Factorisation

Factorisation#

Théorie#

La factorisation est l'opération réciproque de la distribution d'un produit de polynômes.

../../_images/schema.png

Pour contrôler si une factorisation est correcte, il suffit de distribuer le résultat obtenu et de comparer avec la donnée initiale!

Mise en évidence#

Mise en évidence

Pour la mise en évidence, il faut:

  1. trouver le facteur commun à chaque monôme qui compose le polynôme,

  2. mettre en évidence ce facteur commun.

Exemple 34

  1. \(x^2y+xy^5-x^2y^2=xy(x+y^4 - xy)\)

  2. \(4a^2b+12az^6-8a=4a(ab+3z^6-2)\)

  3. \(5nm^2-25n^2m^3+20m^5=5m^2(n-5n^2m+4m^3)\)

  4. \(−6x^2y+18xy^2−12y^4=−6y(x^2−3xy+2y^3)\)

Vidéo - Théorie

Vidéo - Exercices résolus

La mise en évidence simultanée de tous les termes est parfois impossible, mais cela devient faisable en les regroupant judicieusement.

Exemple 35

  1. \(3(x+1)+y(x+1)=(3+y)(x+1)\)

  2. \(a(x-y)-2(x-y)=(a-2)(x-y)\)

  3. \(x(x-3)+(x-3)=(x-3)(x+1)\)

  4. Regroupez les termes deux à deux:

    \[\begin{split} x^2y-xy^2+x-y &=(x^2y-xy^2)+(x-y)\\ &=xy(x-y)+1(x-y)\\ &=(xy+1)(x-y) \end{split}\]

  5. Regroupez les termes deux à deux:

    \[\begin{split} 3y+6+xy+2x &=(3y+6)+(xy+2x)\\ &=3(y+2)+x(y+2)\\ &=(3+x)(y+2) \end{split}\]

Vidéo - Théorie

Vidéo - Exercices résolus

-> ex ... à ...

Identités remarquables#

Identités remarquables

Il faut connaître les identités remarquables suivantes par coeur et les appliquer. Certaines sont très faciles à reconnaître.

\[\begin{split}a^2+2ab+b^2 &= (a+b)^2 \\ a^2-2ab+b^2 &= (a-b)^2\\ a^2-b^2 &= (a+b)(a-b)\\ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 &= (a+b)^3\\ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 &= (a-b)^3\end{split}\]

Remarque: \(a^2+b^2\) n'est pas factorisable.

Exemple 36

a) \(\; a^2+8a+16=(a+4)^2\)

utilisez

\(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\)

b) \(\;4x^2-12x+9=(2x-3)^2\)

utilisez

\(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\)

c) \(\;25x^2-y^2=(5x+y)(5x-y)\)

utilisez

\(a^2-b^2 = (a+b)(a-b)\)

d) \(\;x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\)

utilisez

\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Vidéo - Théorie

Décomposition du trinôme de deuxième degré#

Définition

Un trinôme est un polynôme composé de trois monômes. Des trinômes du type \(x^2+ax+b\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres entiers, peuvent souvent être factorisés grâce à une simple astuce.

Trinômes avec \(a=1\)

\(x^2+bx+c\)
Il faut trouver les deux nombres tel que:

\[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= c\\ \dots \: + \: \dots &= b\end{split}\]

Si \(c > 0\) et \(b > 0\), alors les deux nombres cherchés sont positifs. Si \(c > 0\) et \(b < 0\), alors les deux nombres cherchés sont négatifs. Si \(c < 0\), alors les deux nombres cherchés sont de signes différents.

Exemple 37

  1. Pour factoriser \(x^2+7x+12\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= 12\\ \dots \: + \: \dots &= 7\end{split}\]
    \(x^2+7x+12=(x+3)(x+4)\)

  2. Pour factoriser \(x^2-8x+15\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= 15\\ \dots \: + \: \dots &= -8\end{split}\]
    \(x^2-8x+15=(x-3)(x-5)\)

  3. Pour factoriser \(x^2+3x-18\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= -18\\ \dots \: + \: \dots &= 3\end{split}\]
    \(x^2+3x-18=(x+6)(x-3)\)

Exercices supplémentaires

Série d'exercices de factorisation de trinômes 1

source: (https://gomaths.edu-vd.ch/alg_calc_litt.php)

Trinômes avec \(a \neq 1\)

\(ax^2+bx+c\)
Si \(a \neq 1\), la méthode est la suivante:

  1. Trouvez les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= a \cdot c\\ \dots \: + \: \dots &= b\end{split}\]

  2. Décomposez le terme du x en 2 termes en utilisant les nombres trouvés en 1.

  3. Mettez en évidence en regroupant les termes deux par deux.

Exemple 38

  1. Pour factoriser \(2x^2 + 13x - 7\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= -14\\ \dots \: + \: \dots &= 13\end{split}\]
    Comme \(c < 0\), alors les deux nombres cherchés sont de signes différents.
    Les deux nombres sont \(-1\) et \(14\).
    Remplacez \(13x\) par \(-x + 14x\), ensuite mettez en évidence en regroupant les termes deux par deux.
    \[\begin{split} 2x^2 + 13x - 7 &=2x^2-x+14x-7\\ &=(2x^2-x)+(14x-7)\\ &=x(2x-1)+7(2x-1)\\ &=(x+7)(2x-1) \end{split}\]

  2. Pour factoriser \(3x^2 - 2x - 8\), il faut trouver les deux nombres tel que:

    \[\begin{split} \dots \:\: \cdot \:\, \dots &= -24\\ \dots \: + \: \dots &= -2\end{split}\]
    Comme \(c < 0\), alors les deux nombres cherchés sont de signes différents.
    Les deux nombres sont \(-6\) et \(4\).
    Remplacez \(-2x\) par \(-6x + 4x\), ensuite mettez en évidence en regroupant les termes deux par deux.
    \[\begin{split}3x^2 - 2x - 8 &=3x^2-6x+4x-8\\ &=(3x^2-6x)+(4x-8)\\ &=3x(x-2)+4(x-2)\\ &=(3x+4)(x-2) \end{split}\]

Exercices supplémentaires

Série d'exercices de factorisation de trinômes 2

source: (https://gomaths.edu-vd.ch/alg_calc_litt.php)

Substitution#

Substitution

  1. Remplacez \(x^2\) (ou \(x^3\)) par \(y\).

  2. Factorisez avec une autre méthode.

  3. Remplacez \(y\) par \(x^2\) (ou \(x^3\)).

Exemple 39

  1. Posons \(x^2 = y\).

    \[\begin{split} x^4-5x^2-6 &= y^2-5y-6 \qquad && \textrm{remplacez } x^2 \textrm{ par } y\\ &=(y+1)(y-6) \qquad && \textrm{factorisez}\\ &=(x^2+1)(x^2-6) \qquad && \textrm{remplacez } y \textrm{ par } x^2 \end{split}\]

  2. Posons \(x^3 = y\).

    \[\begin{split} x^6-7x^3+12 &=y^2-7y+12 \qquad && \textrm{remplacez } x^3 \textrm{ par } y\\ &=(y-3)(y-4) \qquad && \textrm{factorisez}\\ &=(x^3-3)(x^3-4) \qquad && \textrm{remplacez } y \textrm{ par } x^3 \end{split}\]

Combinaison de méthodes#

Marche à suivre

Pour factoriser complètement un polynôme, il faut parfois appliquer plusieurs méthodes à la suite.

  1. Mettez en évidence au maximum en regroupant éventuellement des termes.

  2. Utilisez les identités remarquables.

  3. Utilisez les trinômes.

  4. Retournez à 1.

Exemple 40

  1. Appliquez plusieurs méthodes en commençant par la mise en évidence.

    \[\begin{split} 5x^2 - 10x + 5 &= 5(x^2-2x+1) \qquad && \textrm{mise en évidence}\\ &= 5(x-1)^2 && \textrm{identités algébriques} \end{split}\]

  2. Appliquez plusieurs méthodes en commençant par la mise en évidence.

    \[\begin{split} -x^2 + 5x - 6 &= -(x^2-5x+6) \qquad && \textrm{mise en évidence}\\ &= -(x-2)(x-3) && \textrm{décomposition du trinôme} \end{split}\]

  3. Appliquez plusieurs méthodes en commençant par le regroupement de termes.

    \[\begin{split} 3x^3+6x^2+3x-(x+1)^2 &=(3x^3+6x^2+3x)-(x+1)^2 \qquad && \textrm{regroupement}\\ &= 3x(x^2+2x+1)-(x+1)^2 && \textrm{mise en évidence}\\ &= 3x(x+1)^2-(x+1)^2 && \textrm{identités algébriques}\\ &= (3x-1)(x+1)^2 && \textrm{mise en évidence} \end{split}\]

Exercices#

Exercice 54#

Ajouter les exercices

Solutions#

Exercice 54#

  1. \(b^2-3ab-a^2b\)

  2. \(xy\)

  3. \(a+2b-4c\)

  4. \(-2a^4-2a^2+1\)