Introduction - Puissances et racines

Introduction - Puissances et racines#

Exercice 1#

Calculez.

  1. \(2^6=\)

  2. \(4^2=\)

  3. \((-3)^3=\)

  4. \(10^5=\)

  5. \(-2^4=\)

  6. \((-2)^4=\)

  7. \(0.5^2=\)

  8. \(20^0=\)

Solution

  1. \(2^6=64\)

  2. \(4^2=16\)

  3. \((-3)^3=-27\)

  4. \(10^5=100\,000\)

  5. \(-2^4=-16\)

  6. \((-2)^4=16\)

  7. \(0.5^2=0.25\)

  8. \(20^0=1\)

Expliquez pourquoi les résultats de e) et de f) ne sont pas identiques.

Solution

\(-2^4 = - \,2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = -16\)

\((-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot(-2) \cdot(-2) = 16\)

Exercice 2#

Effectuez les deux calculs suivants.

  1. \(2^7=\)

  2. \(2^3 \cdot 2^4=\)

Solution

  1. \(2^7=128\)

  2. \(2^3 \cdot 2^4= 8 \cdot 16 = 128\)

Quelle est la formule pour la multiplication de deux puissances ayant la même base?

\[a^n \cdot a^m =\]

Solution

\[a^n \cdot a^m = a^{n+m}\]

Exercice 3#

  1. Complétez le tableau suivant.

    \(n\)

    \(-3\)

    \(-2\)

    \(-1\)

    \(0\)

    \(1\)

    \(2\)

    \(3\)

    \(2^n\)

    \(2\)

    \(4\)

    \(8\)

    Solution

    \(n\)

    \(-3\)

    \(-2\)

    \(-1\)

    \(0\)

    \(1\)

    \(2\)

    \(3\)

    \(2^n\)

    \(0.125 = \dfrac{1}{8}\)

    \(0.25 = \dfrac{1}{4}\)

    \(0.5 = \dfrac{1}{2}\)

    \(1\)

    \(2\)

    \(4\)

    \(8\)

  2. Que peut-on dire des puissances de \(2\) avec un exposant nul ou négatif?

    Solution

    \(2^{-1} = \dfrac{1}{2^1}\) , \(\quad 2^{-2} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2^2} \quad\) et \(\quad 2^{-3} = \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2^3} \quad\)

  3. Quelle est la définition générale de \(2^{-n}\)?

    \[2^{-n}=\]

    Solution

    \[2^{-n}= \dfrac{1}{2^n}\]

Exercice 4#

Complétez.

  1. \(\sqrt{4} = \ldots\)

  2. \(\sqrt{81} = \ldots\)

  3. \(\sqrt{\ldots \phantom{i}} = 5\)

  4. \(\sqrt{\ldots \phantom{i}} = 7\)

  5. \(\sqrt[3]{27} = \ldots\)

  6. \(\sqrt[3]{64} = \ldots\)

  7. \(\sqrt[3]{\ldots \phantom{i}} = 2\)

  8. \(\sqrt[3]{\ldots \phantom{i}} = 1\)

Solution

  1. \(\sqrt{4} = 2\)

  2. \(\sqrt{81} = 9\)

  3. \(\sqrt{25} = 5\)

  4. \(\sqrt{49} = 7\)

  5. \(\sqrt[3]{27} = 3\)

  6. \(\sqrt[3]{64} = 4\)

  7. \(\sqrt[3]{8} = 2\)

  8. \(\sqrt[3]{1} = 1\)

Exercice 5#

Complétez.

  1. \(\sqrt[\ldots]{3^2} =3\)

  2. \(\sqrt[\ldots]{4^3} =4\)

  3. \(\sqrt[\ldots]{2^4} =2\)

  4. \(\sqrt[\ldots]{6^{10}} =6\)

Solution

  1. \(\sqrt[2]{3^2} =3\)

  2. \(\sqrt[3]{4^3} =4\)

  3. \(\sqrt[4]{2^4} =2\)

  4. \(\sqrt[10]{6^{10}} =6\)

Exercice 6#

Quels calculs peuvent être résolus? Expliquez.

  1. \(\sqrt{16} =\)

  2. \(\sqrt{-16} =\)

  3. \(\sqrt[3]{8} =\)

  4. \(\sqrt[3]{-8} =\)

  5. \(\sqrt[4]{1} =\)

  6. \(\sqrt[4]{-1} =\)

Solution

  1. \(\sqrt{16} = 4\)

  2. \(\sqrt{-16}\) impossible \(\notin \mathbb{R}\)

  3. \(\sqrt[3]{8} = 2\)

  4. \(\sqrt[3]{-8} = -2\)

  5. \(\sqrt[4]{1} = 1\)

  6. \(\sqrt[4]{-1}\) impossible \(\notin \mathbb{R}\)

Exercice 7#

À l'aide de la calculatrice, effectuez:

  1. \(16^{\frac{1}{2}} =\)

  2. \(81^{\frac{1}{2}} =\)

  3. \(9^{\frac{1}{2}} =\)

  4. \(8^{\frac{1}{3}} =\)

  5. \(125^{\frac{1}{3}} =\)

  6. \((-27)^{\frac{1}{3}} =\)

Solution

  1. \(16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4\)

  2. \(81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9\)

  3. \(9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3\)

  4. \(8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2\)

  5. \(125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5\)

  6. \((-27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-27} = -3\)

En déduire les résultats suivants:

\[ \begin{align}\begin{aligned}a^{\frac{1}{2}} =\\\left( \sqrt{a}\right)^2=\\\left( a^{\frac{1}{2}}\right)^2=\end{aligned}\end{align} \]

Solution

\[ \begin{align}\begin{aligned}a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}\\\left( \sqrt{a}\right)^2= a \text{ si } a \geq 0\\\left( a^{\frac{1}{2}}\right)^2= a \text{ si } a \geq 0\end{aligned}\end{align} \]