Inéquations quadratiques

Inéquations quadratiques#

Corrigés détaillés

Théorie#

Définition

Une inéquation de degré 2 est une inéquation qui peut être écrite sous la forme

\[ax^2 + bx + c \geq 0\]

avec \(a \text{, }b \text{ et c } \in \mathbb{R} \text{ et } a \ne 0\)

Marche à suivre - Résolution d'inéquations quadratiques

  1. Utilisez les règles d'équivalence pour regrouper tous les termes dans le membre de gauche afin que celui de droite soit égal à \(0\).

  2. Factorisez le polynôme.

  3. Étudiez le signe de chacun des facteurs dans un tableau et déterminez le signe du polynôme en appliquant la règle des signes.

  4. Notez l'ensemble des solutions S de l'inéquation.

Exemple 16

Résolvez \(x^2 + 4 \geq 5x\).

  1. Mettez tous les termes dans le même membre:

    \[\begin{split}x^2 + 4 &\geq 5x \qquad &| -5x\\ x^2 -5x + 4 &\geq 0\end{split}\]

  2. Factorisez le trinôme avec la méthode de décomposition (somme-produit): \(x^2 -5x + 4 = (x-4)(x-1)\)

  3. Étudiez le signe de \((x-4)(x-1)\):

    1. Calculez les zéros en résolvant \((x-4)(x-1) = 0 \implies x_1 = {\color{red}4}\) et \(x_2 = {\color{orange}1}\)

    2. Faites un tableau de signes:

      \(x\) \(\tiny-\;\infty\) \({\color{orange}1}\) \({\color{red}4}\) \(\tiny+\;\infty\)
      \((x-4)\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
      \((x-1)\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
      \((x-4)(x-1) {\color{violet}\geq 0}\) \({\color{violet}+}\) \({\color{violet}0}\) \(-\) \({\color{violet}0}\) \({\color{violet}+}\)

  4. Le polynôme est positif ou nul de \(-\infty\) à \(1\) compris et de \(4\) compris à \(+\infty\):
    \(S = ]-\infty; 1] \cup [4; +\infty[\)

-> exercice 32 et exercice 33

Remarque

Pour résoudre une inéquation quadratique dont vous n'avez pas trouvé de factorisation, il faut calculer les zéros du polynôme, ainsi vous pourrez écrire la forme factorisée.

Exemple 17

  1. Résolvez \(5x^2 -3x - 2 \leq 0\).

    Zéros du polynôme:
    \(a = 5\), \(b = -3\) et \(c = -2\)
    \(\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49 \implies \sqrt{\Delta} = \sqrt{49} = 7\)

    \(x_{1,2} = \dfrac{3 \pm 7}{2 \cdot 5} = \dfrac{3 \pm 7}{10}\)

    \(x_1 = \dfrac{3 + 7}{10} = \dfrac{10}{10} = {\color{orange}1}\)
    \(x_2 = \dfrac{3 - 7}{10} = -\dfrac{4}{10} = {\color{magenta}-\dfrac{2}{5}}\)

    Factorisation: \({\color{green}5}x^2 -3x - 2 = {\color{green}5}(x - {\color{orange}1})(x - ({\color{magenta}-\dfrac{2}{5}})) = 5(x-1)(x + \dfrac{2}{5})\)

    Tableau de signes:

    \(x\) \(\tiny-\;\infty\) \({\color{magenta}-\dfrac{2}{5}}\) \({\color{orange}1}\) \(\tiny+\;\infty\)
    \({\color{green}5}\) \(+\) \(+\) \(+\)
    \((x-1)\) \(-\) \(-\) \(0\) \(+\)
    \((x + \dfrac{2}{5})\) \(-\) \(0\) \(+\) \(+\)
    \(5(x-1)(x + \dfrac{2}{5}) {\color{violet}\leq 0}\) \(+\) \({\color{violet}0}\) \({\color{violet}-}\) \({\color{violet}0}\) \(+\)

    \(S = \left[-\dfrac{2}{5}; 1 \right]\)

  2. Résolvez \(-9x^2 -30x > 25\).

    Mettez tous les termes dans le même membre: \(-9x^2 -30x -25 > 0\)

    Zéros du polynôme:
    \(a = -9\), \(b = -30\) et \(c = -25\)
    \(\Delta = (-30)^2 - 4 \cdot (-9) \cdot (-25) = 900 - 900 = 0\)

    \(x_1 = \dfrac{30}{2 \cdot (-9)} = -\dfrac{30}{18} = {\color{orange}-\dfrac{5}{3}}\)

    Factorisation: \({\color{green}-9}x^2 -30x -25 = {\color{green}-9}(x - ({\color{orange}-\dfrac{5}{3}}))^2 = -9(x +\dfrac{5}{3})^2\)

    Tableau de signes:

    \(x\) \(\tiny-\;\infty\) \({\color{orange}-\dfrac{5}{3}}\) \(\tiny+\;\infty\)
    \({\color{green}-9}\) \(-\) \(-\)
    \((x +\dfrac{5}{3})\) \(-\) \(0\) \(+\)
    \((x +\dfrac{5}{3})\) \(-\) \(0\) \(+\)
    \(-9(x +\dfrac{5}{3})^2 {\color{violet}> 0}\) \(-\) \(0\) \(-\)

    \(S = \varnothing\)

-> exercice 34, exercice 35, exercice 36 et exercice 37.

Exercices#

Exercice 32#

Résolvez les inéquations suivantes.

  1. \((x-2)(x+6) < 0\)

  2. \((2-5x)(x-3) \geq 0\)

  3. \((x-2)(x+4)(1-x) \geq 0\)

  4. \((x+7)(2x+1)(3-x) < 0\)

  5. \(x^3-4x \geq 0\)

  6. \((2x-5)(3x+4)(1-2x) \geq 0\)

Exercice 33#

Résolvez les inéquations suivantes en factorisant au moyen des identités remarquables, en décomposant le trinôme (somme-produit) ou en regroupant.

  1. \(x^2+4 \geq 5x\)

  2. \((2x+1)(5-3x) > 0\)

  3. \(3x^2-7x \leq 2x^2-12\)

  4. \((x-2)(5x+7)>(2x-3)(x-2)\)

  5. \(x^3-9x < 0\)

  6. \((2x+1)(x-2)-4x^2+1 \leq 0\)

Exercice 34#

Résolvez les inéquations suivantes.

  1. \(4x^2 + 7x -2 \geq 0\)

  2. \(5x^2 + 13x -6 > 0\)

  3. \(x^2 \leq -4x-2\)

  4. \(x^2 + 6x + 5 > 2x^2 + 8x - 10\)

  5. \( 4x^2 + 81 < 36x\)

  6. \(24x + 9 \geq -16x^2\)

Exercice 35#

Résolvez les inéquations suivantes.

  1. \(9x^2 + 6x -2 \leq 0\)

  2. \(x^2 < 3x - 1\)

  3. \(16x^2 -40x + 25 > 0\)

  4. \(-7x^2 + 5x > -2\)

  5. \( 3x^2 < 7\)

  6. \(2x - 1 \geq -2x^2\)

Exercice 36#

Sur la figure ci-contre, \(AB=4\,cm\), \(M\) est un point mobile sur le segment \(AB\). \(AMNP\) Et \(MBQR\) sont des carrés.

Que vaut \(AM\) pour que la surface constituée par les deux carrés soit supérieure ou égale à \(10\,cm^2\)?

Exercice 37#

\(ABCD\) est un carré dont les coté mesurent \(10\,cm\). G est un point du segment \(AD\). Les points \(E\), \(F\), \(G\), \(H\) et \(I\) sont placés de telle manière que \(AEFG\) et \(FHCI\) soient des carrés.

Que vaut \(AG\) pour que la surface grisée soit strictement inférieure à \(58\,cm^2\)?

Solutions#

Exercice 32#

  1. \(S=]-6;2[\)

  2. \(S=[\frac{2}{5};3]\)

  3. \(S=]-\infty; -4] \cup[1;2]\)

  4. \(S=]-7;-\frac{1}{2}[\cup]3; +\infty[\)

  5. \(S=[-2;0]\cup[2;+\infty[\)

  6. \(S=]-\infty;-\frac{4}{3}]\cup[\frac{1}{2};\frac{5}{2}]\)

Exercice 33#

  1. \(S=]-\infty;1] \cup [4;+\infty[\)

  2. \(S=]-\frac{1}{2};\frac{5}{3}[\)

  3. \(S=[3; 4]\)

  4. \(S=]-\infty;-\frac{10}{3}[\cup]2; +\infty[\)

  5. \(S=]-\infty;-3[\cup]0;+3[\)

  6. \(S=]-\infty;-1]\cup[-\frac{1}{2};+\infty[\)

Exercice 34#

  1. \(S=]-\infty;-2] \cup [\frac{1}{4};+\infty[\)

  2. \(S=]-\infty;-3[ \cup ]\frac{2}{5};+\infty[\)

  3. \(S=[-2-\sqrt{2}; -2+\sqrt{2}]\)

  4. \(S=]-5; 3[\)

  5. \(S= \varnothing\)

  6. \(S=\mathbb{R}\)

Exercice 35#

  1. \(S=[\frac{-1-\sqrt{3}}{3};\frac{-1+\sqrt{3}}{3}]\)

  2. \(S=]\frac{3-\sqrt{5}}{2};\frac{3+\sqrt{5}}{2}[\)

  3. \(S=\mathbb{R} \setminus \left \{\frac{5}{4} \right\} = ]-\infty; \frac{5}{4}[ \cup ]\frac{5}{4}; +\infty[\)

  4. \(S=]-\frac{2}{7}; 1[\)

  5. \(S=]-\frac{\sqrt{21}}{3};\frac{\sqrt{21}}{3}[\)

  6. \(S=]-\infty; \frac{-1-\sqrt{3}}{2}] \cup [\frac{-1+\sqrt{3}}{2}; +\infty[\)

Exercice 36#

\(S=[0;1]\cup[3;4]\) et donc \(AM\) doit mesurer entre 0 et 1 cm ou entre 3 et 4 cm.

Exercice 37#

\(S=]3;7[\) et donc \(AG\) doit mesurer plus de 3 cm, mais moins de 7 cm.