Théorème de Thalès

Corrigés détaillés

Théorie

Théorème de Thalès

Soit deux droites \(g\) et \(h\) qui se coupent en un point \(S\). Soit deux droites parallèles \(a\) et \(b\) qui coupent \(h\) et \(g\) en \(A_1\) et \(A_2\), respectivement \(B_1\) et \(B_2\).

Première construction

Deuxième construction

1. Premier énoncé:

   \[\frac{SA_1}{SB_1} = \frac{SA_2}{SB_2} = \frac{A_1A_2}{B_1B_2}\]

2. Deuxième énoncé:

   \[\frac{SA_1}{A_1B_1} = \frac{SA_2}{A_2B_2}\]

Exemple 4

Dans la figure ci-dessous \(CA\) est parallèle à \(DB\). Les longueurs suivantes sont données: \(SC=3 \text{ cm}\), \(CA=2.5 \text{ cm}\), \(DB=4 \text{ cm}\) et \(AB=2 \text{ cm}\).
Déterminer \(CD\) et \(SA\).

Thèorème de Thalès (1er énoncé): \(\quad \dfrac{SC}{SD} = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{CA}{DB}\)

\(\implies \dfrac{3}{SD} = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{2.5}{4} \implies \dfrac{3}{SD} = \dfrac{2.5}{4} \implies SD = \dfrac{3 \cdot 4}{2.5} = 4.8 \text{ cm}\)

\(CD = SD - SC = 4.8 -3 = 1.8 \text{ cm}\)

Thèorème de Thalès (1e énoncé): \(\quad \dfrac{SC}{CD} = \dfrac{SA}{AB}\)

\(\dfrac{3}{1.8} = \dfrac{SA}{2} \implies SA = \dfrac{2 \cdot 3}{1.8} = 3.\overline{3} \text{ cm}\)

-> exercice 11, exercice 12, exercice 13, exercice 14, exercice 15 et exercice 16

Exercices

Exercice 11

Calculez les valeurs manquantes. Les longueurs sont toutes en cm. Commencez par notez les formules du Théorème de Thalès en fonction des schémas ci-dessous.

1. 

   \(AB\)	\(BC\)	\(AC\)	\(AD\)	\(DE\)	\(AE\)
   \(22.17\)	\(20.46\)		\(12.96\)		\(5.17\)
   \(98.9\)	\(72.4\)	\(89.6\)		\(23.72\)
   \(406\)		\(180\)		\(145.66\)	\(68.28\)
   	\(82.6\)		\(38.8\)	\(45.01\)	\(36.67\)
   \(631\)		\(761\)		\(310.58\)	\(404.02\)

2. 

   \(AB\)	\(BC\)	\(AC\)	\(AD\)	\(DE\)	\(AE\)
   \(74.2\)		\(47.8\)	\(46.79\)	\(62.11\)
   	\(16.41\)	\(10.88\)	\(10.06\)	\(8\)
   \(65.4\)			\(32.8\)	\(18.16\)	\(33.2\)
   \(95\)	\(72.3\)	\(37.2\)			\(24.36\)
   \(95.2\)		\(89.4\)		\(43.68\)	\(42.54\)

Exercice 12

Dans la figure ci-dessous, les longueurs suivantes sont données: \(AB = 2 \text{ cm}\), \(AA'=3 \text{ cm}\), \(A'B'=3 \text{ cm}\), \(SA'=6 \text{ cm}\) et \(B'C'=9 \text{ cm}\). Les droites qui coupent les deux demi-droites sont parallèles.
Déterminer les segments \(SA\) et \(BC\).

Exercice 13

Pour déterminer la largeur \(x\) d'une rivière, la construction suivante a été utilisée. Quelle est la largeur de la rivière?

1. Si \(a=20 \text{ m}\), \(b=10 \text{ m}\), \(c=13 \text{ m}\)?

2. Si \(a=30 \text{ m}\), \(b=5 \text{ m}\), \(c=26 \text{ m}\)?

Exercice 14

En tenant un petit pois d'un diamètre de \(6\,mm\) à une distance de \(66\,cm\) de nos yeux, la pleine lune est complètement couverte par le petit pois.
À quelle distance de la terre se trouve la lune si le diamètre de la lune vaut \(3\,476 \text{ km}\)?

Exercice 15

Quelle est la longueur \(x\) du côté du carré dans la figure ci-contre?

Exercice 16

Dans la figure ci-dessous, les longueurs suivantes sont données:
\(MN=12\,cm\), \(NP=15\,cm\), \(RS=6c\,m\), \(RM=9c\,m\) et \(SN=13\,cm\).
Les segments \(RM\), \(SN\) et \(TP\) sont parallèles.
Déterminer \(TP\) et \(ST\).

Indice: Tracez une droite qui permet d'appliquer le théorème de Thalès.

Solutions

Exercice 11

\(\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC}\)

1. \(AB\)	\(BC\)	\(AC\)	\(AD\)	\(DE\)	\(AE\)
   		\(8.84\)		\(11.96\)
   			\(32.4\)		\(29.36\)
   	\(384\)		\(154\)
   \(71.2\)		\(67.3\)
   	\(585\)		\(335\)

2. \(AB\)	\(BC\)	\(AC\)	\(AD\)	\(DE\)	\(AE\)
   \(75.8\)		\(98.5\)
   \(22.32\)
   	\(36.2\)	\(66.2\)
   			\(62.2\)	\(47.34\)
   	\(91.8\)		\(45.3\)

Exercice 12

\(SA=4 \text{ cm}\) et \(BC = 6 \text{ cm}\)

Exercice 13

1. La largeur de la rivière est de \(18.6 \text{ m}\).

2. La largeur de la rivière est de \(32.5 \text{ m}\).

Exercice 14

La lune se trouve à \(382\,360 \text{ km}\) de la terre.

Exercice 15

\(x\) vaut \(2.4 \text{ cm}.\)

Exercice 16

\(ST=7.5 \text{ cm}\) et \(TP=18 \text{ cm}\)