Inéquations

Contenu

Définition

Une inéquation du premier degré à une inconnue \(x\) est une inéquation du type

\[ax + b < 0 \quad \text{ ou } \quad ax + b \leq 0 \quad \text{ ou } \quad ax + b > 0 \quad \text{ ou } \quad ax + b \geq 0\]

avec \(a \text{, }b \in \mathbb{R} \text{ et } a \ne 0\).

Exemple 21

Propriétés

Pour résoudre une inéquation, on utilise les mêmes outils et règles que pour résoudre une équation. Mais il y a deux différences importantes:

Une inéquation possède une infinité de solutions. Son ensemble de solution est donc un intervalle ou la réunion d'intervalles.
Lorsque l'on multiplie (ou divise) les deux membres d'une inéquation par un nombre négatif, le signe d'inégalité change de sens.

Exemple 22

Pour résoudre \(3x < x+5\), il faut isoler le \(x\) dans un des membres de l'inéquation.
\[\begin{split} 3x & < x+5 \qquad &|& -x\\ 2x & < 5 &|& :2 \\ x & < \dfrac{5}{2} && \\ \end{split}\]
\(S = ]-\infty; \dfrac{5}{2}[\)
Pour résoudre \(4x + 2 \leq 8x-3\), il faut isoler le \(x\) dans un des membres de l'inéquation.
\[\begin{split} 4x + 2 & \leq 8x-3 \qquad &|& -8x \\ -4x + 2 & \leq -3 &|& -2 \\ -4x & \leq -5 &|& {\color{red}:(-4)} \\ x & \:{\color{red}\geq} \: \dfrac{-5}{-4} && \\ x & \geq \dfrac{5}{4} && \\ \end{split}\]
\(S = [\dfrac{5}{4}; +\infty[\)

Remarques

Comme pour les équations, certaines inéquations peuvent être indéterminées ou impossibles:

\[\begin{split} 7x - 8 & \geq 4(3x-4)-5x \qquad &|& \text{CL (Calcul littéral)} \\ 7x - 8 & \geq 12x-16-5x &|& \text{CL (Calcul littéral)} \\ 7x - 8 & \geq 7x -16 &|& -7x \\ -8 & \geq -16 &|& +16 \\ 8 & \geq 0 && \text{Cette équation est toujours vraie!} \implies S = \mathbb{R}\\ \end{split}\]
\[\begin{split} 3(x - 4) & > 3x-6 \qquad &|& \text{CL (Calcul littéral)} \\ 3x -12 & > 3x-6 &|& -3x \\ -12 & > -6 &|& +6 \\ -6 & > 0 && \text{Cette inéquation est toujours fausse!} \implies S = \varnothing \end{split}\]

Exemple 23

Pour résoudre \(5 \leq \dfrac{4+3x}{2} \leq 1\), il faut isoler le \(x\) dans le membre du milieu de l'inéquation.
\[\begin{split} -5 & \leq \dfrac{4+3x}{2} & \leq & \: 1 \qquad \qquad &|& \text{même dénominateur} \\ -\dfrac{10}{2} & \leq \dfrac{4+3x}{2} & \leq & \dfrac{2}{2} \qquad \qquad &|& \cdot 2 \\ -10 & \leq 4+3x & \leq & \: 2 &|& -4 \\ -14 & \leq 3x & \leq & -2 &|& :3 \\ -\dfrac{14}{3} & \leq x & \leq & -\dfrac{2}{3} \\ \end{split}\]
\(S = [-\dfrac{14}{3}; -\dfrac{2}{3}]\)
Pour résoudre \(-3 \leq \dfrac{1-2x}{4} < 7\), il faut isoler le \(x\) dans le membre du milieu de l'inéquation.
\[\begin{split} -3 & \leq \dfrac{1-2x}{4} & < & \: 7 \qquad \qquad &|& \cdot 4 \\ -12 & \leq 1-2x & < & \: 28 &|& -1 \\ -13 & \leq -2x & < & \: 27 &|& {\color{red}:(-2)} \\ \dfrac{13}{2} &\:{\color{red}\geq} \: x & {\color{red}>} & -\dfrac{27}{2} \\ \end{split}\]
\(S = ]-\dfrac{27}{2};\dfrac{13}{2}]\)

Résolvez les inéquations suivantes.

\(\dfrac{x}{5}+8 \leq 10\)
\(12x-36 > 24\)
\(3x-2+\dfrac{x}{2}+\dfrac{13}{2} < \dfrac{1}{4}x+12+7x\)
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{6} \geq \dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{3}- \dfrac{1}{6}x \)
\(10\left( \dfrac{3}{4}x-2 \right) -15 \left( \dfrac{x}{2}+5 \right) \leq 0\)
\(11(4x+3)+9 \geq 3(1-6x)+70\)
\(\dfrac{2}{9}(8x-3)+\dfrac{3}{5}(4x+\dfrac{7}{2}) < 3\)
\(17x-8 > 3x +2(7x-2)\)

Associez à chaque inéquation son ensemble de solutions pour obtenir une phrase.

\(7x+10 < 2x-5\)
\(-3-\dfrac{3}{4}x \leq \dfrac{1}{4}x\)
\(-14-\dfrac{5}{4}x > -\dfrac{3}{8}x-21\)
\(0.6+0.8x > -0.5+x\)
\(-\dfrac{1}{4}(4+8x) \leq \dfrac{1}{2}(x-1)\)
\(22x-21-20x < -13+20-5x\)
\(2-7x+5(1+x) > 4(1-2x)+3\)
\(23x-45+55-25x \geq 0\)
\(-3(1+3x) \leq 12x-24x-18-3\)
\((x-5)^2 \leq (x-7)(x-3)\)
\(x+\dfrac{1}{3} \geq 0\)
\(\dfrac{8+2x}{4} < 2 \cdot \dfrac{1-x}{-2}\)

Résolvez les problèmes suivants à l'aide d'inéquations du 1^er degré.

Des boîtes de conserve de \(300\,g\) doivent être rangées dans un carton. Le carton d'emballage pèse \(500\,g\). Le tout ne doit pas dépasser \(12\,kg\). Combien de boîtes peut-on mettre au plus dans le carton?
Un arroseur automatique déverse \(400\) litres par heure sur un terrain. Combien de temps faut-il le laisser encore allumé s'il est déjà enclenché depuis 2 heures et qu'on veut avoir déversé au moins \(1800\) litres?
Un propriétaire peut choisir entre deux tarifs pour l'électricité de sa maison. Le tarif A coûte CHF 0.22 par \(kWh\) (kilowattheure) avec une taxe de base de CHF 18.-. Le tarif B coûte CHF 0.18 par \(kWh\) avec une taxe de base de CHF 25.-. À partir de combien de \(kWh\) le tarif B est-il meilleur marché?
M. Hans von Siders habite Sierre et se rend fréquemment à Sion. Le billet de train Sierre Sion aller-retour coûte CHF \(10.80.-\), mais s'il prend un abonnement demi-tarif à CHF \(150.-\), il ne paie que CHF \(5.40.-\). À partir de combien de courses a-t-il intérêt à prendre un abonnement demi-tarif?
Lors du règlement d'un sinistre, l'assurance Alpha paie le 80 % du montant du dommage avec une franchise de CHF 300.-. Quant à elle, l'assurance Bêta règle le 75 % de la somme avec une franchise de CHF 200.-. Pour quels montants un assuré a-t-il avantage à choisir l'assurance Alpha?

Remarque:

La franchise est la somme d'argent qui est à la charge de l'assuré. L'assureur indemnise les dommages dépassant ce montant.

Résolvez les inéquations suivantes.

\(\dfrac{x-4}{2}<\dfrac{7x}{2}-(3x+2)\)
\(\dfrac{x-5}{3}-\dfrac{x-8}{4}\leq 0\)
\(\dfrac{3t}{2}-\dfrac{2t}{3}\geq5\left(\dfrac{t}{6}+1\right)-5\)
\(\dfrac{5y+1}{3}-\dfrac{8y+1}{4}>\dfrac{10y+1}{12}\)
\(-3 < 2z - 5 < 7\)
\(4 \geq 3x + 5 > -1\)
\(11 > 5(3y - 2) > -11\)
\(3 \leq \dfrac{2x-3}{5}<7\)
\(-2 < \dfrac{4u+1}{3}\leq 0\)
\((x + 2)( x - 3) < (x + 5)( x - 4)\)
\((3y -1)( y + 2) \geq 3y^2 + 9y - 2\)
\(\left(t-3\right)^2 \leq (t-4)(t-2)\)
\((2x - 3)(4x + 5) \leq (8x +1)(x - 7)\)

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