^5+f^6\)

  8. \(z^6-1\)

  9. \(x^6+2x^5y+x^4y^2\)

  10. \(25y^2-z^2\)

  11. \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)

  12. \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\)

  13. \(c^3-9c^2d+27cd^2-27d^3\)

  14. \(64a^3-240a^2b+300ab^2-125b^3\)

Exercice 6#

  1. \(V=2x^3-100x^2+1250x\)

  2. \(2116\,cm^3\)

Exercice 7#

  1. \(3x^2-4x+1\)

  2. \(2a+11\)

  3. \(3x^3+7x^2-5x+1\) reste: \(x+3\)

  4. \(3m^2-5m+8\) reste: \(-16m+6\)

  5. \(x^3-x^2+x-1\) reste: \(1\)

Exercice 8#

  1. \(x^2-3x+1\) reste: \(9\)

  2. \(x^3-3x^2+3x-7\) reste: \(20x-8\)

  3. \(5x^2+3x+7\) reste: \(3\)

  4. \(1\) reste: \(7x^2+3x+8\)

  5. \(1\) reste: \(11\)

  6. \(x^8+x^4+1\)