Angles remarquables#
Exercice 1 - Rapports d'un angle de 45°#
Soit un triangle rectangle isocèle, dont les côtés isométriques valent \(x\) et l'hypoténuse \(2\).
Faites un schéma de la situation.
Déterminez \(x\).
Déterminez en laissant sous forme de fraction simplifiée:
\(\sin(45^{\circ}) = \)
\(\cos(45^{\circ}) = \)
\(\tan(45^{\circ}) = \)
Solution
Par Pythagore: \(2^2 = x^2 + x^2 \implies 4 = 2x^2 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}\)
\(\sin(45^\circ) = \dfrac{x}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos(45^\circ) = \dfrac{x}{2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tan(45^\circ) = \dfrac{x}{x} = 1\)
Exercice 2 - Rapports des angle de 30° et 60°#
Soit un triangle équilatéral, dont les côtés valent \(1\).
Faites un schéma de la situation.
Déterminez la hauteur \(h\).
Déterminez en laissant sous forme de fraction simplifiée:
\(\sin(30^{\circ}) = \)
\(\cos(30^{\circ}) = \)
\(\tan(30^{\circ}) = \)
\(\sin(60^{\circ}) = \)
\(\cos(60^{\circ}) = \)
\(\tan(60^{\circ}) = \)
Solution
Par Pythagore: \(h^2 = 1^2 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} \implies h = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\sin(30^\circ) = \dfrac{\frac{1}{2}}{1} = \dfrac{1}{2}\)
\(\cos(30^\circ) = \dfrac{h}{1} = h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan(30^\circ) = \dfrac{\frac{1}{2}}{h} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\sin(60^\circ) = \dfrac{h}{1} = h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos(60^\circ) = \dfrac{\frac{1}{2}}{1}= \dfrac{1}{2}\)
\(\tan(60^\circ) = \dfrac{h}{\frac{1}{2}} = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot {\dfrac{2}{1}} = \sqrt{3}\)