Introduction - Géométrie

Introduction - Géométrie#

Exercice 1#

Dans l'exemple ci-dessous, les droites \(BC\) et \(DE\) sont parallèles.

../../_images/angles.png

  1. Nommez un angle aigu, un angle obtu et un angle droit.

  2. Donnez un angle adjacents à \(\widehat{DAG}\).

  3. Donnez un angle complémentaires à \(\widehat{FAC}\).

  4. Donnez un angle supplémentaires à \(\widehat{AFB}\).

  5. Donnez un angle opposés par le sommet à \(\widehat{GAE}\).

  6. Donnez un angle alternes-internes à \(\widehat{GDA}\).

  7. Représentez sur le dessin deux angles alternes-externes.

  8. Représentez sur le dessin deux angles correspondants.

  9. Calculez la mesure des angles des triangles \(ABC\) et \(ADE\), si \(\widehat{ACB}\) mesure \(35^{\circ}\).

Solution

  1. aigu: \(\widehat{ACB}\), obtu: \(\widehat{CFA}\) et droit: \(\widehat{CAD}\)

  2. \(\widehat{GAE}\)

  3. \(\widehat{BAF}\)

  4. \(\widehat{CFA}\)

  5. \(\widehat{FAC}\)

  6. \(\widehat{FBA}\)

Exercice 2#

Il existe plusieurs façons de démontrer le théorème de Pythagore. La démonstration ci-dessous a été donnée par le président américain James A. Garfield (1831-1881). L'idée est de placer deux triangles rectangles identiques \(ABC\) de façon à obtenir un trapèze rectangle (voir figure) pour ensuite calculer l'aire du trapèze de deux manières différentes.

../../_images/demo-pythagore.png

  1. Montrez que le triangle blanc est un trangle rectangle.

  2. Calculez l'aire en utilisant la formule de l'aire d'un trapèze.

  3. Calculez l'aire comme la somme de l'aire des trois triangles qui forment le trapèze.

  4. Posez l'égalité entre les deux aires calculées précédemment et simplifiez, ainsi vous tomberez sur la formule du Théorème de Pythagore.

Solution

  1. angle: \(180`\circ - \alpha - \beta = 90^\circ\)

  2. \(A_{trapèze} = \dfrac{(GD-base + pt-base) \cdot h}{2} = \dfrac{(b + a)(b + a)}{2} = \dfrac{(a + b)^2}{2}\)

  3. \(A = 2 \cdot \dfrac{ab}{2} + \dfrac{c^2}{2} = ab + \dfrac{c^2}{2}\)

  4. \[\begin{split}\dfrac{(a + b)^2}{2} &= ab + \dfrac{c^2}{2} \qquad &|& \text{même dénominateur}\\ \dfrac{(a + b)^2}{2} &= \dfrac{2ab}{2} + \dfrac{c^2}{2} \qquad &|& \cdot 2\\ (a + b)^2 &= 2ab + c^2 &|& \text{développez}\\ a^2 + 2ab + b^2 &= 2ab + c^2 &|& - 2ab\\ a^2 + b^2 &= c^2\end{split}\]