Polynômes

Polynômes#

Théorie#

Définition

Un monôme est une expression obtenue par multiplication d'un nombre réel et de lettres avec exposants naturels (entier et positif). Sous sa forme réduite, un monôme se compose de deux parties: son coefficient et sa partie littérale.

Un polynôme est un monôme ou une somme de monômes. Les monômes qui composent le polynôme sont les termes du polynôme. Un polynôme peut être réduit en additionnant les monômes semblables (de même partie littérale) qui le composent.

Exemple 27

  1. \(3x^3-2x^2+0.2x-4\) est un polynôme à une variable, \(x\).

  2. \(3a^2xy-2x^2y+4y\) est un polynôme à plusieurs variables: \(a\), \(x\) et \(y\).

  3. \(\sqrt{a^2-b^2}\), \(\dfrac{3}{x}+x^2-4x\) et \(3x^{\frac{2}{3}}+x^{0.5}\) ne sont pas des polynômes, car les exposants ne sont pas des entiers naturels.

  4. Tout nombre, comme par exemple \(-10.5\), est un polynôme, appelé polynôme constant.

Définition

L'exposant le plus élevé d'un polynôme à une variable est appelé degré du polynôme.

Exemple 28

  1. \(x^3+2x-3\) est un polynôme de degré 3.

  2. \(3x^6+4x^4-2x\) est un polynôme de degré 6.

  3. \(5\) est un polynôme de degré \(0\).

Exemple 29

  1. Supprimez les parenthèses en faisant attention au signe qui se trouve devant:

    • s'il est positif, la parenthèse peut être supprimée sans autre.

    • s'il est négatif, il faut inverser le signe de chaques monômes qui se trouvent dans la parenthèse.

  2. Reduisez en additionnant/soustrayant les mônomes semblables.

  1. \((x^3+6x^2+3x-10) {\color{green}+} (2x^3-6x^2+1)\)
    \(= {\color{blue}x^3} {\color{magenta}{+6x^2}} + 3x {\color{orange} - 10}{\color{blue}+2x^3} {\color{magenta}-6x^2}{\color{orange}+1}\)
    \(={\color{blue}3x^3}+3x{\color{orange}-9}\)

  2. \((x^3+6x^2+3x-10){\color{red}-}(x^3-3x^2+4x-7)\)
    \(=x^3+6x^2+3x-10{\color{red}-}x^3{\color{red}+}3x^2{\color{red}-}4x{\color{red}+}7\)
    &=9x^2-x-3$

Exemple 30

  1. Multipliez chaque terme du premier polynôme avec chaque terme du deuxième en utilisant les règles de calcul des puissances.

  2. Reduisez en additionnant/soustrayant les mônomes semblables.

  1. \((x^2+3x-7) \cdot (5x-2)\)
    \(=5x^3-2x^2+15x^2-6x-35x+14\)
    \(=5x^3+13x^2-41x+14\)

  2. \((ax+x) \cdot (a-x+1)\)
    \(=a^2x-ax^2+ax+ax-x^2+x\)
    \(=a^2x-ax^2+2ax-x^2+x\)

-> ex 46 à ex 49.

Définition

Les trois équations suivantes sont appelées identités remarquables.

\[\begin{split}(a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2 \\ (a+b)(a-b) &= a^2-b^2\end{split}\]

Exemple 31

  1. \((2x-5)^2=4x^2-20x+25\)

  2. \((3b+a^2)^2=9b^2+6a^2b+a^4\)

  3. \((4f+ \dfrac{1}{2})(4f-\dfrac{1}{2})=16f^2-\dfrac{1}{4}\)

Définition

Les équations suivantes sont appelées identités remarquables de degré 3.

\[\begin{split}(a+b)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \\ (a-b)^3 &= a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 \\\end{split}\]

Exemple 32

  1. \((x+1)^3= x^3 + 3x^2 + 3x + 1\)

  2. \((2b+5)^3= 8b^3 + 60b^2 + 150b + 125\)

  3. \((a-2)^3= a^3 - 6a^2 + 12a - 8\)

-> ex 50 à ex 51.

Remarques

  1. La division polynomiale est très semblable à la division en colonne avec reste.

  2. Avant d'effectuer une division polynomiale, ordonnez le dividende et le diviseur de la plus grande à la plus petite puissance.

  3. Si une division polynomiale possède un reste, alors le degré de celui-ci doit être inférieur au degré du diviseur.

  4. Pour contrôler le résultat d'une division polynomiale, il suffit de multiplier le résultat (sans le reste) avec le diviseur et d'ajouter le reste. Le résultat obtenu doit être égal au dividende.

Exemple 33

  1. \(({\color{magenta}x^3+6x^2+3x-10}):({\color{red}x+5})=\)
    \(\begin{array}{r|l} {\color{magenta}x^3+6x^2+3x-10}\phantom{0} & \underline{\phantom{0}{\color{red}x+5}\phantom{00000}} \\ \underline{-(x^3 + 5x^2)}\phantom{000000000} & {\color{green}x^2 + x - 2} \\ x^2 + 3x\phantom{000000} & \\ \underline{-(x^2 + 5x)}\phantom{00000} & \\ -2x - 10 \phantom{0}& \\ \underline{-(-2x -10)} & \\ {\color{orange}0}\phantom{0}& \\ \end{array}\)
    \(({\color{magenta}x^3+6x^2+3x-10}):({\color{red}x+5})= {\color{green}x^2 + x - 2}\) reste: \({\color{orange}0}\)
    Vérification:
    \(({\color{red}x+5})({\color{green}x^2 + x - 2}) = x^3 + 5x^2+ x^2+ 5x -2x -10 = {\color{magenta}x^3+6x^2+3x-10}\)

  2. \(({\color{magenta}3x^3-5x+1}):({\color{red}x^2-x})=\)
    \(\begin{array}{r|l} {\color{magenta}3x^3+0x^2-5x+1}\phantom{0} & \underline{\phantom{0}{\color{red}x^2-x}\phantom{00000}} \\ \underline{-(3x^3 - 3x^2)}\phantom{00000000} & {\color{green}3x + 3} \\ 3x^2 - 5x\phantom{0000} & \\ \underline{-(3x^2 - 3x)}\phantom{000} & \\ {\color{orange}-2x + 1}& \text{Le degré de } {\color{orange}-2x + 1} \text{ est plus petit que celui de } {\color{red}x^2-x} \text{-> stop}\\ \end{array}\) \(({\color{magenta}3x^3-5x+1}):({\color{red}x^2-x})= {\color{green}3x + 3}\) reste: \({\color{orange}-2x + 1} \)
    Vérification:
    \(({\color{red}x^2-x})({\color{green}3x + 3}) + ({\color{orange}-2x + 1}) = 3x^3 + 3x^2 -3x^2 - 3x - 2x+1 = {\color{magenta}3x^3-5x+1}\)

  3. \(({\color{magenta}x^5+x^4-7x^3-x^2+10x+7}):({\color{red}x^3-2x})=\)
    \(\begin{array}{r|l} {\color{magenta}x^5+x^4-7x^3-x^2+10x+7}\phantom{0} & \underline{\phantom{0}{\color{red}x^3-2x}\phantom{00000}} \\ \underline{-(x^5 \phantom{0000} + 2x^3)}\phantom{00000000000000} & {\color{green}x^2 + x - 5} \\ x^4 - 5x^3 - x^2\phantom{0000000000} & \\ \underline{-(x^4 \phantom{00000} - 2x^2)}\phantom{000000000} & \\ -5x^3 + x^2 + 10x \phantom{00000}& \\ \underline{-(-5x^3 \phantom{00000} + 10x)}\phantom{0000} & \\ {\color{orange}x^2 + \phantom{0}0x + 7}\phantom{00}& \text{Le degré de } {\color{orange}x^2 + 7} \text{ est plus petit que celui de } {\color{red}x^3-2x} \text{-> stop}\\ \end{array}\)
    \(({\color{magenta}x^5+x^4-7x^3-x^2+10x+7}):({\color{red}x^3-2x})= {\color{green}x^2 + x - 5}\) reste: \({\color{orange}x^2 + 7}\)
    Vérification:
    \(({\color{red}x^3-2x})({\color{green}x^2 + x - 5}) + ({\color{orange}x^2 + 7}) = x^5 + x^4 - 5x^3 - 2x^3 - 2x^2 + 10x + x^2 + 7 = {\color{magenta}x^5+x^4-7x^3-x^2+10x+7}\)

-> ex 52 à ex 53.

Exercices#

Exercice 46#

Simplifiez.

  1. \(a^2+b^2-(a^2-b^2+3ab)-(b^2+a^2b)=\)

  2. \(5xy+y^2-(3xy-(-y^2-xy))=\)

  3. \(a+b-c-(-(b-3c))=\)

  4. \(3a^2+a^4-5a^2-3a^4+a^0\)=

Exercice 47#

Calculez

  1. \((a-x)(b-y)=\)

  2. \((a-x)b-y=\)

  3. \((x-y-z)(2x+3y)=\)

  4. \((4a-5x)(5c+4b)4n=\)

  5. \(\dfrac{2}{3}(x+1) - \dfrac{1}{2}(x-1)=\)

  6. \(\dfrac{1}{3}(x-3)+(x+3)-\dfrac{1}{4}(x+4)=\)

  7. \((4y+6x)(3a-5b)-(2x-6y)(2a+3b)=\)

  8. \((x-5)(3x-1)-(x-6)(x+5)=\)

  9. \((4+9a-3c)d^5-(d^3-6b)9ad^2=\)

  10. \(\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{1}{3}\right)^2=\)

  11. \(\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{5}\right)\left(\dfrac{x}{3} - \dfrac{2}{5}\right)=\)

  12. \(\left(x + \dfrac{1}{4}\right)\left(\dfrac{x}{2} + 2 \right)=\)

Exercice 48#

Calculez et simplifiez.

  1. \(3a(a^{2}-1)-4a^{2}(a+2)-3a+4(a^{2}-1)=\)

  2. \(-3x^{2}(x^{3}-2x^{2}+4)+4x^{3}(1-2x)+x(x-1)+2x=\)

  3. \([x-(x^{2}+3)]2x^{2}+3(x-2)+4x^{2}=\)

  4. \(3x(x-[2x^{2}-(-x+4)]+3)-3x^{2}(x-2)=\)

  5. \(3a[ab-(b^{2}+a^{2})]-2b(2a^{2}-[3ab+b^{2}]+ab)=\)

Exercice 49#

Soient les polynômes suivants.

\[A=\dfrac{1}{2}x^{3}-\dfrac{2}{3}x^{2}+1, \hspace{1cm} B=x^{3}-\dfrac{4}{5}x, \hspace{1cm} C=\dfrac{5}{2}x-\dfrac{2}{5}\]

Calculez.

  1. \(P=AB\)

  2. \(Q=BC\)

  3. \(R=C(A+B)\)

  4. \(S=6A-5B\)

Exercice 50#

Calculez à l'aide des identités remarquables.

  1. \((x-y)^2=\)

  2. \((x-1)^2=\)

  3. \((2c+1)(2c-1)=\)

  4. \((x-2)(x+2)=\)

  5. \((2x+y)^2=\)

  6. \((qr-r)^2=\)

  7. \((ef^2-f^3)^2=\)

  8. \((z^3-1)(z^3+1)=\)

  9. \((x^3+x^2y)^2=\)

  10. \((5y+z)(5y-z)=\)

  11. \((x+y)^3=\)

  12. \((2x+y)^3=\)

  13. \((c-3d)^3=\)

  14. \((4a-5b)^3=\)

Exercice 51#

Une boîte rectangulaire avec couvercle peut être construite en coupant les parties grisées d'un carton carré comme dans la figure ci-contre et en pliant ensuite le long des lignes pointillées.

  1. Déterminer le polynôme donnant le volume de la boîte, si la longueur des côtés du carton vaut \(50\) cm.

  2. Quel est le volume de la boîte si \(x=2\) cm?

Exercice 52#

Effectuez la division polynomiale avec reste.

  1. \((6x^3-17x^2+14x-3):(2x-3)=\)

  2. \((135a^2+77-30a+26a^3):(7-4a+13a^2)=\)

  3. \((6x^5+5x^4-25x^3+31x^2-12x+5):(2x^2-3x+2)=\)

  4. \((3m^4+6-2m^2+m^3):(m^2+2m)=\)

  5. \(x^4:(x+1)=\)

Exercice 53#

Effectuez la division polynomiale avec reste.

  1. \((x^{3}-8x^{2}+16x+4):(x-5)=\)

  2. \((x^{5}-8x^{3}+8x^{2}-7x+6):(x^{2}+3x-2)=\)

  3. \((5x^{3}-2x^{2}+4x-4):(x-1)=\)

  4. \((2x^{3}+7x^{2}+10x+8):(2x^{3}+7x)=\)

  5. \((3x^{2}-4x+12):(3x^{2}-4x+1)=\)

  6. \((x^{12}-1):(x^{4}-1)=\)

Challenge#

Effectuez la division polynomiale avec reste.

  1. \(\left(\dfrac{5}{8}x^{2}-\dfrac{7}{12}x-\dfrac{1}{3}\right):\left(\dfrac{5}{4}x+\dfrac{1}{2}\right)=\)

  2. \(\left(-\dfrac{1}{3}x^{4}+2x^{2}-\dfrac{1}{2}\right):\left(\dfrac{3}{2}x^{2}+\dfrac{1}{3}\right)=\)

Solution

  1. \(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{3}\)

  2. \(-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{112}{81}\) reste: \(-\dfrac{467}{486}\)

Solutions#

Exercice 46#

  1. \(b^2-3ab-a^2b\)

  2. \(xy\)

  3. \(a+2b-4c\)

  4. \(-2a^4-2a^2+1\)

Exercice 47#

  1. \(ab-ay-bx+xy\)

  2. \(ab-bx-y\)

  3. \(2x^2-3y^2+xy-2xz-3yz\)

  4. \(80acn+64abn-100cnx-80bnx\)

  5. \(\dfrac{x}{6}+\dfrac{7}{6}\)

  6. \(\dfrac{13}{12}x+1\)

  7. \(-2by-36bx+14ax+24ay\)

  8. \(2x^2-15x+35\)

  9. \(4d^5-3cd^5+54abd^2\)

  10. \(\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{9}\)

  11. \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{4}{25}\)

  12. \(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{17}{8}x +\dfrac{1}{2}\)

Exercice 48#

  1. \(-a^{3}-4a^{2}-6a-4\)

  2. \(-3x^{5}-2x^{4}+4x^{3}-11x^{2}+x\)

  3. \(-2x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+3x-6\)

  4. \(-9x^{3}+6x^{2}+21x\)

  5. \(-3a^{3}-a^{2}b+ab^{2}+2b^{3}\)

Exercice 49#

  1. \(\dfrac{1}{2}x^{6}-\dfrac{2}{3}x^{5}-\dfrac{2}{5}x^{4}+\dfrac{23}{15}x^{3}-\dfrac{4}{5}x\)

  2. \(\dfrac{5}{2}x^{4}-\dfrac{2}{5}x^{3}-2x^{2}+\dfrac{8}{25}x\)

  3. \(\dfrac{15}{4}x^{4}-\dfrac{34}{15}x^{3}-\dfrac{26}{15}x^{2}+\dfrac{141}{50}x-\dfrac{2}{5}\)

  4. \(-2x^{3}-4x^{2}+4x+6\)

Exercice 50#

  1. \(x^2-2xy+y^2\)

  2. \(x^2-2x+1\)

  3. \(4c^2-1\)

  4. \(x^2-4\)

  5. \(4x^2+4xy+y^2\)

  6. \(q^2r^2-2qr^2+r^2\)

  7. \(e^2f^4-2ef^5+f^6\)

  8. \(z^6-1\)

  9. \(x^6+2x^5y+x^4y^2\)

  10. \(25y^2-z^2\)

  11. \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\)

  12. \(8x^3+12x^2y+6xy^2+y^3\)

  13. \(c^3-9c^2d+27cd^2-27d^3\)

  14. \(64a^3-240a^2b+300ab^2-125b^3\)

Exercice 51#

  1. \(V=2x^3-100x^2+1250x\)

  2. \(2116\,cm^3\)

Exercice 52#

  1. \(3x^2-4x+1\)

  2. \(2a+11\)

  3. \(3x^3+7x^2-5x+1\) reste: \(x+3\)

  4. \(3m^2-5m+8\) reste: \(-16m+6\)

  5. \(x^3-x^2+x-1\) reste: \(1\)

Exercice 53#

  1. \(x^2-3x+1\) reste: \(9\)

  2. \(x^3-3x^2+3x-7\) reste: \(20x-8\)

  3. \(5x^2+3x+7\) reste: \(3\)

  4. \(1\) reste: \(7x^2+3x+8\)

  5. \(1\) reste: \(11\)

  6. \(x^8+x^4+1\)