Factorisation - Applications

Factorisation - Applications#

Théorie#

Simplification de fractions rationnelles

  1. Factorisez le numérateur et le dénominateur.

  2. Simplifiez les facteurs communs au numérateur et au dénominateur s'il y en a.

Exemple 41

  1. \(\dfrac{x^2+x}{x^2+2x+1}=\dfrac{x \cancel{(x+1)}}{(x+1)^{\cancel{2}}}=\dfrac{x}{x+1}\)

  2. \(\dfrac{x^3-x^2-2x}{x^2+x}=\dfrac{x(x^2-x-2)}{x(x+1)}=\dfrac{\bcancel{x}(x-2)\cancel{(x+1)}}{\bcancel{x}\cancel{(x+1)}}=x-2\)

  3. \(\dfrac{c^2-c}{c^2+c} \cdot \dfrac{c+1}{c^2-2c+1}=\dfrac{\bcancel{c}\xcancel{(c-1)}}{\bcancel{c}\cancel{(c+1)}} \cdot \dfrac{\cancel{c+1}}{(c-1)^{\xcancel{2}}}=\dfrac{1}{c-1}\)

-> ex 62 à ex 65

Résolution d'équations de degré supérieur ou égal à 2

  1. Mettez tous les termes du même côté (\(ax^2 + bx + c = 0\)).

  2. Factorisez.

  3. Résolvez l'équation en utilisant la propriété suivante:

    \[a \cdot b = 0 \iff a = 0 \quad \text{ou} \quad b = 0\]

Exemple 42

  1. \[\begin{split}4x^2+12x+9 &=0 \quad \quad \quad &|& \text{factorisez}\\ (2x+3)^2 &=0 &|& a \cdot b = 0 \iff a = 0 \quad \text{ou} \quad b = 0\\ 2x+3 &=0 &|& -3\\ 2x &=-3 &|& :2\\ x &= -\dfrac{3}{2}\end{split}\]

    \(\implies S=\{ -\dfrac{3}{2}\}\)

  2. \[\begin{split}x^3+x^2-6x&=0 \quad \quad \quad &|& \text{factorisez}\\ x(x^2+x-6)&=0 &|& \text{factorisez}\\ x(x+3)(x-2)&=0 &|& a \cdot b = 0 \iff a = 0 \quad \text{ou} \quad b = 0\end{split}\]

    \(x = 0\)

    ou

    \((x+3)=0\)

    ou

    \((x-2)=0\)

    \(x_1=0\)

    ou

    \(x_2 = -3\)

    ou

    \(x_3=2\)

    \(\implies S=\{0;-3;2\}\)

-> ex 66 et ex 67

Addition/soustraction de fractions rationnelles

  1. Trouvez le plus petit dénominateur commun.

  2. Mettez toutes les fractions sur ce dénominateur commun.

  3. Additionnez/soutrayez les numérateurs.

  4. Vérifiez que la fraction est irréductible, sinon simplifiez-la.

Rappel - PPMC

Pour touver le ppmc de \(180\) et \(2625\), il faut

  1. décomposer ces nombres en produit de facteurs premiers:
    \(180 = {\color{red}2^2} \cdot {\color{green}3^2} \cdot 5\) et \(2625 = 3 \cdot {\color{magenta}5^3} \cdot {\color{orange}7}\)

  2. prendre chaque facteur qui apparaît au moins une fois dans l'une ou l'autre des décompositions avec le plus grand exposant.

  3. \(\text{ppmc}(180; 2625) = {\color{red}2^2} \cdot {\color{green}3^2} \cdot {\color{magenta}5^3} \cdot {\color{orange}7} = 31\,500\).

Exemple 43

  1. \[\begin{split}\dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2x} &= \dfrac{x}{2} \cdot {\color{red}{\dfrac{x}{x}}} + \dfrac{3}{2x} \\ &= \dfrac{x^2}{2x} + \dfrac{3}{2x} \\ &= \dfrac{x^2 + 3}{2x}\end{split}\]

    Il faut trouver le \(\text{ppmc}(2; 2x)\):
    \(2 = {\color{magenta}2}\) et \(2x = 2 \cdot {\color{orange}x}\)
    \(\text{ppmc}(2; 2x) = {\color{magenta}2} \cdot {\color{orange}x} = 2x\)

  2. \[\begin{split}\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} &= \dfrac{1}{a} \cdot {\color{red}{\dfrac{b}{b}}} + \dfrac{1}{b} \cdot {\color{red}{\dfrac{a}{a}}} \\ &= \dfrac{b}{ab} + \dfrac{a}{ab} \\ &= \dfrac{a + b}{ab}\end{split}\]

    Il faut trouver le \(\text{ppmc}(a; b)\):
    \(a = {\color{magenta}a}\) et \(b = {\color{orange}b}\)
    \(\text{ppmc}(a; b) = {\color{magenta}a} \cdot {\color{orange}b} = ab\)

  3. \[\begin{split}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2} &= \dfrac{1}{x} \cdot {\color{red}{\dfrac{x}{x}}} + \dfrac{2}{x^2} \\ &= \dfrac{x}{x^2} + \dfrac{2}{x^2} \\ &= \dfrac{x + 2}{x^2}\end{split}\]

    Il faut trouver le \(\text{ppmc}(x; x^2)\):
    \(x = x\) et \(x^2 = {\color{orange}x^2}\)
    \(\text{ppmc}(x; x^2) = {\color{orange}x^2}\)

  4. \[\begin{split}\dfrac{x}{x + 1} - \dfrac{x + 1}{x} &= \dfrac{x}{x + 1} \cdot {\color{red}{\dfrac{x}{x}}} - \dfrac{x + 1}{x} \cdot {\color{red}{\dfrac{x + 1}{x + 1}}} \\ &= \dfrac{x^2}{(x + 1)x} - \dfrac{(x + 1)(x + 1)}{x(x + 1)} \\ &= \dfrac{x^2 -(x + 1)^2}{x(x + 1)} \\ &= \dfrac{x^2 -(x^2 + 2x + 1)}{x(x + 1)} \\ &= \dfrac{x^2 - x^2 - 2x - 1}{x(x + 1)} \\ &= \dfrac{- 2x - 1}{x(x + 1)}\end{split}\]

    Il faut trouver le \(\text{ppmc}(x+1; x)\):
    \(x+1 = {\color{magenta}x+1}\) (ne peut pas être factorisé) et \(x = {\color{orange}x}\)
    \(\text{ppmc}(x+1; x) = {\color{magenta}(x+1)} \cdot {\color{orange}x} = x(x+1)\)

  5. \[\begin{split}\dfrac{n}{m-n}-\dfrac{mn+1}{m^2-mn} &=\dfrac{n}{m-n}-\dfrac{mn+1}{m(m-n)}\\ &=\dfrac{{\color{red}m}n}{{\color{red}m}(m-n)}-\dfrac{mn+1}{m(m-n)} \\ &=\dfrac{mn-(mn+1)}{m(m-n)} \\ &=\dfrac{mn-mn-1}{m(m-n)} \\ &= \dfrac{-1}{m(m-n)}\end{split}\]

    Il faut trouver le \(\text{ppmc}(m-n; m^2-mn)\):
    \(m-n = {\color{magenta}m-n}\) (ne peut pas être factorisé)
    et \(m^2-mn = {\color{orange}m}(m-n)\)
    \(\text{ppmc}(m-n; m^2-mn) = {\color{magenta}(m-n)} \cdot {\color{orange}m} = m(m-n)\)

  6. \(\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a^2}{a^2-b^2}+\dfrac{b}{a-b}\)

    \[\begin{split}&=\dfrac{a}{a+b}-\dfrac{a^2}{(a+b)(a-b)}+\dfrac{b}{a-b} \\ &=\dfrac{a{\color{red}(a-b)}}{(a+b){\color{red}(a-b)}}-\dfrac{a^2}{(a+b)(a-b)}+\dfrac{b{\color{red}(a+b)}}{{\color{red}(a+b)}(a-b)}\\ &=\dfrac{a(a-b)-a^2+b(a+b)}{(a+b)(a-b)}\\ &=\dfrac{a^2-ab-a^2+ab+b^2}{(a+b)(a-b)}\\ &= \dfrac{b^2}{(a+b)(a-b)}\end{split}\]

    Il faut trouver le \(\text{ppmc}(a+b; a^2-b^2; a-b)\):
    \(a+b = {\color{magenta}a+b}\) (ne peut pas être factorisé)
    \(a^2-b^2 = (a+b){\color{orange}(a-b)}\)
    \(a-b = a-b\) (ne peut pas être factorisé)
    \(\text{ppmc}(a+b; a^2-b^2; a-b) = {\color{magenta}(a+b)} \cdot {\color{orange}(a-b)} = (a+b)(a-b)\)

  7. \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2-2x}+\dfrac{5}{x^2-4x+4}\)

    \[\begin{split}&=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x(x-2)}+\dfrac{5}{(x-2)^2}\\ &=\dfrac{1(x-2)^2-1(x-2)+5x}{x(x-2)^2}\\ &=\dfrac{x^2-4x+4-x+2+5x}{x(x-2)^2}\\ &=\dfrac{x^2+6}{x(x-2)^2}\end{split}\]

    Il faut trouver le \(\text{ppmc}(x; x^2-2x; x^2-4x+4)\):
    \(x= {\color{magenta}x}\) (ne peut pas être factorisé)
    \(x^2-2x = x(x-2)\)
    \(x^2-4x+4 = {\color{orange}(x-2)^2}\)
    \(\text{ppmc}(x; x^2-2x; x^2-4x+4)= {\color{magenta}x} \cdot {\color{orange}(x-2)^2} = x(x-2)^2\)

-> ex 68 à ex 70

Exercices#

Exercice 62#

Simplifiez les fractions suivantes.

  1. \(\dfrac{12x-13y}{24x^2-26xy}=\)

  2. \(\dfrac{a^2-ab}{4a-4ab}=\)

  3. \(\dfrac{4x+10y}{5y+2x}=\)

  4. \(\dfrac{x-y}{3y-x}=\)

  5. \(\dfrac{1-x}{1-2x+x^2}=\)

  6. \(\dfrac{16x^2-25y^2}{8x-10y}=\)

  7. \(\dfrac{x^2-y^2}{x-y}=\)

  8. \(\dfrac{x^2+2xy+y^2}{ax+ay}=\)

  9. \(\dfrac{x^2-1}{2x+2}=\)

  10. \(\dfrac{36x^3-x}{6x^2-x}=\)

  11. \(\dfrac{c^2-ac}{a^2-ac}=\)

  12. \(\dfrac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2}=\)

Exercice 63#

Simplifiez les fractions suivantes.

  1. \(\dfrac{24a^2b^2c+12b^2}{12ab^3c^2-6b^2}=\)

  2. \(\dfrac{1-x^2}{1+x}=\)

  3. \(\dfrac{9x^2+12x+4}{3x+2}=\)

  4. \(\dfrac{a^2-4}{5ab+10b}=\)

  5. \(\dfrac{25x^2-9y^2}{25x^2-30xy+9y^2}=\)

  6. \(\dfrac{x^3-9y^2x}{2x^2-12xy+18y^2}=\)

Exercice 64#

Écrivez le résultat comme une seule fraction simplifiée.

  1. \(\dfrac{3a}{2b}: 2a=\)

  2. \(\dfrac{(a+b)^2}{c} \cdot \dfrac{c^2}{a^2-b^2}=\)

  3. \(\dfrac{a+b}{a+1} : \dfrac{ca+cb}{2a+2}=\)

  4. \(4(a-4) : \dfrac{2a-8}{5}=\)

  5. \(\dfrac{p^2-q^2}{p^2+2pq+q^2} \cdot \dfrac{p+q}{p-q}=\)

  6. \(\dfrac{w^2-w-12}{t^2} : \dfrac{w-4}{t^2-t}=\)

Exercice 65#

Simplifiez les fractions suivantes.

  1. \(\dfrac{x^2-3x-10}{x^2-6x+5}=\)

  2. \(\dfrac{x^2-4x-21}{x^2+10x+21}=\)

  3. \(\dfrac{x^2-1}{x^2+3x-4}=\)

  4. \(\dfrac{x^2+6x-16}{x^2+3x-10}=\)

  5. \(\dfrac{2x^2-2x-12}{3x^2-12x-36}=\)

  6. \(\dfrac{5x^2+15x-20}{5x^2+5x-60}=\)

  7. \(\dfrac{5x^2-5x}{3x^2-3}=\)

  8. \(\dfrac{2x^3-8x^2+8x}{8x^2(x-2)^3}=\)

Exercice 66#

Résolvez les équations suivantes par factorisation.

  1. \((x+4)(x-3)= 0\)

  2. \((x-2)(3x+1)(2x+8)=0\)

  3. \(x^2-6x=0\)

  4. \(x^2+2x+1=0\)

  5. \(x^2+5x+6=0\)

  6. \(x^3+2x^2-3x=0\)

Exercice 67#

Résolvez les équations suivantes par factorisation.

  1. \(6x^2+12x=0\)

  2. \(x^2-9=0\)

  3. \(x^5-5x^4=0\)

  4. \(x^2+4x-12=0\)

  5. \(x^2+2x=35\)

  6. \(x^2+5x=24\)

  7. \(5x^2+15x+10=0\)

  8. \(4x^2-4x+1=0\)

Exercice 68#

Écrivez le résultat comme une seule fraction simplifiée.

  1. \(\dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{x^2}=\)

  2. \(\dfrac{2x}{y} + \dfrac{y}{x}=\)

  3. \(\dfrac{5}{3x} - \dfrac{2}{x^2}=\)

  4. \(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x^2+x}=\)

  5. \(\dfrac{4}{z-1}+\dfrac{z}{z^2-1}=\)

  6. \(\dfrac{a}{a^2-4}-\dfrac{a}{a^2-4a+4}=\)

  7. \(\dfrac{2}{2w+1}-\dfrac{2}{4w^2-1} +\dfrac{1}{2w-1}=\)

  8. \(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2+x} - \dfrac{1}{x^2+2x+1}=\)

  9. \(\dfrac{3}{x+y}+\dfrac{2}{x} =\)

  10. \(\dfrac{b-a}{6a+2b} - \dfrac{a+b}{3a+b}=\)

Exercice 69#

Écrivez le résultat comme une seule fraction simplifiée.

  1. \(\dfrac{5x}{2y}-\dfrac{3y}{10x}=\)

  2. \(\dfrac{ab-b^2}{a^3+a^2}:\dfrac{a^2b-b^3}{a^2+a}=\)

  3. \(\dfrac{a}{2b}-\dfrac{b}{5c}=\)

  4. \(\dfrac{18m^2np}{18m^2n^2p+54m^2np^2}=\)

  5. \((2a-b) \cdot \dfrac{1}{b-2a}=\)

  6. \(\dfrac{a^2+6a+9}{4}:(2a+6)=\)

  7. \(\dfrac{5}{x-3} - \dfrac{7}{x+5} + \dfrac{3x-40}{x^2+2x-15}=\)

  8. \( \dfrac{3(x+4)}{8xy} : \dfrac{x^2-16}{x^2y^2}=\)

Exercice 70#

Écrivez le résultat comme une seule fraction simplifiée.

  1. \(\dfrac{\dfrac{a}{a^2-1}}{\dfrac{1}{a+1}-\dfrac{1}{a-1}}=\)

  2. \(\dfrac{\dfrac{m-n}{m+n} -\dfrac{m}{m-n}}{\dfrac{m+n}{m-n}-\dfrac{n}{m+n}}=\)

  3. \(\dfrac{\dfrac{a}{a+1} -\dfrac{a}{a+2}}{\dfrac{a}{a+2}-\dfrac{2a}{a-1}}=\)

Solutions#

Exercice 62#

  1. \(\frac{1}{2x}\)

  2. \(\frac{a-b}{4-4b}\)

  3. \(2\)

  4. \(\frac{x-y}{3y-x}\)

  5. \(\frac{1}{1-x}\)

  6. \(\frac{4x+5y}{2}\)

  7. \(x+y\)

  8. \(\frac{x+y}{a}\)

  9. \(\frac{x-1}{2}\)

  10. \(6x+1\)

  11. \(\frac{-c}{a}\)

  12. \(\frac{a-b}{a+b}\)

Exercice 63#

  1. \(\frac{2(2a^2c+1)}{2abc^2-1}\)

  2. \(1-x\)

  3. \(3x+2\)

  4. \(\frac{a-2}{5b}\)

  5. \(\frac{5x+3y}{5x-3y}\)

  6. \(\frac{x(x+3y)}{2(x-3y)}\)

Exercice 64#

  1. \(\frac{3}{4b}\)

  2. \(\frac{c(a+b)}{a-b}\)

  3. \(\frac{2}{c}\)

  4. \(10\)

  5. \(1\)

  6. \(\frac{(w+3)(t-1)}{t}\)

Exercice 65#

  1. \(\frac{x+2}{x-1}\)

  2. \(\frac{x-7}{x+7}\)

  3. \(\frac{x+1}{x+4}\)

  4. \(\frac{x+8}{x+5}\)

  5. \(\frac{2(x-3)}{3(x-6)}\)

  6. \(\frac{x-1}{x-3}\)

  7. \(\frac{5x}{3(x+1)}\)

  8. \(\frac{1}{4x(x-2)}\)

Exercice 66#

  1. \(S=\{-4;3\}\)

  2. \(S=\{-4;\frac{1}{3};2\}\)

  3. \(S=\{0;6\}\)

  4. \(S=\{-1\}\)

  5. \(S=\{-3;-2\}\)

  6. \(S=\{-3;0;1\}\)

Exercice 67#

  1. \(S=\{0;-2\}\)

  2. \(S=\{-3;3\}\)

  3. \(S=\{0;5\}\)

  4. \(S=\{-6;2\}\)

  5. \(S=\{5;-7\}\)

  6. \(S=\{-8;3\}\)

  7. \(S=\{-1;-2\}\)

  8. \(S=\{\frac{1}{2}\}\)

Exercice 68#

  1. \(\frac{3x+4}{x^2}\)

  2. \(\frac{2x^2+y^2}{xy}\)

  3. \(\frac{5x-6}{3x^2}\)

  4. \(\frac{1}{x+1}\)

  5. \(\frac{5z+4}{(z-1)(z+1)}\)

  6. \(\frac{-4a}{(a-2)^2(a+2)}\)

  7. \(\frac{3}{2w+1}\)

  8. \(\frac{x}{(x+1)^2}\)

  9. \(\frac{5x+2y}{x(x+y)}\)

  10. \(-\frac{1}{2}\)

Exercice 69#

  1. \(\frac{25x^2-3y^2}{10xy}\)

  2. \(\frac{1}{a(a+b)}\)

  3. \(\frac{5ac-2b^2}{10bc}\)

  4. \(\frac{1}{n+3p}\)

  5. \(-1\)

  6. \(\frac{a+3}{8}\)

  7. \(\frac{x+6}{(x-3)(x+5)}\)

  8. \(\frac{3xy}{8(x-4)}\)

Exercice 70#

  1. \(-\frac{a}{2}\)

  2. \(\frac{n^2-3mn}{m^2+mn+2n^2}\)

  3. \(\frac{1-a}{(a+1)(a+5)}\)